(6)-1.3 有限元方法介紹計(jì)算機(jī)輔助工程分析

1.3有限元方法介紹計(jì)算機(jī)輔助工程分析有限元法（FiniteElementMethod,FEM)利用有限元分析可以獲取幾乎任意復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的各種機(jī)械性能信息，還可以直接就工程設(shè)計(jì)進(jìn)行各種評(píng)判，對(duì)各種工程事故進(jìn)行技術(shù)分析。從物理方法看：它是用僅在單元（Element）的結(jié)點(diǎn)（node）上彼此相聯(lián)系的單元集合體來代替待分析的連續(xù)體，也即將待分析的連續(xù)體劃分成若干個(gè)單元（彼此相連接），通過單元的特性分析來求解連續(xù)體的特性。有限元法（FiniteElementMethod,FEM)有限元是近似求解一般連續(xù)域問題的數(shù)值方法。從數(shù)學(xué)方法看：它是使一個(gè)連續(xù)的無限問題變成離散的有限自由度問題，一經(jīng)求解出單元未知量，就可以利用插值函數(shù)確定連續(xù)體的場(chǎng)數(shù)。顯然隨著單元數(shù)的增加，即單元尺寸的變小，解的近似程度將不斷改進(jìn)。如單元是滿足收斂要求的，近似解將收斂于精確解。有限元法是求解各種復(fù)雜數(shù)理方程的一種數(shù)據(jù)計(jì)算方法，是彈性/塑性理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)軟硬件有機(jī)結(jié)合在一起的一種數(shù)值分析技術(shù)，是解決工程實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的計(jì)算工具。有限元法（FEM)有限元法的提出有限元分析方法的思想可追溯到1943年，R.Courant首先提出離散化概念——將一個(gè)連續(xù)的整體劃分(離散)成為有限個(gè)分段連續(xù)單元的組合，并第一次應(yīng)用三角形單元的分片連續(xù)函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題。上世紀(jì)50年代，有限元法首先用于飛機(jī)設(shè)計(jì)中。1960年，美國加洲大學(xué)伯克利分校的Clough教授首次正式使用“有限單元”（FiniteElement）術(shù)語，并用四邊形和三角形單元求解平面應(yīng)力問題。于是有限元分析法作為一種數(shù)值分析方法正式出現(xiàn)于工程技術(shù)領(lǐng)域。有限元法（FEM)1956年美國科學(xué)家Turner,Clough等人在分析飛機(jī)，將剛架位移法推廣到彈性力學(xué)平面問題，第一次給出用三角形單元求平面應(yīng)力問題的正確解答。1960年Clough進(jìn)一步處理了平面問題，并第一次提出“有限單元法”的名稱，并取得了一系列成果。60-70年代，有限元的巨大成就引起了數(shù)學(xué)界的注意，對(duì)于有限元離散化誤差、收斂性、穩(wěn)定性等方面的研究鞏固了有限元的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。70年代發(fā)展異常迅速，從“位移法”開始已經(jīng)發(fā)展成內(nèi)容十分廣泛的計(jì)算力學(xué)學(xué)科，僅分析方法而言，可分為：位移元，雜交元、混合元、邊界元、樣條元和半解析法等；就分析對(duì)象而言，已由固體力學(xué)分析、發(fā)展為流體、傳導(dǎo)、塑性、粘彈性等。有限元發(fā)展史有限元法（FEM)有限元的應(yīng)用現(xiàn)狀由于該法具有靈活、快速和有效的特點(diǎn)，使得其發(fā)展非常迅速，很快成為許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和實(shí)際工程問題中廣泛應(yīng)用的方法。應(yīng)用領(lǐng)域涉及機(jī)械制造、材料加工、航空航天、土木建筑、電子電器、國防軍工、船舶、鐵道、汽車、石油以及生物工程等等任何涉及場(chǎng)的問題。目前，國際上有90%的機(jī)械產(chǎn)品和裝備都要采用有限元方法進(jìn)行分析，進(jìn)而進(jìn)行設(shè)計(jì)修改和優(yōu)化。實(shí)際上有限元分析已成為替代大量實(shí)物實(shí)驗(yàn)的數(shù)值化“虛擬實(shí)驗(yàn)”，基于該方法的大量計(jì)算分析與典型的驗(yàn)證性試驗(yàn)相結(jié)合可以做到高效率和低成本。有限元法（FEM)有限元分析簡(jiǎn)單案例有限元法（FEM)兩類典型的工程問題第一類問題：有限個(gè)已知單元體的組合。例如：材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。有限單元法的基本思路

平面桁架結(jié)構(gòu)，由6個(gè)承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel塔，由18036個(gè)部件組成有限元法（FEM)研究對(duì)象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可解的，但是求解復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計(jì)算機(jī)技術(shù)。第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題，電磁場(chǎng)問題等。熱傳導(dǎo)問題的控制方程與換熱邊界條件如下：有限元法（FEM)二維、穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)

MeshoftheplateTemperaturedistribution

ParamtersUniformsourceQ=N(1000N/m2,100W/m2)xyT1=10oCT2=100oCk=N(10W/moC,1W/moC)10m10ma=N(10m,1m)k1=N(10,1)k2=N(20W/moC

,2W/moC)794nods1478elements有限元法（FEM)電子封裝里的熱傳導(dǎo)問題HalfofFlipchipBGApackage

Thick-nessMeanvalueofconductivityDeviationofconductivitySolderball0.1510.051.0Underfill0.154.30.43DIE0.1511011.0Heatspreader0.1538938.9Adhesive0.150.50.05Substrate0.517.51.75ParametersofcomponentsofBGApackagingAdhesiveHeatspreaderdieSolderballUnderfillSubstrate5.573mm5.223mm4.3