高中數(shù)學(xué)必修二 8.5.2直線與平面平行的判定

8.5.2直線與平面平行的判定

導(dǎo)學(xué)案

編寫：廖云波初審：譚光垠終審：譚光垠廖云波

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行的判定定理

2.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題

【自主學(xué)習(xí)】

知識點1直線與平面平行的判定定理

X.表示

圖形文字符號

定理X.

平面外一條直線與此平面

直線與平面平行的判a(za

內(nèi)一條直線平行,則該直bua>=>alla

定定理a//b

線與此平面平行

【合作探究】

探究一線面平行判定定理的理解

【例1】下列說法中正確的是（）

A.若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則/〃a

B.若直線a在平面a外，則a〃a

C.若直線bua,則a〃a

D.若直線a〃4bUa,那么直線〃平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線

【答案】D

［解析］選項A中，直線/ua時，/與a不平行；直線在平面外包括直線與平面平行和直線

與平面相交兩種情況，所以選項B不正確；選項C中直線a可能在平面a內(nèi)；選項D正確.故

選D.

歸納總結(jié)：正確理解直線與平面平行的判定定理和掌握直線和平面的位置關(guān)系是解決此類題

目的關(guān)鍵，可以采用直接法，也可以使用排除法

【練習(xí)1】設(shè)6是一條直線，a是一個平面，則由下列條件不能得出匕〃a的是（）

A.。與a內(nèi)一條直線平行

B.6與a內(nèi)所有直線都無公共點

C.b與a無公共點

D.人不在a內(nèi)，且與a內(nèi)的一條直線平行

【答案】A

解析：A中〃可能在a內(nèi)；B、C顯然是正確的；D是線面平行的判定定理，所以選A.

探究二線面平行的證明

【例2】如圖，在直三棱柱ABC-ABiG中，M,N分別為棱AC,45的中點，

求證：MN〃平面BCGBi.

［分析］要證明直線。與平面a平行的關(guān)鍵是在平面a內(nèi)找一條直線，使考慮是否有

已知的平行線，若無已知的平行線，則根據(jù)已知條件作出平行線（有中點常作中位線）.

［證明］取8c的中點P,連接5P和MP,

因為M,P分別為棱AC,8c的中點，

所以且

因為ABC-A^Ci是直三棱柱，

所以AtBt=AB,

因為N為棱的中點，

所以SN〃AB,且BiN=%8.

所以8N〃PM,且BiN=PM.

所以MNB/是平行四邊形，

所以MN〃PBi,又因為MMt平面BCC181,P81u平面BCC山

所以MN〃平面BCC\B\.

歸納總結(jié)：判定直線與平面平行有兩種方法：一是用定義；二是用判定定理.使用判定定理

時關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般是遵循先找后作的原則，即現(xiàn)

有的平面中沒有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時，我們再考慮添加輔助線.具體操作中，我們

可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構(gòu)造平行四邊形等證明兩直線平行

【練習(xí)2】如圖所示，直三棱柱ABC—A山Ci中，。是AB的中點，證明：BG〃平面ACD

證明如圖，連接AG交AC于點尸，則F為AG的中點.

硝

又是A8的中點,連接￡>F,

則BC\//DF.

平面4CC,BCN平面4C￡>,

,8。〃平面A?CD.

探究三線面平行判定定理的綜合應(yīng)用

【例3】一木塊如圖所示，點尸在平面01C內(nèi)，過點尸將木塊鋸開，使截面平行于直線VB

和AC,應(yīng)該怎樣畫線？

稻

［解］在平面%C內(nèi)經(jīng)過P作EF〃AC,且與KC的交點為凡與V4的交點為￡

是

在平面E48內(nèi)，經(jīng)過點￡作￡”〃VB,與AB交于點H,如圖所示.

在平面Y8C內(nèi)經(jīng)過點F作FG〃丫8,與5c交于點G.

連接GH,則EF,FG、GH、HE為截面與木塊各面的交線，即EF、FG、GH、HE

就是應(yīng)畫的線.

