誤差分布與精度指標(biāo)

第二章誤差分布與精度指標(biāo)

Chapter2ErrorDistributionandPrecisionIndexes§2.1隨機(jī)變量的數(shù)字特征§2.2正態(tài)分布§2.3偶然誤差的規(guī)律性§2.4衡量精度的指標(biāo)§2.5精度、準(zhǔn)確度與精確度§2.1隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望

(expectedvalue)1定義：隨機(jī)變量的概率平均值離散型連續(xù)型§2.1CharacterofRandomVariable數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算規(guī)則二、方差variance定義：離散型連續(xù)型

§2.1CharacterofRandomVariable方差傳播規(guī)律

§2.1CharacterofRandomVariable三、協(xié)方差covariance描述兩隨機(jī)變量X、Y的相關(guān)程度相關(guān)不相關(guān)§2.1CharacterofRandomVariable

四、相關(guān)系數(shù)correlationcoefficient

描述兩隨機(jī)變量的相關(guān)性§2.1CharacterofRandomVariable§2.2正態(tài)分布normaldistribution

一.維正態(tài)分布:是具有兩個(gè)參數(shù)μ和的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,第一參數(shù)μ是遵從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值,第二個(gè)參數(shù)是此隨機(jī)變量的方差,所以正態(tài)分布記作?！?.2normaldistribution

二、n維正態(tài)分布:正態(tài)分布的特性正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱，曲線與橫軸間的面積總等于1

二項(xiàng)分布、t分布等，都是以正態(tài)分布為極限分布§2.2normaldistribution

正態(tài)分布是概率論中最重要的分布：正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布．

正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的．正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．§2.3偶然誤差的規(guī)律性

PropertiesofRandomErrors觀測(cè)值的真值

observationsoftruevalue

任何一個(gè)觀測(cè)量，客觀上總是存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)。這一數(shù)值就稱為該觀測(cè)量的真值。從概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，當(dāng)觀測(cè)量僅含偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望也就是它的真值。真誤差

(trueerror)關(guān)于偶然誤差的規(guī)律科學(xué)實(shí)驗(yàn)：某測(cè)區(qū)，在相同測(cè)量條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了817個(gè)三角形的全部內(nèi)角，由算得各三角形的閉合差。由于作業(yè)中已盡量剔除了粗差和系統(tǒng)性影響，這些三角形閉合差，就整體而言，都是偶然因素所至，故為偶然誤差。它們的數(shù)值分布情況列于下面的表內(nèi)。1.根據(jù)圖表分析偶然誤差的規(guī)律性a)從誤差的大小、個(gè)數(shù)考察誤差的特性：絕對(duì)值有一定的限值絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差多絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)相近1.根據(jù)圖表分析偶然誤差的規(guī)律性b)從頻率分布的角度分析誤差分布情況

愈接近于零的誤差區(qū)間,誤差出現(xiàn)的頻率愈大

距離零愈來愈遠(yuǎn),誤差出現(xiàn)的頻率遞減

出現(xiàn)在正負(fù)誤差區(qū)間內(nèi)的頻率基本相等1.根據(jù)圖表分析偶然誤差的規(guī)律性2.根據(jù)直方圖分析偶然誤差的規(guī)律性直方圖具體作法和分析橫軸：先在橫軸上截出表中的各誤差區(qū)間并以之為底縱軸：以誤差出現(xiàn)于相應(yīng)區(qū)間的頻率除以區(qū)間間隔的商為高，作一系列長方形，構(gòu)成所示的直方圖分析：圖中每一長方形面積即為誤差出現(xiàn)于該相應(yīng)區(qū)間的頻率，長方形面積之和等于1，長方形的高則表示相應(yīng)區(qū)間的誤差分布密度。偶然誤差的概率分布曲線，又稱為偶然誤差的分布密度曲線。這一曲線與正態(tài)分布密度曲線極為接近，所以一般總是認(rèn)為，當(dāng)時(shí)，偶然誤差的頻率分布是以正態(tài)分布為其極限的。圖2.-33.根據(jù)概率分布曲線分析偶然誤差的規(guī)律性總結(jié)：偶然誤差規(guī)律性1．在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零；2．絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；3．絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；4．偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即偶然誤差的理論平均值為零偶然誤差的前三個(gè)特性可以簡要概括為：

