高二數(shù)學期末模擬卷03（全解全析）（人教A版2019）

20232024學年上學期期末模擬考試03高二數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+數(shù)列。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標系中，點關于yOz平面的對稱點是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點關于yOz平面的對稱點是.故選：A.2.直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為直線的斜率為，因此，該直線的傾斜角為.故選：A.3．已知直線，且，則實數(shù)a的值為（

）A．5 B．1 C．5或 D．【答案】D【解析】直線，，由解得或，當時，直線與重合，不符合題意，當時，直線與平行，所以實數(shù)a的值為.故選：D4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、成等差數(shù)列，所以，,所以，.故選：B.5．已知，分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．7【答案】B【解析】因為，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B6．在平行六面體中，點E滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，整理得.故選：A.7．圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】設拋物線的方程為，因為，，所以點在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，在方程中取可得，所以點在拋物線內(nèi)，過點作與準線垂直，為垂足，點作與準線垂直，為垂足，則，所以，當且僅當直線與準線垂直時等號成立，所以的最小值為3，故選：B.8．已知圓與圓有且僅有一條公切線，若，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑圓的圓心為，半徑，兩圓有且僅有一條公切線，兩圓內(nèi)切，，即，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知直線，則（

）A．恒過定點 B．當時，不經(jīng)過第二象限C．與直線垂直 D．當時，點到的距離最大【答案】BC【解析】將直線整理變形得，對于A選項，由點斜式方程得直線過定點，故A錯誤；對于B選項，當時，直線與軸的交點橫坐標為，又直線過定點，所以直線不經(jīng)過第二象限，故B選項正確；對于C選項，由于恒成立，所以與直線垂直，故C選項正確；對于D選項，當直線與過點和的直線垂直時，點到的距離最大，此時，又因為直線的斜率為，故當時，點到的距離最大，故錯誤；.故選：BC10．已知曲線，下列說法正確的有（

）A．若曲線表示橢圓，則或B．若曲線表示橢圓，則橢圓的焦距為定值C．若曲線表示雙曲線，則D．若曲線表示雙曲線，則雙曲線的焦距為定值【答案】BCD【解析】對于A選項，若曲線表示橢圓，則，解得，A錯；對于B選項，若曲線表示橢圓，則，橢圓的標準方程為，橢圓的焦距為，B對；對于C選項，若曲線表示雙曲線，則，解得，C對；對于D選項，若曲線表示雙曲線，則雙曲線的標準方程為，雙曲線的焦距為，D對.故選：BCD.11．已知數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．數(shù)列為等差數(shù)列 B．C．隨的增大而減小 D．有最大值【答案】ABD【解析】由，當時，，兩式相減得，即，所以，當時，，則，則，所以數(shù)列數(shù)列是以為公差，為首項的等差數(shù)列，故A正確；則，所以，故B正確；由，得當時，，，當時，，所以當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，故C錯誤；所以當或時，取得最大值，故D正確.故選：ABD.12．已知雙曲線的左焦點，過且與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點，為坐標原點，的面積為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線的方程為B．雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為C．到雙曲線漸近線的距離為D．雙曲線的離心率為【答案】AB【解析】因為雙曲線的左焦點為，所以，將代入雙曲線得，所以過與軸垂直的直線與雙曲線交于，所以的面積為，即，又，所以，所以雙曲線的方程為，故正確;則雙曲線的漸近線方程為，所以兩漸近線的傾斜角為，則兩漸近線所成的銳角為，故B正確;不妨取漸近線，即，到雙曲線漸近線的距離為,故C錯誤﹔雙曲線的離心率為.故D錯誤;故選：AB第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知△的三個頂點分別是點A（4，0），，，則△的外接圓的方程為．【答案】【解析】令△的外接圓圓心，又A（4，0），，∴中點為，則，則，中點為，則，則，∴圓心，又外接圓的半徑，∴△的外接圓的方程為.14．如圖，長方體中，若，則到平面的距離為．【答案】/【解析】因為，所以，，設平面的法向量為，由，可得，取，則，即到平面的距離為.15．如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（簡稱）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】根據(jù)圖形，因為都是直角三角形，,是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.16．如圖，我們把由半橢圓和半橢圓合成的曲線稱作“果圓”．，，是相應半橢圓的焦點，則的周長為，直線與“果圓”交于，兩點，且中點為，點的軌跡方程為．【答案】【解析】由，，是相應半橢圓的焦點，可得，，，所以，，，故所求周長為；設，聯(lián)立直線與，得，即點，聯(lián)立直線與，得，即點，且不重合，即，又為中點，所以，即，，整理可得，，四、解答題：本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知直線經(jīng)過拋物線C：的焦點F，且與C交于A，B兩點．(1)求C的方程；(2)求圓心在x軸上，且過A，B兩點的圓的方程．【解析】（1）依題意，拋物線C的焦點在直線上，則，解得，所以C的方程為．（2）由（1）知，拋物線C的準線方程為，設，，AB的中點為，由消去y得，則，有，，即，因此線段AB的中垂線方程為，即，令，得，設所求圓的圓心為E，則，又AB過C的焦點F，則有，設所求圓的半徑為r，則，故所求圓的方程為．18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前三項分別為(1)求的通項公式(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設等差數(shù)列公差為，由已知，所以，解得，則，所以公差，所以.（2）由題意可得，所以.19．（本小題滿分12分）如圖，在正四棱錐P－ABCD中，，點M，N分別在PA，BD上，且．(1)求證：；(2)求證：平面PBC，并求直線MN到平面PBC的距離．【解析】1）連接AN并延長交BC于E，連接PE，，即，，即，，，又，故E為BC中點，又在正四棱錐中PA=AB，則，，即PE⊥AD，；（2）由（1）得，且面PBC，面PBC，平面PBC，故直線MN到平面PBC的距離即為點N到平面PBC的距離，設為，，點P到面ABCD的距離，由，得，，得.20．（本小題滿分12分）歇山頂，即歇山式屋頂，為古代漢族建筑屋頂樣式之一，宋朝稱九脊殿、曹殿或廈兩頭造，清朝改稱歇山頂，又名九脊頂，其屋頂（上半部分）類似于五面體形狀．如圖所示的五面體的底面ABCD為一個矩形，，，，棱，M，N分別是AD，BC的中點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）因為，為的中點，所以．在矩形中，，分別是，的中點，所以．又，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面中，過作，為垂足．因為平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面．過作的平行線，交于點，則，，，以為坐標原點，以，，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，．設平面EFCD的一個法向量為，則，所以，取，解得，所以，同理可得平面的一個法向量為．設平面與平面夾角為．則，所以平面與平面夾角的余弦值為．21．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和為，是等差數(shù)列，且，，是，的等差中項．(1)求，的通項公式；(2)記，求證：．【解析】（1）因為，所以當時，得，兩式作差得，當時，，即時，．又，，得，解得，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．設等差數(shù)列的公差為d，因為是，的等差中項，所以，又，所以，解得，所以，故，．（2）由（1）知，①，②①②，得．所以．所以，即．22．（本小題滿分12