提優(yōu)專題25 銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用（解析版）

專題25銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用（解析版）第一部分典例剖析類型一與學(xué)科間相關(guān)的實際應(yīng)用問題典例1（2022?泰州）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗證實驗．如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB＝118°，廠房高AB＝8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）思路引領(lǐng)：連接MC，過點M作HM⊥NM，根據(jù)題意可得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，從而利用平行線的性質(zhì)求出∠CMN＝62°，進(jìn)而求出∠CMH＝28°，然后在Rt△CMD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．解：連接MC，過點M作HM⊥NM，由題意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM?tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD約為11.8米．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．類型二與坡度、坡角相關(guān)的實際問題典例2（2021秋?寧德期末）自卸式貨車可以實現(xiàn)自動卸貨，其原理是通過液壓臂的伸縮來改變貨廂的傾斜角度，如圖1、圖2是某款自卸式貨車卸貨時的截面示意圖，其液壓臂底座A與車廂轉(zhuǎn)軸O的距離AO＝2.4m，伸縮臂支點B與車廂轉(zhuǎn)軸O的距離BO＝2m，當(dāng)車廂底座與車架底座的夾角∠AOB＝37°時，求液壓臂AB的長．（結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)sin37°=35，cos37°=45，思路引領(lǐng)：過點B作BC⊥OA于C，先在Rt△OBC中求出BC，OC，再求出AC，然后在Rt△ABC中求出AB即可解決問題．解：過點B作BC⊥OA于C，如圖．在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∠BOC＝37°，BO＝2，∴BC＝OB?sin∠BOC＝2×3OC＝OB?cos∠BOC＝2×4∴AC＝OA﹣OC＝2.4-8在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴AB=A故液壓臂AB的長為2135總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．類型三與方向角相關(guān)的實際問題典例3（2021秋?和平區(qū)校級月考）如圖，甲船以每小時302海里的速度向正北方向航行．當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，且乙船從B1處沿北偏東15°方向勻速直線航行．經(jīng)過20分鐘后，甲船由A1處航行到A2處，乙船航行到甲船位置（即A2處）的南偏西60°方向的B2處，此時兩船相距102海里，求乙船每小時航行多少海里．思路引領(lǐng)：根據(jù)甲船的速度和行駛時間求出A1A2，可得△A1A2B2是等邊三角形，作B2H⊥A1B1于H，根據(jù)題意求出∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，根據(jù)正弦的定義求出B1B2，計算即可．解：∵甲船以每小時302海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達(dá)A2，∴A1A2＝302×13∵A2B2＝102（海里），∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2是等邊三角形；如圖，過點B2作B2H⊥A1B1于H，根據(jù)題意可知：∠A1B1C＝∠B1A1D＝75°，∠CB1B2＝15°，∴∠A1B1B2＝75°﹣15°＝60°．∵△A1A2B2是等邊三角形，∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝102（海里），∴∠B1A1B2＝180°﹣75°﹣60°＝45°．在△B1A1B2中，A1B2＝102（海里），∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，∴B2H=22A1B2＝∴B1B2=B則乙船每小時航行：2033÷總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題、等邊三角形的判定，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．典例4（2022?豐潤區(qū)二模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為海里；AB＝海里（結(jié)果保留根號）．思路引領(lǐng)：過點P作PC⊥AB于C，解Rt△APC求出AC、PC，再解Rt△BPC求出PB、BC，進(jìn)而得到AB．解：過P作PC⊥AB于C，如圖所示：由題意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC=12PA＝25海里，PC=3AC＝在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝253海里，BP=2PC＝256∴AB＝AC+BC＝（25+253）海里．故答案為：256，（25+253）．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．類型四與不易策略相關(guān)的實際問題典例5（2022秋?靖江市期中）如圖，為了測量河對岸兩點A、B之間的距離，在河岸這邊取點C、D．測得CD＝100米，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．設(shè)A、B、C、D在同一平面內(nèi)．