專題04 直線方程綜合應(yīng)用難題（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)講練測(cè)（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)專題04直線方程綜合應(yīng)用難題一、核心考點(diǎn)題型歸納【題型一】斜率幾何意義型應(yīng)用【題型二】斜率與傾斜角應(yīng)用【題型三】直線平行與垂直求參數(shù)【題型四】隱藏型垂直求最值【題型五】利用斜率解三角形【題型六】直線方程理論【題型七】光學(xué)性質(zhì)【題型八】最小面積求直線【題型九】切線型求面積最值【題型十】數(shù)形結(jié)合求最值：距離公式【題型十一】數(shù)形結(jié)合求最值：絕對(duì)值型轉(zhuǎn)化【題型十二】直線最值范圍綜合應(yīng)用二、期中期末好題培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納【題型一】斜率幾何意義型應(yīng)用1.（2021春·天津薊州·高二?？计谀┤鐖D，過(guò)點(diǎn)作直線：的垂線，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，…，如此依次下去，得到一組線段：，，，……，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件找到規(guī)律，從而確定正確答案.【詳解】直線的斜率為，傾斜角為，所以，，，……，以此類推可知.故選：B2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn)．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【分析】根據(jù)5顆星的位置情況知∠BAO3＝18°，過(guò)O3作x軸的平行線O3E并確定∠OO3E的大小，即可知AB所在直線的傾斜角.【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點(diǎn)，∴OO3平分第三顆小星的一個(gè)角，又五角星的內(nèi)角為36°知：∠BAO3＝18°，過(guò)O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.故選：C3.（2022秋·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若滿足的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在直線下方的部分有3個(gè)整點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合可解.【詳解】得，所以滿足的整數(shù)解恰有3個(gè)，等價(jià)于函數(shù)的圖象在直線下方的部分有3個(gè)整點(diǎn).如圖，當(dāng)直線的斜率m滿足時(shí)滿足題意，其中所以，，所以.故選：A4.（2023·全國(guó)·高二課堂例題）若函數(shù)，且a＞b＞c＞0，則、、的大小關(guān)系是（

）A．＞＞ B．＞＞C．＞＞ D．＞＞【答案】B【分析】把,,分別看作函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，對(duì)照?qǐng)D象可得答案．【詳解】由題意可得，,,分別看作函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖象可知當(dāng)時(shí)，>>．故選：B．5.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上，其中一條邊所在直線的斜率為，則的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，則可得，，，不妨設(shè)，且直線的傾斜角為，可得，然后利用算出答案即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，不妨設(shè)，且直線的傾斜角為因?yàn)槭堑冗吶切?，所以所以故答案為：【題型二】斜率與傾斜角應(yīng)用1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為．【答案】【詳解】方法一：由斜率和傾斜角關(guān)系，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可得，由此可得傾斜角；方法二：根據(jù)三角函數(shù)定義可知在圓上，根據(jù)圖形關(guān)系可求得，由此可得傾斜角.【分析】方法一：設(shè)直線的傾斜角為，則.直線的傾斜角為；方法二：由三角函數(shù)的定義可知：點(diǎn)在圓上，如圖所示，設(shè)為直線與軸的交點(diǎn)，則，，，又，，，直線的傾斜角為.故答案為：.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，當(dāng)]時(shí)，的取值范圍為.【答案】【分析】由的幾何意義是過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率，結(jié)合圖象可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】的幾何意義是過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率，如圖所示：由題知點(diǎn)M在直線上，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.設(shè)，.又，結(jié)合圖象可得，的取值范圍是.故答案為：3.（2020·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為，其中，若在上，且滿足條件，則的值等于.【答案】【分析】求出的值后可得，再利用同角的三角基本關(guān)系式可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以或，所以?因?yàn)?，故，所以，所以，解?故答案為：.4.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，（），若直線的傾斜角是鈍角，則的取值范圍是【答案】【分析】由直線的傾斜角是鈍角，可知直線的斜率存在,且,即可得到,求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是鈍角，所以直線的斜率存在,且,,則,解得.故答案為:.5.．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)，的直線l的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】【分析】由傾斜角可得斜率k的范圍，再由斜率公式可得m的取值范圍.【詳解】設(shè)直線l的斜率為k，則，因?yàn)?，所以．所以，即解得?故答案為：.【題型三】直線平行與垂直1.（2019·北京·高二?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若直線兩兩相交，且交點(diǎn)恰是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則這樣的有（

）A．2組 B．3組 C．4組 D．5組【答案】A【分析】算出三條直線的方向向量，根據(jù)法向量相互垂直可求a的值，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】三條直線的法向量分別為，于是a的值必然在集合．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，中有重合的直線，當(dāng)時(shí)，三線共點(diǎn)，因此所求組數(shù)為2．故選:A.2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線（、不同時(shí)為零），（、不同時(shí)為零），則“、相交”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】分均不為0和有且只有一個(gè)為0兩種情況討論，分別證得充分性和必要性即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)直線斜率都存在即均不為0時(shí)，若“、相交”，則兩直線的斜率不相等，得，即，當(dāng)直線斜率有一個(gè)不存在即有且只有一個(gè)為0時(shí)，也成立，故充分性成立；反之，均不為0時(shí)，若“”，則，則兩直線的斜率不相等，即、相交，有且只有一個(gè)為0時(shí)，、也相交，故必要性成立；綜上，則“、相交”是“”的充要條件，故選：C.3.