福州市高三12月份月考理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足(z—i)i=2+3i,則目=()

A.√10B.3√2C.IOD.18

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意得，設(shè)z=α+bi,由(z—i)i=2+3i可得，z=3-i,故選A.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的性質(zhì).

2.已知集合Z={■X∣χ2一2χ一3≤0},8={y|y=χ2,χeR},則zn8=()

?.0B.[0,1]C.[0,3]D.[-l,+∞)

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意得，集合幺=3一1W%≤3}]={y∣y≥O},故選C.

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.

3.等差數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S“，若公差d=-2,S3=21,則當(dāng)S“取得最大值時(shí)，〃的值

為()

Λ.10B.9C.6D.5

【答案】D

【解析】

試題分析：由d=-2,S3=21得，％=9,又因?yàn)?=LR=T,故當(dāng)〃=5時(shí)，S,,取最大

值，故選D.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).

\71、=；,則COSX+cos∣g—x)的值為(

4.已知SinX+—)

L3?

B61

A.一旦C.--D.-

3333

【答案】B

-1-

【解析】

試題分析：由題意得，COSX+cos(y-x)=J^sin(x+?)=-旌，故選B.

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù).

2Λ,X≤0

5.在如圖所示的程序框圖中，若函數(shù)/(X)=<log∣x,x>0，則輸出的結(jié)果是()

.2

A.—2B.0.0625C.0.25D.4

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意得，模擬執(zhí)行程序框圖，可得α=-4K0,?=2-4=l>0,α=bg]2?=4不滿足條

16?16

件b<0,繼續(xù)循環(huán),B=Jog14=-2,。=1,滿足條件6<0,退出循環(huán)，輸出a的值為025,故選C.

04

考點(diǎn)：程序框圖.

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

S正視圖H明視圖

俯視圖

2

A.2TT—B.2TT----D.2TT—2

33

-2-

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意得，由三視圖可知該幾何體為圓柱挖去一個(gè)四棱錐得到的,圓柱的底面半徑為1,高為2,

棱錐的底面為正方形,邊長(zhǎng)為3,棱錐的高為1,.?.幾何體的體積P=〃xl2x2-；x(a)2xi=2?—g,

故選A.

考點(diǎn)：由三視圖求體積，面積.

7.已知拋物線=2pχ(p>o),過其焦點(diǎn)R的直線/交拋物線。于點(diǎn)48,若

IZ尸忸川=3:1,則直線/的斜率等于()

A.±—B.±1C.±√2D.±√3

3

【答案】D

【解析】

試題分析：由題意得，設(shè)Z(XQI),8(%,%)，/在第一象限，忸H=3:1,

3

,j

故必=-3>2,X1-^=3(y-x2),X1=-p,y↑=V3/?,

.?.直線I的斜率等于6p-Q=B同理4在第三象限,直線/的斜率等于-VJ,故選D.

P

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

8.四位男生和兩位女生排成一排，男生有且只有兩位相鄰，則不同排法的種數(shù)是()

A.72B.96C.144D.240

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意得，先從4位男生中選2位捆綁在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女

生所形成的3個(gè)空中，故有石屈H=144種，故選C.

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.

9.已知函數(shù)/(x)=sin(<υx+夕)(<υ>0,∣同<]),其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為會(huì)，

且函

-3-

數(shù)/[χ+^?J是偶函數(shù)，下列判斷正確的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為27

B.函數(shù)/'(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)([∣?(θ對(duì)稱

*7jr

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=-若對(duì)稱

D.函數(shù)/(x)在"2T,Tπ上單調(diào)遞增

【答案】D

【解析】

TT

試題分析：由題意得，函數(shù)y=dsio(的+效圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于函數(shù)/(χ)的周

▲

TTTT

期『=萬，故A錯(cuò)誤；?.?∕o>0.?.3=2,「.函數(shù)/@+不？的解析式為：/QC)=S?(2X+?J+9),,二函

126

數(shù)/(x+=)是偶函數(shù)，/.m+0=Qr+f?keZ,解得：9=f..?.f(x)=siπ(2x+g).由

126233

2x+f=丘解得對(duì)稱中心為：(把一50),故B錯(cuò)誤油2x+f=心r+當(dāng)解得對(duì)稱軸是:X=把+：,

32632212

故C錯(cuò)誤；由22r—gW2x+2≤2kπ+T，解得單調(diào)遞增區(qū)間為：口萬一號(hào),左乃+卷],故D正確.故選D.

