分式方程經典例題+習題

第二十講分式方程第二十講分式方程【要點梳理】要點一、分式方程、根與增根1.分式方程 分母中含有未知數的方程叫分式方程.要點詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.2.分式方程的根、增根及檢驗分式方程的解也叫作分式方程的根．在檢驗時只要把所求出的未知數的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個根；如果它使最簡公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根．要點詮釋：（1）增根的產生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．

（2）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．要點二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程.轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根.2.分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點三、分式方程的應用分式方程的應用主要就是列方程解應用題.列分式方程解應用題按下列步驟進行：（1）審題了解已知數與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數量關系；（2）設未知數；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關系，列出分式方程；（4）解這個分式方程；（5）驗根，檢驗是否是增根；（6）寫出答案.【典型例題】類型一、判別分式方程 例1、（2016春?閔行區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A． B．C． D．【思路點撥】判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數．【答案】B；【解析】解：A、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；B、該方程屬于無理方程，故本選項正確；C、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；D、該方程符合分式方程的定義，屬于分式方程，故本選項錯誤；故選：B．【總結升華】本題考查了分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．類型二、解分式方程 例2、解分式方程（1）；（2）．【答案與解析】解：（1），將方程兩邊同乘，得．解方程，得．檢驗：將代入，得．∴是原方程的根．（2），方程兩邊同乘以，得．解這個方程，得．檢驗：把代入最簡公分母，得2×5×1＝10≠0．∴原方程的解是．【總結升華】將分式方程化為整式方程時，乘最簡公分母時應乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數項．特別提醒：解分式方程時，一定要檢驗方程的根．舉一反三：【變式】解方程：．【答案】解：，方程兩邊都乘，得，解這個方程，得，檢驗：當時，，∴是增根，∴原方程無解．類型三、分式方程的增根【高清課堂405788分式方程的解法及應用例3（1）】例3、（2015春?安岳縣期中）若解關于x的分式方程會產生增根，求m的值．【思路點撥】增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【答案與解析】解：方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）∵最簡公分母為（x+2）（x﹣2），∴原方程增根為x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．綜上，可知m=﹣4或6．【總結升華】增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．舉一反三：【變式】如果方程有增根，那么增根是________．【答案】；提示：因為增根是使分式的分母為零的根，由分母或可得．所以增根是．類型四、分式方程的應用例4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹?【思路點撥】本題的等量關系為：甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．【答案與解析】解：設甲班每小時種棵樹，則乙班每小時種棵樹．由題意可，得，解這個方程，得．經檢驗是原方程的根且符合題意．所以(棵)．答：甲班每小時種20棵樹，乙班每小時種22棵樹．【總結升華】解此題的關鍵是設出未知數后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時間．舉一反三：【變式】（2015?十堰）在我市開展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動中，某工程隊承擔了某小區(qū)900米長的污水管道改造任務．工程隊在改造完360米管道后，引進了新設備，每天的工作效率比原來提高了20%，結果共用27天完成了任務，問引進新設備前工程隊每天改造管道多少米？【答案】解：設原來每天改造管道x米，由題意得：+=27，解得：x=30，經檢驗：x=30是原分式方程的解，答：引進新設備前工程隊每天改造管道30米．

【鞏固練習】一.選擇題1．下列關于的方程中，不是分式方程的是（）A． B．C． D．2．分式方程的解為（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=﹣ D．x=3．要使的值和的值互為倒數，則的值為()．A.0 B.－1 C. D.14．已知，若用含的代數式表示，則以下結果正確的是()．A. B. C. D.5．若關于的方程有增根，則的值為()．A.3 B.1 C.0 D.－16．一項工程需在規(guī)定日期完成，如果甲隊獨做，就要超規(guī)定日期1天，如果乙隊單獨做，要超過規(guī)定日期4天，現(xiàn)在由甲、乙兩隊共做3天，剩下工程由乙隊單獨做，剛好在規(guī)定日期完成，則規(guī)定日期為（） A．6天 B． 8天 C． 10天 D．7.5天二.填空題7.當＝______時，分式與的值互為相反數．8．某市為治理污水，需要鋪設一段全長600m的污水排放管道，鋪設120m后，為加快施工進度，后來每天比原計劃增加20m，結果共用11天完成這一任務，求原計劃每天鋪設管道的長度．如果設原計劃每天鋪設xm管道，那么根據題意，可列方程．9．方程：=1﹣的根是．10．當＝______時，關于的方程的根是1．11．若方程有增根，則增根是______．12．關于的方程的解是負數，則的取值范圍為____________．三.解答題13.解分式方程：=﹣．14.甲、乙兩地相距50，A騎自行車，B乘汽車，同時從甲城出發(fā)去乙城．已知汽車的速度是自行車速度的2.5倍，B中途休息了0.5小時還比A早到2小時，求自行車和汽車的速度．15.有一個兩位數，它的個位數字比十位數字大1，這個兩位數被個位數字除時，商是8，余數是2，求這個兩位數．

【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】C選項中分母不含有未知數，故不是分式方程.2.【答案】B；【解析】解：去分母得：2x=x﹣2，解得：x=﹣2，經檢驗x=﹣2是分式方程的解，則分式方程的解為x=﹣2，故選B.3.【答案】B；【解析】由題意，化簡得：解得.4.【答案】C；【解析】由題意，化簡得：，所以選C.5.【答案】A；【解析】將代入，得.6.【答案】B；【解析】解：設工作總量為1，規(guī)定日期為x天，則若單獨做，甲隊需x+1天，乙隊需x+4天，根據題意列方程得：3（+）+=1，解方程可得x=8，經檢驗x=8是分式方程的解，故選B．二.填空題7.【答案】18；【解析】，解得.8.【答案】（或）【解析】解：由題意可得，，化簡，得.9.【答案】x=3；【解析】解：去分母得：3﹣x=x﹣4+1，解得：x=3，經檢驗x=3是分式方程的解．故答案為：x=310.【答案】；【解析】將代入原方程，得，解得.11.【答案】；【解析】原方程化為：，解得，經檢驗是增根.12.【答案】a＜1且a≠0；【解析】解：方程去分母得，a=x+1，

解得，x=a-1，

∵x＜0，

∴a-1＜0即a＜1，

又a≠0則a的取值范圍是a＜1且a≠0．三.解答題13.【解析】解：原方程可化為：=﹣，兩邊同時乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），x+1=6x﹣3﹣4x﹣2，解得：x=6．經檢驗：x=6是原分式方程的解．∴原方程的解是x=6．14.【解析】解：設自行車的速度為，汽車的速