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得、的關(guān)系式，再由基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，的最小值為，故選：D4.（2023秋·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）已知直線：，：互相垂直，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線與直線垂直的性質(zhì)得，再上，，能求出的取值范圍.【詳解】解：∵直線：，：互相垂直，∴，∴，∵，，∴.∴的取值范圍為.故選：B.5.（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第八十三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，為正整數(shù)，且直線與直線互相平行，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．11 D．16【答案】B【解析】由已知兩直線平行得出滿足的關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足是正整數(shù)）時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是9．故選：B．【題型四】?jī)蓜?dòng)直線隱藏型垂直求最值1.．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為；分別為上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；直線與直線的交點(diǎn)為；為的中點(diǎn)，若，則，即解得．故選A．2.（2021·高二課時(shí)練習(xí)），動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，若與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)，），則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，，且兩直線斜率之積等于，∴直線和直線垂直，則，即，的最大值為，故選．3.（2023秋·山西大同·高二大同一中校考階段練習(xí)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則．【答案】1【分析】根據(jù)直線對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合直線斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、互相垂直的直線斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)，所以線段的中點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，所以線段的中點(diǎn)為，由題意可知，于是有：，故答案為：13.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)），動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為；若直線與相交于點(diǎn)（異于點(diǎn),），則周長(zhǎng)的最大值為．【答案】【分析】分別求出兩條直線過(guò)的定點(diǎn)，根據(jù)兩直線的位置關(guān)系兩得直線垂直，是直角三角形，由不等式得到答案.【詳解】由條件知直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故周長(zhǎng)的最大值為故答案為：①；②.4.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)分別是△中的對(duì)邊邊長(zhǎng)，則直線與直線的位置關(guān)系是．【答案】垂直【分析】求出兩條直線的斜率，根據(jù)正弦定理，然后判斷兩條直線的位置關(guān)系．【詳解】分別是△內(nèi)角??所對(duì)邊的邊，故：，的斜率為：的斜率為：根據(jù)正弦定理：由兩條直線垂直故答案為：垂直．5.（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高二貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）已知，若過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線：和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線：交于點(diǎn)（與，不重合），則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C． D．的最大值為5【答案】D【分析】根據(jù)定點(diǎn)判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.【詳解】因?yàn)榭梢赞D(zhuǎn)化為，故直線恒過(guò)定點(diǎn)A，故A選項(xiàng)正確；又因?yàn)椋杭春氵^(guò)定點(diǎn)B，由和,滿足，所以,可得,故B選項(xiàng)正確；所以,故C選項(xiàng)正確;因?yàn)?設(shè)為銳角,則,所以,所以當(dāng)時(shí),取最大值,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.【題型五】利用斜率解三角形三大線1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．【答案】C【解析】首先求得直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用到直線的距離相等列方程，解方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).利用到直線的距離以及的長(zhǎng)，求得三角形的面積.【詳解】直線的方程為，即.由解得.設(shè)，直線的方程分別為，即，.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C2.（2022·全國(guó)·高二）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，則的高CD所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出，進(jìn)而得到，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【詳解】由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即.故選：D.3.（2022·河南·高二階段練習(xí)）若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為___________.【答案】3【分析】根據(jù)題意得到該等邊三角形的三邊所在直線的傾斜角，進(jìn)而求出三邊所在直線的斜率，求出和即可.【詳解】因?yàn)橐粭l中線所在直線的斜率為1，所以此中線所在直線的傾斜角為，可得該等邊三角形的三邊所在直線的傾斜角分別為，因?yàn)椋丛摰冗吶切蔚娜吽谥本€的斜率分別為，所以該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為3.故答案為：34.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可得，設(shè)的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，從而可得，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得解.【詳解】解：聯(lián)立，解得，即，因?yàn)椋?，即，設(shè)的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，則，即的角平分線所在直線的斜率為，所以的角平分線所在直線的方程為，即.故選：A.5.（2021·黑龍江·寶泉嶺高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為________.【答案】6x－5y－9＝0【解析】先計(jì)算AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，設(shè)B（x0，y0），AB的中點(diǎn)M為，根據(jù)解得答案.