JuJ/1X,1/

考點(diǎn)：1.正弦函數(shù)的圖象；2.由y=∕sin(g+9)的部分圖象確定其解析式.

10.平行四邊形NBCO中，/8=4,/0=2,萬由萬=4,點(diǎn)P在邊CD上，則巨彳茄的取

值范

圍是()

A.[-1,8]B.[-l,+∞)C.[0,8]D.[-1,0]

【答案】A

【解析】

—?,,—?-1

試題分析:由題意得，?.?ZB=4,4。=2,48?4。=4,.?.AB?ADcos^=4,ΛcosA=-,

2

.?./=60°,以N為原點(diǎn)，以/8所在的直線為X軸，以48的垂線為y軸，建立如圖所示的

坐標(biāo)系，

-4-

.?.J(0,0),5(4,0),Z)(l,?,設(shè)P(x,招)，則14x≤5,.?.k=(τ,-√?麗=(4-七-后),

.?PAPB=(x-2)1-l,設(shè)/(力=(工-2尸一1,.?J3在［12)上單調(diào)遞減在［2,5］上單調(diào)遞增,

???/3.="2)=-1^3皿=〃5)=8,，為麗的取值范圍是[-1^],故選A.

4-

3-

D______________________C

—1■

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，建模思想，二次函數(shù)求最值，數(shù)

形結(jié)合，屬于中檔題，先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求出/=60。，再建立坐標(biāo)系，得

西?麗=(x-2)2-l,構(gòu)造函數(shù)/(χ),利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域〃？，問題得以解

決，因此正確建立直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問題是解題的關(guān)鍵.

11.已知雙曲線C:1—/=l(4>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,6,0為坐標(biāo)原點(diǎn).P是

雙曲

線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO,P￡分別交雙曲線。左、右支于另一點(diǎn)〃,N.若

?PFi?=2?PF2?,且

NMFK=60",則雙曲線C的離心率為()

A.√2B.√3C.√7D.迪

3

【答案】B

【解析】

試題分析：由題意，忸用=2|尸閭尸片ITP閭=2”,所∣=44,∣麗∣=2α,又

-5-

NMN=60°,.?.N月PQ=60。，由余弦定理可得，解得：

4C2=16a2+4?2-2-4??2acos60o,得c=√5α,.?.e=W=√J,綜上所述，選B.

a

考點(diǎn)：1.雙曲線的性質(zhì)；2.余弦定理的應(yīng)用.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的離心率，余弦定理，學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題，

此類型題目主要是先利用雙曲線的定義分別表示出來IARi=4α,∣麗卜2a,再結(jié)合

ZMF2N60°,:.N片JPE=60。利用余弦定理得至U4c?=16/+4〃-2?4α?24cos60。，從

而得到α,c的關(guān)系，即可求出e的值，因此此類題目利用正確熟練雙曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.已知實(shí)數(shù)4,b滿足2/—51na—b=0,c=R,則J(a—+(b+c/的最小值為()

λ1n√2c3√ic9

A.-B.C.------D.一

2222

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意，得，X代換。，y代換6,則XJ滿足：2∕-51Dχ-y=0,即y=2∕-51OMX>0)，

以X代換C,可得點(diǎn)(％-力，滿足x+y=θ,因此求J(α-c)2+(b+c)2的最小值即為求曲線

y=2√-5bx(x>0)上的點(diǎn)到直線x+j=0的距離的最小值，設(shè)直線x+v+?M=0與曲線

y=2，-51DMX>0)相切于點(diǎn)P(%jo)∕(x)=4x-2,則八F)=T,解得％=1,所以切點(diǎn)為

X

"L2),所以點(diǎn)尸到直線x+y=0的距離d=挈，則#-4+(B+/的最小值為半，綜上所述,

/Λf

選C.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)；2.點(diǎn)到直線距離公式.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，推理