（1）求AC的長；（2）求A、B兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）思路引領(lǐng)：（1）在Rt△ACD中利用直角三角形的邊角間關(guān)系直接求出AC；（2）過點B作BE⊥CD，過點A作AF⊥BE，構(gòu)造矩形ACEF和直角三角形．先說明△BCE是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到CE、BE間關(guān)系，在Rt△BED中，利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出BE、DE，再利用線段的和差關(guān)系求出BF，最后在Rt△ABF中利用勾股定理求出AB．解：（1）在Rt△ACD中，∵∠ADC＝19°17'，CD＝100米，tan∠ADC=AC∴AC＝tan19°17'×CD≈0.35×100＝35（米）．答：AC的長約是35米；（2）如圖，過點B作BE⊥CD，垂足為點E，過點A作AF⊥BE，垂足為點F．∵∠ACD＝90°，∴四邊形ACEF是矩形．∴EF＝AC＝35米，AF＝CE．∵∠BCD＝45°，BE⊥CD，∴△BCE是等腰直角三角形．設(shè)CE＝x米，則AF＝BE＝x米，ED＝（100﹣x）米，在Rt△BED中，∵tan∠BDC=BEED，∠BDC＝56°∴tan56°19'=BEED，即x∴x＝60，∴AF＝BE＝60米，∴BF＝BE﹣EF＝60﹣35＝25（米）．在Rt△ABF中，AB=AF答：A、B兩點之間的距離約是65米．總結(jié)提升：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．類型五與可調(diào)節(jié)的滑動懸桿相關(guān)的問題典例6（2022?岳陽模擬）某種落地?zé)羧鐖D1所示，立桿AB垂直于地面，其高為120cm，BC為支桿，它可繞點B旋轉(zhuǎn)，其中BC長為30cm，CD為懸桿，滑動懸桿可調(diào)節(jié)CD的長度，支桿BC與懸桿CD之間的夾角∠BCD為70°．（1）如圖2，當(dāng)A、B、C三點共線且CD＝50cm時，求燈泡懸掛點D距離地面的高度；（2）在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)50°，同時調(diào)節(jié)CD的長（如圖3），此時測得燈泡懸掛點D到地面的距離為160cm，求CD的長．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）思路引領(lǐng)：（1）過點D作DE⊥AC于點E，在Rt△CDE中，∠cos70°=CECD=CE（2）過點D向地面作垂線，垂足為F，過點C作CG⊥DF于點G，延長AB交CG于點H，在Rt△BCH中，cos50°=BHBC=BH30≈0.64，解得BH＝19.2，則FG＝AH＝AB+BH＝139.2（cm），DG＝DF﹣FG＝20.8（cm），在Rt△CDG中，∠DCG＝70°﹣（90°﹣50°）＝30°，解：（1）過點D作DE⊥AC于點E．在Rt△CDE中，∠BCD＝70°，CD＝50cm，cos70°=CECD解得CE＝17，∴燈泡懸掛點D距離地面的高度為120+30﹣17＝133（cm）．（2）過點D向地面作垂線，垂足為F，過點C作CG⊥DF于點G，延長AB交CG于點H．在Rt△BCH中，∠CBH＝50°，BC＝30cm，cos50°=BHBC解得BH＝19.2，∴FG＝AH＝AB+BH＝120+19.2＝139.2（cm），∴DG＝DF﹣FG＝160﹣139.2＝20.8（cm），在Rt△CDG中，∠DCG＝70°﹣（90°﹣50°）＝30°，sin30°=DG解得CD＝41.6≈42，∴CD的長為42cm．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．典例7（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機(jī)械臂端點C到工作臺的距離CD＝6m．（1）求A、C兩點之間的距離；（2）求OD長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24思路引領(lǐng)：（1）過點A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的長；（2）過點A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的長．解：（1）如圖，過點A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE=AEAB，cos∠ABE∴AE5=0.60，BE∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC=32+62（2）過點A作AF⊥CD，垂足為F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF=45-25=25∴OD＝25≈4.5m總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理等知識；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．類型六“觸礁甄別”類型試題8．（2021春?海門市期中）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為163nmile的圓形海域內(nèi)有暗礁．一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東60°的方向上，且A、P之間的距離為32nmile．若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？請通過計算加以說明．如果有危險，輪船自A處開始沿南偏東至多多少度方向航行才能安全通過這一海域？思路引領(lǐng)：過P作PB⊥AM于B，則PC的長是A沿AM方向距離P點的最短距離，求出PC長和163比較即可，第二問設(shè)出航行方向，利用特殊角的三角函數(shù)值確定答案．解：過P作PB⊥AM于B，在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，∴PB=12AP=12∵16＜163，故輪船有觸礁危險．