【詳解】由AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A（5，1），AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，聯(lián)立直線AC與直線CM方程得解得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（4，3）.設(shè)B（x0，y0），AB的中點(diǎn)M為，由M在直線2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，B在直線x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，聯(lián)立解得所以頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，－3）.于是直線BC的方程為6x－5y－9＝0.故答案為：6x－5y－9＝06.（2022·江蘇·高二單元測(cè)試）已知為等腰直角三角形，C為直角頂點(diǎn)，AC中點(diǎn)為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，則AB所在直線的方程為_______________________.【答案】【分析】設(shè)，由中點(diǎn)公式求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形可知，，建立與，與間關(guān)系，即可求出，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線的方程.【詳解】因?yàn)橹芯€CE所在直線方程為，所以可設(shè)，由AC中點(diǎn)為，可得，所以，為等腰直角三角形，CE為中線，,，①，又是的中點(diǎn)，,,，化簡(jiǎn)得：②，由①②解得，所以點(diǎn),又因?yàn)?，所以直線方程為,即所求方程為.故答案為：【題型六】直線方程理論1.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，，下面四個(gè)命題中的假命題為（

）A．存在唯一的實(shí)數(shù)δ，使點(diǎn)N在直線上B．若，則過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過(guò)線段M，N的中點(diǎn)；D．若，則點(diǎn)M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長(zhǎng)線相交；【答案】A【分析】根據(jù)題意對(duì)一一分析，逐一驗(yàn)證．【詳解】解：對(duì)于，化為：，即點(diǎn)，不在直線上，因此不正確．對(duì)于，，則，即過(guò)，兩點(diǎn)的直線與直線的斜率相等，又點(diǎn)，不在直線上，因此兩條直線平行，故正確；對(duì)于，，則，化為，因此直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，故正確；對(duì)于，，則，則點(diǎn)，在直線的同側(cè)，故正確；故選A2.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)是直線:的一個(gè)方向向量，是直線的一個(gè)法向量.設(shè)向量與向量的夾角為，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出直線的方向向量，直線的法向量，再利用向量夾角公式計(jì)算即可得解.【詳解】因是直線:的一個(gè)方向向量，則，又是直線的一個(gè)法向量，則，則有向量與向量的夾角為，，所以.故選：C3.（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，為不同的兩點(diǎn)，直線.記，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①不論為何值，點(diǎn)都不在直線上；②若，則過(guò)的直線與直線相交；③若，則直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn).A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè).【答案】C【分析】①通過(guò)分母不為0，確定，可以判斷①的對(duì)錯(cuò)；②③通過(guò)對(duì)條件整理變形，利用直線的相關(guān)性質(zhì)判斷.【詳解】因?yàn)?，分母不?，所以，所以不論為何值，點(diǎn)都不在直線上，①正確；當(dāng)時(shí)，設(shè)，（），則，為直線上的兩個(gè)點(diǎn)，顯然直線與直線平行，故過(guò)的直線與直線不會(huì)相交，②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，設(shè)，整理得：，因?yàn)椋?，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故若，則直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn).③正確；正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)故選：C4.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是（

）A．無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn) B．存在，，使之有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)C．無(wú)論，，如何，總是無(wú)交點(diǎn) D．存在，，使之無(wú)交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)在直線可得，從而可得有唯一交點(diǎn)，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榕c是直線（為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以即，故既在直線上，也在直線上.因?yàn)榕c是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故、不重合，故無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn).故選：A.5.（2020秋·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校┮阎侵本€上一點(diǎn)，是外一點(diǎn)，則方程表示的直線（

）A．與重合 B．與交于點(diǎn) C．過(guò)與平行 D．過(guò)與相交【答案】C【解析】由題意有可得，，，，根據(jù)當(dāng)兩直線方程的一次項(xiàng)系數(shù)相等，但常數(shù)項(xiàng)不相等時(shí)，兩直線平行，得出結(jié)論．【詳解】解：由題意有可得，，，，則方程，，，即，，，它與直線的一次項(xiàng)系數(shù)相等，但常數(shù)項(xiàng)不相等，故，，表示過(guò)點(diǎn)且與平行的直線，故選：C．【題型七】光學(xué)性質(zhì)1.（2022秋·全國(guó)·高二期中）已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后，再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)和它關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則的長(zhǎng)就是所求路程．【詳解】由題意直線方程為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即，又關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，．故選：C2.（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點(diǎn)，如圖，若光線經(jīng)過(guò)的重心，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，和關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由，，四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過(guò)的重心，代入可得關(guān)于的方程，解之可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，故直線的方程為，又由，，，則的重心為，設(shè)，其中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，解得，即，易得關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由光的反射原理可知，，，四點(diǎn)共成直線的斜率，故直線的方程為，由于直線過(guò)的重心，代入化簡(jiǎn)可得，解得：或舍，即，故，故選：C．