能力與計(jì)算能力，屬于難題，通過換元法可轉(zhuǎn)化成函數(shù)間的問題，通過變形發(fā)現(xiàn)變成求

Q(a-c)2+(b+c)2的最小值即為求曲線y=2F_5InX(X>0)上的點(diǎn)到直線x+y=0的

距離的最小值，因此在曲線上找到一個(gè)和x+y=0平行的直線與x+J=O之間的距離最小，

因此將點(diǎn)到直線距離最小值轉(zhuǎn)化成直線與直線距離最小值，因此此類題目將已知條件合理轉(zhuǎn)

換是解決問題的關(guān)鍵.

-6-

第∏卷(非選擇題共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每題5分，滿分20分.)

x+y-?≥0

13.若實(shí)數(shù)X/滿足,x-y-2≤0,則Z=-IX+y的最小值為.

7≤13

【答案】-1

【解析】

試題分析：由題意，得，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，由2=-；x+y得y=gx+z,平移直線

y=gx+z,由圖象知,當(dāng)直線p=gx+z經(jīng)過點(diǎn)d時(shí)，直線的距離最小，此時(shí)Z最小，由x+y-l=O和

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

4-α,1≥l,有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

14.已知函數(shù)/(x)=<

ln(l-x),x<1

【答案】［1,+8)

【解析】

試題分析：由題意，得，當(dāng)x<l時(shí),令I(lǐng)n(I-X)=O解得x=0,故/(x)在(-∞,1)上有1個(gè)零

點(diǎn)，.?./(X)在口,+8)上有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x≥l時(shí),令J7-α=0得α=4zl.實(shí)數(shù)4的取值

范圍是［1,+8).

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

-7-

15.三棱錐尸-4SC中，平面P/CJ_平面

ABC,PA=PC=AB=2√3,AC=4,ZBAC=30°.若

三棱錐尸-/3C的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

【答案】18萬

【解析】

試題分析：由題意,得，：NS=入回,XC=4,NMC=30。，.?.BC=2,.?.ΛABC的外接圓直徑AC=4,

設(shè)球心為O,XC的中點(diǎn)為D,球的半徑為R,則PD=20.?.R1=Q近-J?)2+4,則有該三棱錐的外接

球的半徑K=X2..該三棱錐的外接球的表面積為S=4*=18兀.

2

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是三棱錐的外接球表面積，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔

題，對(duì)于本題而言，根據(jù)題中條件畫出立體幾何圖形，求出8C,假設(shè)出球心，利用勾股關(guān)系,

可得A48C外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表

面積,因此確定三棱錐的外接球的半徑是解決此類題目的關(guān)鍵.

16.己知鬼=:，刪除數(shù)列｛%｝中所有能被2整除的數(shù)，剩下的數(shù)從小到大排成數(shù)列

也｝,

則砥=.

【答案】5151

【解析】

-8-

試題分析：由題意，得，:。〃=————,/.a1=l,ɑ2=3,ɑ3=6,a4=10,???,

?/an=〃。,)，刪除數(shù)列｛??｝中所有能被2整除的數(shù),剩下的數(shù)從小到大排成數(shù)列｛bn｝,

??651==5151.

考點(diǎn)：數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是數(shù)列的第51項(xiàng)的求法，屬于中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意對(duì)數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用，對(duì)于本題而言，求出數(shù)列｛%｝的前8項(xiàng)，由α,,=2(〃；1)不能被2

整除，剩下的數(shù)從小到大排成數(shù)列｛d｝,則為=?n,由此可得到答案，因此對(duì)于解此類題

目，熟練靈活的運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(本小題滿分12分)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且％=2,a,=S用+S,,.