界限性聚中性對(duì)稱性抵償性它們充分揭示了表面上似乎并無規(guī)律性的偶然誤差的內(nèi)在規(guī)律。§2.3PropertiesofRandomErrors偶然誤差的界限性：在一定測(cè)量條件下，偶然誤差的數(shù)值是有一定范圍的。因此我們可以根據(jù)測(cè)量條件來確定偶然誤差出現(xiàn)的界限。顯然測(cè)量條件愈好，可能出現(xiàn)的最大偶然誤差愈小；反之，則愈大。所以界限性是以后討論極限誤差的理論依據(jù)。偶然誤差的聚中性：偶然誤差愈接近零，其分布愈密，而且易知，對(duì)于較好的測(cè)量條件這一特性必然相對(duì)明顯和突出。偶然誤差的對(duì)稱性：正負(fù)偶然誤差的分布對(duì)稱于零，故其密度函數(shù)必為偶函數(shù)，于是得偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零然誤差有相互抵償性：當(dāng)誤差個(gè)數(shù)足夠多時(shí)，其算術(shù)平均值應(yīng)趨于零§2.3PropertiesofRandomErrors§2.4衡量精度的指標(biāo)PrecisionIndexes

觀測(cè)值的質(zhì)量取決于觀測(cè)誤差（偶然誤差、系統(tǒng)誤差、粗差）的大小。觀測(cè)誤差較小，觀測(cè)質(zhì)量較好，精度高觀測(cè)誤差較大，觀測(cè)質(zhì)量較差，精度低衡量精度的指標(biāo)方差和中誤差(varianceandmeansquareerrorMSE)平均誤差(averageerror)或然誤差(probableerror)極限誤差(limiterror)相對(duì)(中誤差、真誤差、極限誤差)誤差)(relativeerror)

方差和中誤差

variance&meansquareserrors方差的定義中誤差中誤差的大小可以反映精度的高低,故用中誤差作為衡量精度的指標(biāo)方差、中誤差計(jì)算方差、中誤差的估值，互不相關(guān)方差、協(xié)方差平均誤差averageerror

在一定的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望稱為平均誤差。

相同觀測(cè)條件下,平均誤差是一組獨(dú)立的偶然誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值之極限值。或然誤差

probableerror定義：誤差出現(xiàn)在（-ρ，+ρ）之間的概率等于1/2，或然誤差與中誤差的關(guān)系極限誤差

limiterror中誤差不代表個(gè)別誤差的大小，他表示誤差分布的離散度大小。中誤差落在三個(gè)區(qū)間的概率：

極限誤差定義：以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值相對(duì)誤差

relativeerror定義:中誤差與觀測(cè)值之比表示方法:

相對(duì)中誤差是個(gè)無名數(shù)，在測(cè)量中一般將分子化為1，即用表示。相對(duì)中誤差相對(duì)真誤差相對(duì)極限誤差真誤差中誤差或然誤差極限誤差絕對(duì)誤差

absoluteerror§2.5精度、準(zhǔn)確度與精確度一、精度

precision1定義：

就是指誤差分布的密集或離散的程度，也就是指離散度的大小。離散度較小，觀測(cè)質(zhì)量較好，精度高離散度較大，觀測(cè)質(zhì)量較差，精度低§2.5精度、準(zhǔn)確度與精確度2.觀測(cè)向量精度指標(biāo)-方差協(xié)方差陣§2.5Precision,AccuracyandMeanSquaresError3.互協(xié)方差陣兩組觀測(cè)量記為二、準(zhǔn)確度degreeofaccuracy

準(zhǔn)確度是隨機(jī)變量的真值與其數(shù)學(xué)期望之差，準(zhǔn)確度表征了觀測(cè)結(jié)果系統(tǒng)誤差大小的程度。

精確度是精度和準(zhǔn)確度的合成，是觀測(cè)結(jié)果與其真值的接近程度，包括觀測(cè)結(jié)果與其數(shù)學(xué)期望接近程度和數(shù)學(xué)期望與其真值的偏差。精確度反映了偶然誤差和系統(tǒng)誤差的聯(lián)合影響的大小程度。精確度的衡量指標(biāo)：均方誤差MeanSquaredError

三、精確度degreeofprecision準(zhǔn)確度–系統(tǒng)