3..（2021·廣東·廣州市第十六中學(xué)高二期中）已知直線和點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)使得最小，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易得點(diǎn)，在直線的同一側(cè).設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故.因此，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.4.（2021·廣東·廣州奧林匹克中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q分別在線段上運(yùn)動(dòng)，則的周長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C．5 D．【答案】A【分析】求折線段長(zhǎng)度的最小值一般通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn)的方法解決，本題分別作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，此時(shí)和分別交于，得到，此時(shí)的長(zhǎng)即為所求最小值.【詳解】首先易得到方程為，關(guān)于即軸的對(duì)稱點(diǎn)記做，顯然，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，于是，且中點(diǎn)在上，即，解得，即，此時(shí)和分別交于，此時(shí)的周長(zhǎng)的最小，最小值為.若兩點(diǎn)不這樣取，例如如圖所示取這樣的，則的周長(zhǎng)為折線段之和，即有.故選：A5.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，平面上兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為____________．【答案】【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)作平行于的直線為，將的值轉(zhuǎn)化為的最小值，利用數(shù)形結(jié)合以及根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求解出的坐標(biāo).【詳解】關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有.過(guò)作平行于的直線為，由得，即此時(shí)直線為.過(guò)作，則，則.由于是常數(shù)，要使的值取最小，則的值取最小，即三點(diǎn)共線時(shí)最小.設(shè)，由得，即，解得（舍去.），即.設(shè)，則，解得，即，設(shè)，.由得，得，解得或（舍去），故.故答案為：.【題型八】最小面積求直線1.（2023·全國(guó)·高二對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的圖象為直線，且與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有一條；②存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有二條；③存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有三條；④存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有四條．其中，所有真命題的序號(hào)是．A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④【答案】D【詳解】∵直線與軸，軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：，，∴，當(dāng)時(shí)，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)，在時(shí)，有兩個(gè)值；當(dāng)時(shí)，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，有兩個(gè)值；∴當(dāng)時(shí)，僅有一條直線使的面積為，故①不正確；當(dāng)時(shí)，僅有兩條直線使的面積為，故②正確；當(dāng)時(shí)，僅有三條直線使的面積為，故③正確；當(dāng)時(shí)，僅有四條直線使的面積為，故④正確；綜上所述，真命題的序號(hào)是②③④，故選D.2.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)三角形，該三角形的面積記為.當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的表達(dá)式，然后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】在直線的方程中，令，得；令，可得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.3.（2023秋·遼寧葫蘆島·高二?？奸_學(xué)考試）已知，直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】求出四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出四邊形面積，借助函數(shù)思想求最小值.【詳解】過(guò)定點(diǎn)，也過(guò)定點(diǎn)，如圖所示，在的方程中，令，則，在的方程中，令，則，則點(diǎn)，，．由二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，S取得最小值．故選：C.4.（2022秋·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線的斜率小于0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，，當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可設(shè)直線：，由題意分別求出，，即可表示出的面積，再由均值不等式即可求出答案.【詳解】由題意可設(shè)直線：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，則，則.不妨假設(shè)在軸上，則，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)榫€段與的長(zhǎng)度分別為，，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.5.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線，動(dòng)直線，動(dòng)直線．設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)直線l1與l2交于點(diǎn)P，則的面積最大值（