(1)求數(shù)列｛《｝的通項(xiàng)公式；

a

(2)設(shè)a=α2w-,□2",求數(shù)列｛4｝的前∏項(xiàng)和Tn.

,+1

【答案】⑴α,,=M"wN*);(2)T11=(2M-3)E2'+6.

【解析】

試題分析：(1)由=2,02ι=4+1+S*，利用遞推關(guān)系可得。*+1=1，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

即可得到答案；(2)利用錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式即可得出4?

試題解析：(1)因?yàn)?3=S"i+S”,①所以當(dāng)〃之2時(shí)，α∕=E+Sj,②

①一②得碌1—a：=%ι+aκ，即(。41+4)(%+ι—%)=+an>因?yàn)?。，所以a*+ι-=1,所

以數(shù)列｛4｝從第二項(xiàng)起，是公差為1的等差數(shù)列.由①知M=Sa+Sι,因?yàn)楣?1,所以％=2,所以當(dāng)

肛≥2時(shí)，4=2+("-2)xl,即%=耳.③又因?yàn)镺l=I也滿足③式，所以%=M"CW).

(2)由(1)得a=g,ι攵%=(2〃一I)Er,雹=2+3攵2+5攵3+…+(2〃一1戶”，④

23n+,

2Tn=2+3□2+...+(2n-3)□2+(2M-1)∏2",⑤

④-⑤得，—7；=2+2x22+...+2x2"-(2〃—l)□2"l所以

-9-

2?l-2n-')

—北=2+々J2一一(2"l)π2，

故7；=(2〃—3)02向+6.

考點(diǎn)：1.利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的求和.

冗

18.(本小題滿分12分)在A48C中,角4、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、U已知∕≠-,

2

且

3sin/CoS3+'bsin2Z=3sinC.

2

(1)求4的值；

2乃

(2)若/=絲，求A48C周長(zhǎng)的最大值.

3

【答案】(1)。=3；(2)3+2√3.

【解析】

試題分析：(1)由已知式子和三角函數(shù)公式可得伊3)=0,進(jìn)而得到a的值；

(2)由N=學(xué)可得9=〃+Ο2+歷，利用基本不等式可求出3+c)的最大值，即可求出

ZUBC周長(zhǎng)的最大值.

試題解析：(1)由3sin∕8sB+!bs?24=3sinC,得3sinNssB+Bsin∕CoSX=3sinC,由正弦

2

2.t2,2_2

定理，得30cos3+晶8SK=3C,由余弦定理，得3G----------+曲-----------=女，整理得

2aC2bc

,一。")(o-3)=OS因?yàn)镵≠[s所以乂+，一『工。,所以。=3.

2力"

(2)在AiBC中，N=絲,α=3,由余弦定理得，9=b1+cl+bc,因?yàn)?/p>

3

從+,2+兒=(b+c)2—&N(6+c)2—(亭)=[(b+c)2,所以.e+c)2w9,即(b+c)2412,

所以b+c≤2右，當(dāng)且僅當(dāng)A=C=W時(shí)逐號(hào)成立.故當(dāng)b=c=抬時(shí)，AZBC周長(zhǎng)的最大值3+2>J5.

考點(diǎn)：1.正弦定理；2.余弦定理：3.解三角形.

19.(本小題滿分12分)如圖(1),在平行四邊形Z844中，

ZABB1=60°,AB=4,AA,=2,C,C,,

-10-

分別為48,44的中點(diǎn).現(xiàn)把平行四邊形/4GC沿CCl折起，如圖（2）所示，連結(jié)

BIC,B∕,B[4.

(1)求證：AB11CC1；

（2）若ABl=網(wǎng),求二面角C-/用一4的余弦值.

朗⑴圖⑵

【答案】（1）證明見解析；（2）--

5

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明CG，平面2。耳，即可證明結(jié)論；（2）建

立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出二面角c-/耳-4的余弦值.

試題解析：（1）由已知可得，四邊形XoG4,5。G為均為邊長(zhǎng)為2的菱形，且4CG=乙B]GC=6（r.