歸納總結(jié)：利用直線和平面平行的判定定理來證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直線

平行的直線，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實4等

【練習(xí)3】如圖，設(shè)P,。是正方體的面A4QQ，面A18CQ的中心，證

明：PQ〃平面ABBAi.

證明：連接4所，因為P,。分別為AA,的中點，所以PQ〃/1S,

ABiU平面ABBA,PQC平面

所以PQ〃平面ABBtAt.

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.己知“，人是兩條相交直線，a//a,則6與a的位置關(guān)系是（）

A.h//a

B.6與a相交

C.bUa

D./>〃a或匕與a相交

【答案】D

解析由題意畫出圖形，當(dāng)“，人所在平面與平面a平行時，〃與平面a平行，當(dāng)公〃所在

平面與平面a相交時，b與平面a相交.

2.若/是平面a外的一條直線，則下列條件中可推出/〃a的是（）

A./與a內(nèi)的一條直線不相交

B./與a內(nèi)的兩條直線不相交

C./與a內(nèi)的無數(shù)條直線不相交

D./與a內(nèi)的任意一條直線不相交

【答案】D

解析根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系易判斷選項D正確.

3.一條直線/上有相異三個點4、B、C到平面a的距離相等，那么直線/與平面a的位置

關(guān)系是（）

A.l//a

B./±?

C./與a相交但不垂直

D./〃a或/ua

【答案】D

解析/〃a時，直線/上任意點到a的距離都相等./Ua時，直線/上所有的點到a的距離

都是0；時，直線/上有兩個點到a的距離相等；/與a斜交時，也只能有兩點到a的

距離相等.

4.點E,F,G,H分別是空間四面體A8CZ）的棱A8,BC,CD,D4的中點，則空間四面

體的六條棱中與平面EFG4平行的條數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

解析如圖，由線面平行的判定定理可知80〃平面EFGH,4c〃平面EFGH.

5.已知直線4〃平面a,Pea,那么過點P且平行于直線a的直線（）

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

C.只有一條，且在平面a內(nèi)

D.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)

【答案】C

解析由平行公理知過點P作與直線a平行的直線有且只有一條，又由線面平行的判定定

理得，該直線一定在平面內(nèi).

6.直線小〃為異面直線，過直線“與直線人平行的平面（）

A.有且只有一個

B.有無數(shù)多個

C.有且只有一個或不存在

D.不存在

【答案】A

解析在〃上任取一點A,則過A與人平行的直線有且只有一條，設(shè)為6',又?.zn?=

A,與》確定一個平面a,即為過。與〃平行的平面，可知它是唯一的.

7.如圖所示，尸為矩形ABCQ所在平面外一點，矩形對角線交點為O,M為P8的中點，

給出五個結(jié)論：

@0M//PD；②0M〃平面PC。；③0M〃平面PD4；④。朋〃平面P8A；⑤。M〃平面P8C.

其中正確的個數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

解析由題意知，0M是△BP。的中位線，二。M〃P￡）,故①正確；PDu平面PC。，0MQ

平面POC,〃平面PCD,故②正確；同理可得：0M〃平面PD4,故③正確；0M與

平面P8A和平面PBC都相交，故④，⑤不正確.故共有3個結(jié)論正確.

An

8.如圖，已知三棱柱ABC—AiBG中，E是3c的中點，。是A4i上的動點，且寸=根,

若AE〃平面D8C，則”的值為（）

A.TB.1C.TD.2

【答案】B

解析如圖，取C81的中點G,連接GE,OG,當(dāng)〃?=1時，AQ=GE=3出?且AO〃GE,

二四邊形ADGE為平行四邊形，則AE〃QG,可得AE〃平面。8c.

二、填空題

9.過平面外一點，與該平面平行的直線有條，如果直線機(jī)平行于平面，那么在平

面內(nèi)有條直線與直線m平行.

【答案】無數(shù)無數(shù)

10.考查下列兩個命題，在“”處都缺少同一個條件，補(bǔ)上這個條件使其構(gòu)成真命

題（其中以。為不同的直線，a、夕為不重合的平面），則此條件為.

bua]a//b

①a//h>=>a〃a；②b//a.>=a〃a.