）A． B． C． D．11【答案】C【分析】根據(jù)兩直線的交點(diǎn)為，聯(lián)立直線方程用表示參數(shù)，整理可得點(diǎn)軌跡為圓，而，要使的面積最大，即到直線距離最大，進(jìn)而求面積.【詳解】由題意，動(dòng)直線l1與l2交于點(diǎn)，則，∴消去參數(shù)a，整理可得：，即點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓上，而到直線的距離，故到直線最大距離為，由，則，∴此時(shí)有最大面積為.故選：C【題型九】切線型求面積最值1.（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線，點(diǎn)在上，直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，若面積的最小值為1，則（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【分析】先分析直線和拋物線不會(huì)相交，然后分析出點(diǎn)的位置為斜率為的直線和拋物線的切點(diǎn)時(shí)面積最小，最后用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算.【詳解】不妨設(shè)，由題可得無(wú)解，否則若直線和拋物線有交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，面積將趨近，故，解得.由圖可知，當(dāng)恰好為斜率為的直線和拋物線的切點(diǎn)時(shí)，的面積最小.令，不妨，則，又點(diǎn)到直線的距離為，則，解得（舍去）.故選：B2.（2022春·全國(guó)·高二期中）設(shè)函數(shù)的圖象為曲線C，為C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R的直線PQ與C相切，且與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，當(dāng)三角形POQ的面積取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】表達(dá)出切線方程，三角形POQ的面積，利用導(dǎo)函數(shù)求出極值，最小值及的值.【詳解】，切線PQ的方程為，化簡(jiǎn)，得，所以，，三角形POQ的面積為，令，，令，則，得：或-1（舍去），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由于，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三角形POQ的面積取得最小值．故選：C3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與拋物線相切，且切點(diǎn)在第一象限，則與坐標(biāo)軸圍成三角形面積的最小值為.【答案】4【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后表示出三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)可得最小值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€斜率為，得切線l的方程為與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，令，解得，因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以，所以與坐標(biāo)軸圍成三角形面積令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值所以故答案為：4【題型十】數(shù)形結(jié)合求最值：距離公式知識(shí)點(diǎn)與技巧：求解形如的式子的最小值思路：（1）先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和問(wèn)題；（2）畫出圖示，必要時(shí)借助點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行分析；（3）根據(jù)距離之和的最小值得到原式的最小值.1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，證明，由求目標(biāo)函數(shù)最小值.【詳解】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形；

②函數(shù)在上單調(diào)遞減；③函數(shù)的值域是；

④方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】表示x軸上的點(diǎn)到，和的距離之差的絕對(duì)值.對(duì)于①，當(dāng)點(diǎn)在左右對(duì)稱位置時(shí)，到，和的距離之差的絕對(duì)值相等，所以的圖象是軸對(duì)稱圖形，①正確；對(duì)于②，時(shí)，點(diǎn)從左向右靠近，到，和的距離之差的絕對(duì)值變小，所以在上單調(diào)遞減，②正確；對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，，取最小值0，又因?yàn)?，所以值域?yàn)?，③正確；對(duì)于④，由③得，當(dāng)時(shí)，，所以在上有兩個(gè)不同的解，，和各有兩個(gè)解，故有4個(gè)實(shí)數(shù)解，④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】④中方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意的值域?yàn)椋缘慕庑柙谏?，才能有兩個(gè)解.3.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B．3C． D．6【答案】C【解析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)到點(diǎn)的距離加上點(diǎn)到點(diǎn)的距離加上點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值”，采用分類討論的方法并畫出輔助圖示求解出最小值.【詳解】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，設(shè)，則表示的長(zhǎng)度和，顯然當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，對(duì)應(yīng)原式的結(jié)果更小，當(dāng)均不在坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示：考慮到求解最小值，所以，設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以；當(dāng)其中一個(gè)在坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示：此時(shí)分別有，，所以；當(dāng)都在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，綜上可知：的最小值為，故選：C.4.（2022秋·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是.【答案】【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式的幾何意義，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解，即可得到答案；【詳解】如圖所示，構(gòu)造點(diǎn)，，，，，分別作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，分別為與軸?軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：.5.（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知二元函數(shù)的最小值為，則正實(shí)數(shù)a的值為．【答案】.【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得的表達(dá)式的幾何意義為：點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，作出圖形，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，可得的距離即為最小值，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得結(jié)果.【詳解】由題意得，其幾何意義為：點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，如圖所示：設(shè)點(diǎn)，則求的最小值即可，以B為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，則均為等邊三角形，所以，所以，取等號(hào)時(shí)四點(diǎn)共線，即，又，所以，化簡(jiǎn)可得，左右同時(shí)平方，根據(jù)，解得，故答案為：2.【題型十一】數(shù)形結(jié)合：絕對(duì)值--點(diǎn)到直線距離公式1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線：，則的幾何意義為，點(diǎn)到直線的距離，即可求出取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線：，設(shè)點(diǎn)那么點(diǎn)到直線的距離為：，因?yàn)?