在圖（1）中，取CG中點(diǎn)。，連結(jié)，0/0/0,故AlOCl是等邊三角形，所以XO_LCG，同理可

得，Bp_LCG,又因?yàn)閄。CiB1O=0,所以CG?平面AOBx,又因?yàn)槿鏘U平面X。用，所以

AB1ICC1.

圖（I）

（2）由已知得，。/=。4=G,∕8∣=石，所以。12+。用=/用，故0Z_L0g.如圖

-11-

(2),分別以

O4,OG,04為X軸，》軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得

C(0,-l,0),51(G,θ,θ),∕(θ,θ,√j),4(0,2,6)，設(shè)平面C44的法向量

AB.[Jm=0

加=(XI,y,zj,/Bl=(G,0,一百)，zc=(o,-ι,-G),由—,得

ACDn=0

Xl-?/?z.-0/—

ILl,令玉=1,得4=1,必=-百，所以平面的法向量為

-yl-√3z,=0

w=(l,-√3,l),設(shè)平面444的法向量

ABDt=0—VJz=0

，j一，得2

n=(x2,y2,z2^,ABi=(上,0,-石),44=(0,2,0),由

二

AAλEh=00

令》2=1，得Z2=l,%=0,所以平面/44的法向量為3=(1,0,1),于是

加Lh2VlO

COS<∕72,∏>=I=Ilz7=—/=-----尸=----,因?yàn)槎娼荂-Ng-4的平面角為鈍角，所以二面

τnHyJ5×√25

角C-AB1一A1的余弦值為一'二.

?15

考點(diǎn)：1.二面角的平面角及求法；2.線面垂直判定及性質(zhì).

2

20.(本小題滿分12分)以橢圓M:0+/=1,>1)的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊

與

□O:/+J?=1共有6個(gè)交點(diǎn)，且這6個(gè)交點(diǎn)恰好把圓周六等分.

(1)求橢圓V的方程；

(2)若直線/與□O相切，且橢圓M相交于P,。兩點(diǎn)，求IPa的最大值.

-12-

【答案】(1)—+/=1；(2)√3.

3

【解析】

試題分析：(1)由題意得，4(0,1),B(αO),NQM=60°,從而得到。的值，由此能求出橢圓方程；(2)

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程可求出，當(dāng)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線/的方程，利用根的判

別式，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出IpQl的最大值.

粵所

試題解析：(D如圖,依題意，4(0,l),3(a,0),NoZB=60°,因?yàn)閠anN0Z5

?AO

以6=q,得α=75,故橢圓的方程為—+/?l.

13^

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線I的方程為X=±1,代入9+/=1,得y=±彳，此時(shí)I乃21=弋.

當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為P=H+膽，因?yàn)橹本€I與O。相切，所以-?s=l,即

√l+*^

21+/=L消去)，整理得(1+3/)，+6方亞+3(m2T)=0,

m=l+k1由｛3

y=AX÷TM

Δ=36?1-12(1+3^)(TM2-1)=12(1+3A2-m1)=24k1,由A>0,得上工0,設(shè)

6km3(-1)

P(XQJ,。仁2,必)，則x∣+Z=一/FEN2=Tk,所以

1+JK1~r?/t

1芭一%I=Ja+wy_4g=，所以

1I3K

IPq=J(XI-x2)+(必—^2)=Jl+%~l?l-?x2∣

-13-

,-------——-(1+左2)+2左2

=√iπ?^?=2G∕("∕)w2≤2√?2=瓜當(dāng)且僅當(dāng)

1+3/1+3公1+3公

?+k2=2k2,即％=±ι時(shí)，|尸。|取得最大值√L綜上所述，|p@最大值為JL

考點(diǎn)：1.橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；2.直線與橢圓的綜合；3.基本不等式.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類與整合思想，

屬于中檔題，解決本題的最重要的思想就是數(shù)形結(jié)合思想，通過圖形分析出其滿足的幾何關(guān)

系，再通過韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算，即可求解，因此正確的利用圓的性質(zhì)，橢圓的性質(zhì)是解決問

題的關(guān)鍵.