[答案】aQaaQa

解析根據(jù)線面平行的判定定理知，①處橫線上應(yīng)填Ma；②處橫線上應(yīng)填Ha.

11.如圖所示，在正方體ABCD—4SGG中，E為。G的中點，則與過點A,E,C

的平面的位置關(guān)系是.

【答案】平行

解析如圖，連接BD,與AC交于點O,連接OE.

,/0E為ABDDi的中位線，/.BDi//OE.

又8?！镀矫鍭EC,OEu平面AEC,

.?皿〃平面AEC.

三、解答題

12.如圖所示，已知P是平行四邊形ABC。所在平面外一點，M為PB的中點.

求證：PO〃平面MAC.

證明如圖所示，連接8。交AC于點O,連接MO,

則MO為ABDP的中位線，PD//MO.

平面MAC,M0U平面MAC,

〃平面MAC.

13.如圖，在三棱臺。EF—A8C中，AB=2DE,G,“分別為AC,BC的中點.

求證：8?！ㄆ矫媸?”.

證明如圖，連接DG,CD,設(shè)C￡)CGF=。，連接OH

在三棱臺DE尸一ABC中，AB=2DE,G為力C的中點，可得。尸觸GC,

所以四邊形。尸CG為平行四邊形，

則。為CO的中點，

又，為8c的中點，所以0"〃8。

又OHu平面FGH,BZK平面尸GH,

所以80〃平面FGH.

B組能力提升

一、選擇題

1.下列四個正方體圖形中，A,8為正方體的兩個頂點，M,N,尸分別為其所在棱的中點,

能得出AB〃平面MNP的圖形的是（）

A.①③B.①④

C.②③D.②④

【答案】B

解析①如圖（i）,連接BC,則平面48c〃平面MNP,所以48〃平面MNP,所以①正確.②

如圖（ii）,連接底面正方形對角線，并取其中點0,連接0N,則所以A8與平面

PMN相交，不平行，所以②不滿足題意.③A8與平面相交，不平行，所以③不滿足

題意.④因為所以AB〃平面MNP.所以④正確.

故【答案】為①④.

2.如圖，四棱錐S-48CD的所有的棱長都等于2,E是SA的中點，過C,D,E三點的平面

與SB交于點F,則四邊形。EFC的周長為（）

A.2+小B.3+^3

C.3+2小D.2+2小

【答案】c

［由AB=BC^CD=DA^2,得AB//CD,即AB〃平面DCFE,:平面平面DCFE=

EF,，48〃￡7＜：后是SA的中點，：.EF^\,?！?=0?=小.，四邊形0七/:'(7的周長為3+

2＜3.|

二、填空題

3.如圖所示，ABCD-AXB\C\D\是棱長為a的正方體，M,N分別是下底面的棱A山i，8cl

的中點，P是上底面的棱A。上的一點，AP=多過P,M,N的平面交上底面于P。，。在

CDh,則PQ=.

【答案】

[：MN〃平面AC,平面PA/NC1平面AC=PQ,：.MN//PQ.'：MN//AiCi//AC,J.PQ//AC.

\"AP=^,.*.DP=DQ=^-.

：.PQ=y{2yy=^a.]

三、解答題

4.如圖，四邊形48CZ)為正方形，△ABE為等腰直角三角形，AB=AE,P是線段C￡＞的中

點，在直線AE上是否存在一點M,使得PM〃平面BCE.若存在，指出點M的位置，并證

明你的結(jié)論.

解如圖，存在點M,當(dāng)點M是線段AE的中點時,

PM〃平面BCE.

取8E的中點N,連接CMMN,

則MN超48n央PC,

所以四邊形用NCP為平行四邊形，所以PM〃CN.

因為平面BCE,CNU平面BCE,

所以PM〃平面BCE.

5.如圖，S是平行四邊形A8C。所在平面外一點，M,N分別是SA,8。上的點，且甥=鑒.

LjiVi/V。

求證：MN〃平面SBC.

證明連接AN并延長交BC于P,連接SP.

因