，所以，且直線的斜率，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所以，故答案為?2.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì),滿足關(guān)系式，則實(shí)數(shù)t的所有可能的值為．【答案】或或【分析】化簡(jiǎn)得到，然后對(duì)進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】由已知得，整理得，看成有且僅有三條直線滿足和到直線(不過(guò)原點(diǎn))的距離t相等，又，（1）當(dāng)，此時(shí)易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線以及與直線平行的兩條直線和；（2）當(dāng)時(shí)，有4條直線l會(huì)使得點(diǎn)和到它們的距離相等，注意到l不過(guò)原點(diǎn)，所以當(dāng)其中一條直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，會(huì)作為增根被舍去．設(shè)點(diǎn)A到l的距離為d，①作為增根被舍去的直線l，過(guò)原點(diǎn)和A，B的中點(diǎn)，其方程為，此時(shí)，符合；②作為增根被舍去的直線l，過(guò)原點(diǎn)且與平行，其方程為，此時(shí)，符合；綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)t為或或故答案為：或或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有且僅有三條直線滿足和到直線(不過(guò)原點(diǎn))的距離t相等，然后分類討論即得.3.（2021·高二單元測(cè)試）已知直線交圓于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為，表示，兩點(diǎn)到直線的距離和，設(shè)中點(diǎn)為，則到直線的距離和為點(diǎn)到直線距離和的2倍，只需求出點(diǎn)到直線距離范圍，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的軌跡，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，圓，圓心，化為，過(guò)定點(diǎn)，所以由，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓在圓內(nèi)的圓弧，其方程為，聯(lián)立，解得，，所以的軌跡為，圓心到直線的距離為，過(guò)與直線垂直的直線方程為，與圓的交點(diǎn)為，在點(diǎn)軌跡上，不在點(diǎn)軌跡上，所以到直線距離的最大值為，點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，，，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的關(guān)系，考查相交弦的中點(diǎn)軌跡，要注意軌跡的范圍，考查圓弧上點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵要利用點(diǎn)到直線的距離的幾何意義，屬于較難題.4.（2021·湖北·武漢市洪山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知滿足方程，則M的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】將方程轉(zhuǎn)化為，利用方程的幾何意義判斷.【詳解】滿足方程，即滿足方程，幾何意義為：點(diǎn)M到直線x-2y+3=0和到點(diǎn)（-1，1）的距離相等，又因?yàn)辄c(diǎn)（-1，1）在直線x-2y+3=0上，所以點(diǎn)M的軌跡為一條直線，故選：A【題型十二】直線最值范圍綜合應(yīng)用1.（2022秋·四川綿陽(yáng)·高二三臺(tái)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線l：的垂線，垂足為點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q到直線的距離的最小值為．【答案】【分析】直線l：，化為，可得直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)線段PM的中點(diǎn)根據(jù)可得點(diǎn)Q在以點(diǎn)G為圓心，以為半徑點(diǎn)圓上利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)Q到直線的距離的最小值．【詳解】解：直線l：，化為，聯(lián)立，解得，．直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．線段PM的中點(diǎn)．．點(diǎn)Q在以點(diǎn)G為圓心，以為半徑點(diǎn)圓上．其圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．圓心G到直線點(diǎn)距離．點(diǎn)Q到直線的距離的最小值為．故答案為．2.（2021秋·湖北武漢·高二武漢市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：與曲線從左至右依次交于、、三點(diǎn)，若直線：上存在滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】或【分析】由曲線及直線：的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B為原點(diǎn)，且為AC中點(diǎn)，，因?yàn)橹本€：上存在滿足，所以直線上存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，得，解得k的取值范圍【詳解】因?yàn)榍€及直線：的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B為原點(diǎn)，且B為AC中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€：上存在滿足，即，所以直線上存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，得，解得或3.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直線坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱的最小值為點(diǎn)P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:（

）①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C，都有②已知點(diǎn)P(3,1)和直線則③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；④定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿足則點(diǎn)P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①討論，，三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；③運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；④討論在坐標(biāo)軸上和各個(gè)象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．【詳解】解：①對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則，，，；若，或，對(duì)調(diào)，可得，，，；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，，，，；則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有，，，；故①正確；設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，，，．無(wú)最值，綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．