為了安全，應(yīng)改變航行方向，并且保證點P到航線的距離不小于暗礁的半徑163海里，即這個距離至少為163海里，設(shè)安全航向為AC，作PD⊥AC于點D，由題意得，AP＝32海里，PD＝163海里，∵sin∠PAC=PD∴在Rt△PAD中，∠PAC＝60°，∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°．答：若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有觸礁危險．輪船自A處開始沿南偏東至多60°度方向航行才能安全通過這一海域．總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形﹣方向角問題，掌握的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022秋?寬城區(qū)校級期末）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設(shè)∠ABC＝α，下列關(guān)系式正確的是（）A．sinα=ABBC B．tanα=ABAC C．cosα=思路引領(lǐng)：由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，∴sinα＝sin∠ABC=ACAB，tanα＝tan∠ABC=ACBC，cosα＝cos故選項A、B、D不符合題意，選項C符合題意，故選：C．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?包頭期末）如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為）．（請用含m，α的式子表示）思路引領(lǐng)：過點C作水平地面的平行線，交AB的延長線于D，根據(jù)正弦的定義求出BD，根據(jù)余弦的定義求出CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，計算即可．解：過點C作水平地面的平行線，交AB的延長線于D，則∠BCD＝α，在Rt△BCD中，BC＝m，∠BCD＝α，則BD＝BC?sin∠BCD＝m?sinα，CD＝BC?cos∠BCD＝m?cosα，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，則AD＝CD＝m?cosα，∴AB＝AD﹣BD＝mcosα﹣msinα＝m（cosα﹣sinα），故答案為：m（cosα﹣sinα）．總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．3．（2022?湖北）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°，C點的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，結(jié)果保留整數(shù)）．思路引領(lǐng)：過點D作DE⊥AB于點E，則BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，設(shè)AE＝xm，則DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°=ABBC=6+xx≈解：過點D作DE⊥AB于點E，如圖．則BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，設(shè)AE＝xm，則DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°=ABBC解得x＝10，∴AB＝16m．故答案為：16．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022?連云港）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點A處測得阿育王塔最高點C的仰角∠CAE＝45°，再沿正對阿育王塔方向前進(jìn)至B處測得最高點C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在點G處豎立標(biāo)桿FG，小亮的所在位置點D、標(biāo)桿頂F、最高點C在一條直線上，F(xiàn)G＝1.5m，GD＝2m．（1）求阿育王塔的高度CE；（2）求小亮與阿育王塔之間的距離ED．（注：結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）思路引領(lǐng)：（1）由∠CAE＝45°，AB＝10m，可得BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，可得tan∠CBE＝tan53°=CEBE=CECE-10，即可解得阿育王塔的高度（2）由△FGD∽△CED，可得1.540.58=2ED，可解得小亮與阿育王塔之間的距離ED解：（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE，∵AB＝10m，∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，tan∠CBE＝tan53°=CE∴1.327≈CE解得CE≈40.58（m）；答：阿育王塔的高度CE約為40.58m；（2）由題意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，∴△FGD∽△CED，∴FGCE=GD解得ED≈54.11（m），答：小亮與阿育王塔之間的距離ED約是54.11m．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形﹣仰角問題，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出關(guān)于CE的方程求出CE的長．5．（2021?徐州）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，計劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點F，E為DF與AB的交點．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的長（結(jié)果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經(jīng)過點D的太陽光線與AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板