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+@—l,a∈R.

X

(1)若函數(shù)/(x)的最小值為0,求α的值；

(2)證明：e*+(InX-I)SinX>0.

【答案】(1)1；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)由題意得，/(x)的最小值問題，需要借助于導(dǎo)數(shù)，對(duì)比極值與端點(diǎn)值確定，

cinγ

而由最值也可確定出未知量Q;(2)借助第一問，將問題轉(zhuǎn)化成最常見的形式：迫土.

X

試題解析：(1)/(x)=InX+@-1的定義域?yàn)?0,+8),且廣(X)=,一0=一.若

XXXX

α<0,則/'(x)〉0,于是/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故/(x)無最小值，不合題意，若

a>0,則當(dāng)0<x<α?xí)r，/(x)<0;當(dāng)x>α?xí)r，/'(%)>0.故/(x)在(0,4)上單調(diào)遞

減，在(α,+∞)上單調(diào)遞增.于是當(dāng)x=α?xí)r，/(x)取得最小值ln“.由已知得Ino=O,解

得α=l.綜上，a=?.

-14-

(2)①下面先證當(dāng)XE(O,乃時(shí)，/+(IuxT)SiDX>0,因?yàn)閄E(O,犯，所以只要證----->1—ln%.

SlQX

由(1)可知JAl-ID%,于是只要證一—>白,即只要證x/-sinx>0,令力(X)=X^-SkIx,貝IJ

XSinXX

∕f(x)=(x+l)/—COSX,當(dāng)O<%<〃時(shí)>A,(x)=(x+l)^x-COSX>1?^°—1=0,所以力(x)在[0,萬)單

調(diào)遞增,所以當(dāng)0<x<萬時(shí)，λ(x)>A(O)=O,即涯X-SiDX>0,故當(dāng)Xe(0,笈)時(shí)，不等式

/+(IiJX-I)SiDX>0成立.②當(dāng)XE["+OO)時(shí)，由(I)?Q^>1-1DX3于是有X之I-ID即

XX

1+lnx

x≥l+lnx,所以e'≥e,即/≥exf又因?yàn)閑x≥e(l+lnx),所以e'2e(l+lnx),所

以

ex+(lnx-l)sinx≥e(lnx+l)+(lnx-l)sinx=(β+sinx)lnx+(e-sinx)>0,綜上，不

等式

ex+(lnx-l)sinx>O成立.

考點(diǎn)：L利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)最值問題，需要借助導(dǎo)數(shù)確定極值，然后與端點(diǎn)值對(duì)比

確定出最值，第二問考查的是出式常見形式的運(yùn)用，需要熟記，屬于難題，本題第一問屬于

X

基礎(chǔ)題，較簡(jiǎn)單，但對(duì)第二問有很大的影響，第一問的結(jié)論第二問是需要用到，主要求出導(dǎo)

數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行討論得到不等式恒成立，然后再對(duì)不等式進(jìn)行合理變形即可求解，此題主要是

對(duì)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，合理變形是解決此類問題的關(guān)鍵.

請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時(shí)請(qǐng)

寫清題號(hào).

22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，48,。,。是半徑為1的口。上的點(diǎn)，8。=OC=1,□O在點(diǎn)3處的切線交的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：NEBO=NC/。；

(2)若49為口。的直徑，求SE的長(zhǎng).

-15-

B

【答案】（1）證明見解析；（2）√3.

【解析】

試題分析：（1）利用弦切角定理和圓周角定理能證明NEB。=Nc4。；（2）連結(jié)。8,則

OBLBE,由OB=OO=BO=I,能求出8E.

試題解析：（1）因?yàn)镴E是O。的切線，所以/EBD=/E3,因?yàn)镴BD=DC,所以前=比,

所以ZBAD=NcAD,所以ZEBD=ZCAD.

(2)若力。為□O的直徑(如圖)，連結(jié)08,則由。8=00=80=1,可得

RFI-

ZBOE=60°,在RfAOBE中，因?yàn)閠a