故②正確；③由題意，到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)設(shè)為，則，若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；④定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，，，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對(duì)稱性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足，，，即為，為射線，由對(duì)稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．故④正確；綜上可得，真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選:.4.（2022秋·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直線（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），由0可得點(diǎn)M在射線OA上．求出直線和BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b；②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，求得b；③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個(gè)b的范圍取并集，可得結(jié)果．【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線與x軸的交點(diǎn)為M，由直線將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點(diǎn)M在射線OA上．設(shè)直線和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線，求得a＝b．②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：此時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有．③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．設(shè)直線和AC的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即，即，化簡(jiǎn)可得．由于此時(shí)b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得1，∴，化簡(jiǎn)可得，故有1．綜上可得b的取值范圍應(yīng)是，故選：B．5.（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線l3的方程，求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，用m表示出，再借助幾何意義即可計(jì)算得解.【詳解】因直線垂直于，，則設(shè)直線l3的方程為：，由得點(diǎn)，由得點(diǎn)，而，，于是得，而表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離的和，顯然，動(dòng)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與在直線兩側(cè)，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是直線與線段EF：的交點(diǎn)，即原點(diǎn)時(shí)取“=”，此時(shí)m=0，從而得取最小值，所以，當(dāng)直線l3方程為：時(shí)，取最小值.故選：C培優(yōu)練一、單選題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，結(jié)合上點(diǎn)與所成直線的斜率大小判斷各式的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造斜率函數(shù)，即上點(diǎn)與所成直線的斜率，

由題設(shè)，構(gòu)造的斜率都是正數(shù)，由圖象知：傾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得：，即.故選：B2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測(cè)試檢測(cè)樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖象分析的最大值，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意可得：，即，可知表示正方形，其中，即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，由圖可知：當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：①點(diǎn)為點(diǎn)A，則，可得；②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，則；因?yàn)椋缘淖畲笾禐?故選：B.

【點(diǎn)睛】方法定睛：在處理代數(shù)問(wèn)題時(shí)，常把代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何圖形，數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（

）.A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到與的距離之差的最大值，因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，，所以，即的最大值為.故選：D.4．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由兩直線方程求出的坐標(biāo)，由于兩直線垂直，所以，若設(shè)，則，，然后表示出變形后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.【詳解】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線，即，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查兩直線的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知得到，通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.5．（2022秋·湖南懷化·高二?？茧A段練習(xí)）已知：，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)）.則斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)楣饩€從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)經(jīng)反射后，入射光線和反射光線都經(jīng)過(guò)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，又因?yàn)樵俳?jīng)反射，反射光線經(jīng)過(guò)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以只需連接?交與點(diǎn)，連接?分別交為點(diǎn)?，則，之間即為點(diǎn)的變動(dòng)范圍.再求出直線，的斜率即可.【詳解】∵，，，∴直線方程為，直線方程為，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∵，∴，再作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接?交與點(diǎn)，則直線ME方程為，∴，連接?分別交為點(diǎn)?，則直線方程為，直線方程為，∴，.連接，，則，之間即為點(diǎn)的變動(dòng)范圍.∵直線方程為，直線FH的斜率為，∴斜率的范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查入射光線與反射光線之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于入射光線與反射光線都經(jīng)過(guò)物體所成的像，據(jù)此就可找到入射點(diǎn)的范圍.6．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線l3的方程，求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，用m表示出，再借助幾何意義即可計(jì)算得解.【詳解】因直線垂直于，，則設(shè)直線l3的方程為：，由得點(diǎn)，由得點(diǎn)，而，，于是得，而表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離的和，顯然，動(dòng)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與在直線兩側(cè)，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是直線與線段EF：的交點(diǎn)，即原點(diǎn)時(shí)取“=”，此時(shí)m=0，從而得取最小值，所以，當(dāng)直線l3方程為：時(shí)，取最小值.故選：C7．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)平面點(diǎn)集包含于，若按照某對(duì)應(yīng)法則，使得中每一點(diǎn)都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為在上的二元函數(shù)，且稱為的定義域，對(duì)應(yīng)的值為在點(diǎn)的函數(shù)值，記作，若二元函數(shù)，其中，，則二元函數(shù)的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】二元函數(shù)的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的和，結(jié)合三點(diǎn)確定的線段和差關(guān)系即可得解.【詳解】依題意，因，，則點(diǎn)在由直線圍成的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)(含邊界)，如圖，而表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的和，在矩形ABCD及內(nèi)部任取點(diǎn)P，連接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段OQ上時(shí)取“=”，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)取“=”，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段OQ與AC的交點(diǎn)時(shí)取“=”，顯然直線AC：與y軸交點(diǎn)在線段OQ上，即當(dāng)點(diǎn)時(shí)，，所以二元函數(shù)的最小值為7.故選：C8．（2023秋·全國(guó)·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)滿足，記為點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)確定出對(duì)于給定的一點(diǎn)，取最大值時(shí)且，然后根據(jù)點(diǎn)為正方形上任意一點(diǎn)求解出，由此可知.【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于任意確定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)不垂直時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，此時(shí)，如圖所示：因?yàn)椋?，所以，由上可知：?dāng)確定時(shí)，即為，且此時(shí)；又因?yàn)樵谌鐖D所示的正方形上運(yùn)動(dòng)，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用圖像分析取最大值時(shí)與直線的位置關(guān)系，通過(guò)位置關(guān)系的分析可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離問(wèn)題，根據(jù)圖像可直觀求解.二、多選題9．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A．原點(diǎn)到直線l距離等于2B．若點(diǎn)在直線l上，則C．點(diǎn)到直線l距離的最大值等于D．點(diǎn)到直線l距離的最小值等于【答案】ABCD【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式判斷A；由輔助角公式判斷B；由距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷CD.【詳解】對(duì)于A：由點(diǎn)到直線的距離公式知，，故A正確；對(duì)于B：由題意得，當(dāng)時(shí)，則，其中，因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，則，即，綜上，點(diǎn)在直線l上，則，故B正確；對(duì)于CD：因?yàn)?，所以的最大值等于，最小值等于，故CD正確；故選：ABCD10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知平面上三條直線，，，若這三條直線將平面分為六部分，則的可能取值為（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，分為三條直線中有兩條平行，另外一條與這兩條相交和三條直線相交于一點(diǎn)，兩種情況討論，結(jié)合兩直線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)三條直線中有兩條平行，另外一條與這兩條相交，此時(shí)符合題意，若直線與直線平行，可得，此時(shí)滿足題意；若直線與直線平行，可得，此時(shí)滿足題意，（2）若三條直線相交于一點(diǎn)，也符合題意，由，解得，即兩直線的交點(diǎn)為，將代入直線，可得，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或或.故選：ABC.11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則（

）A．直線過(guò)定點(diǎn) B．點(diǎn)到直線的最大距離為C．的最大值為3 D．的最小值為2【答案】AC【分析】由點(diǎn)斜式確定定點(diǎn)，由點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，直徑為的圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)判斷即可.【詳解】可化為，則直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；因?yàn)橹本€的斜率存在，所以點(diǎn)與點(diǎn)不重合，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，直徑為的圓上（去掉點(diǎn)B），點(diǎn)到直線的距離為，由圖可知，，故B錯(cuò)誤；由圖可知，，即，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC

12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：，：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線過(guò)定點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，兩直線，之間的距離為【答案】AB【分析】不管為何值，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A；根據(jù)兩直線垂直的判定即可求得的值，從而可判斷B；根據(jù)兩直線平行的判定即可求得的值，從而可判斷C；結(jié)合C選項(xiàng)可得兩直線的方程，再根據(jù)兩直線平行的距離公式即可判斷D．【詳解】不管為何值，當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)，有，得，故B正確；當(dāng)時(shí)，有，得，故C錯(cuò)誤；結(jié)合C選項(xiàng)知當(dāng)時(shí)，，所以直線：，：，所以兩平行線間的距離為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．三、填空題13．（2023秋