與方程一課時

第2章圓與方程INNOVATIVEDESIGN2.1圓的方程第一課時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期課標(biāo)要求1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能準(zhǔn)確判斷點與圓的位置關(guān)系.素養(yǎng)要求通過探索圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并運用方程解決問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究內(nèi)容索引互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究1一、圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.思考

(1)圓是怎樣定義的？確定它的要素是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？

提示

平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.

確定圓的要素：圓心和半徑，

圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.(2)已知圓的圓心為A(a，b)，半徑為r，你能推導(dǎo)出該圓的方程嗎？2.填空

(1)圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓.其中定點就是圓心，定長就是半徑.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

圓特殊情況一般情況圓心(0，0)(a，b)半徑r(r>0)r(r>0)標(biāo)準(zhǔn)方程_______________________________x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2溫馨提醒

(1)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是確定圓心和半徑.(2)下列情況比較適用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：①在已知圓心、圓的半徑時，可以直接使用公式；②在已知圓心，圓經(jīng)過一個定點時，可以先利用兩點間的距離公式，求解半徑.B3.做一做經(jīng)過點(2，2)，圓心為C(1，1)的圓的方程是(

)二、點與圓的位置關(guān)系1.思考點M0(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2內(nèi)的條件是什么？在圓x2＋y2＝r2外的條件又是什么？

提示

點在圓內(nèi)時，點到圓心的距離小于半徑；點在圓外時，點到圓心的距離大于半徑.位置關(guān)系d與r的大小圖示點P的坐標(biāo)的特點點在圓外d____r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2>>在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2點在圓內(nèi)d____r(x0－a)2＋(y0－b)2____r2＝<<溫馨提醒

點與圓位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：根據(jù)點到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：根據(jù)點的坐標(biāo)與圓的方程的關(guān)系判斷.3.做一做點P(1，3)與以A(2，－1)為圓心，半徑為5的圓的位置關(guān)系為(

)A.在圓上

B.在圓內(nèi)C.在圓外

D.無法確定BHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升2角度1直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1

(1)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.題型一求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圓心坐標(biāo)為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(x－2)2＋y2＝9角度2待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

求經(jīng)過點P(1，1)和坐標(biāo)原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，法二(直接法)由題意知，OP是圓的弦，其垂直平分線方程為x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分線過圓心，1.用直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的策略(1)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，因此用直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)確定圓心和半徑時，常用到中點坐標(biāo)公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點為圓心”等.思維升華2.待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟訓(xùn)練1

求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是(4，－1)，且過點(5，2)；(2)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(3，－4)；解(1)∵圓心為(4，－1)，且過點(5，2)，∴(4＋b)2＝16＝42，∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)求過兩點C(－1，1)和D(1，3)，圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解設(shè)圓心為M(a，0)，∵M(jìn)C＝MD，∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，例3

已知點A(1，2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值

范圍.題型二點與圓的位置關(guān)系的判斷解由題意，得點A在圓C上或圓C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，判斷點與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：利用點到圓心的距離d與半徑r比較大小.(2)代數(shù)法：把點的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷：點P(x0，y0)在圓C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；點P(x0，y0)在圓C內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；點P(x0，y0)在圓C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.思維升華A題型三圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實際應(yīng)用例4

如圖所示是一座圓拱橋，當(dāng)水面距拱頂2m時，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬多少米？(結(jié)果保留兩位小數(shù))解以拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)圓拱所在圓的圓心為C，當(dāng)水面距拱頂2m時，水面所在弦的端點為A，B，則A(6，－2).設(shè)圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，將A(6，－2)代入方程，得r＝10，∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當(dāng)水面下降1m后，可設(shè)點A′(x0，－3)·(x0>0)，解決圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實際應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾個方面思維升華訓(xùn)練3

一輛卡車寬1.6米，要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的蓬頂距地面的高度不得超過多少米？(結(jié)果保留一位小數(shù))解

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)蓬頂距地面高度為h，則A(0.8，h－3.6)，半圓所在圓的方程為x2＋(y＋3.6)2＝3.62.因此這輛卡車的蓬頂距地面的高度不得超過3.5米.課堂小結(jié)1.牢記2個知識點(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).(2)點與圓的位置關(guān)系.2.重點掌握2種方法(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.(2)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法.3.注意1個易錯點本節(jié)課的易錯點是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時易漏解.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成3C2.圓心是C(－3，4)，半徑長為5的圓的方程為(

)A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25D3.已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則直線l的方程是(

) A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0 C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0D解析圓x2＋(y－3)2＝4的圓心坐標(biāo)為(0，3)，又因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1.由點斜式，得直線l的方程為y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.4.若直線y＝ax＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于(

) A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限D(zhuǎn)解析

圓的圓心為(－a，－b).∵直線經(jīng)過第一、二、四象限，∴a<0，b>0，即－a>0，－b<0，∴圓心在第四象限.5.(多選)已知圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，則下列說法正確的是(

)A.圓M的圓心為(4，－3)B.圓M的圓心為(－4，3)C.圓M的半徑為5D.圓M被y軸截得的線段長為6ACD解析由圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，得圓心為(4，－3)，半徑為5，則A，C正確；令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圓M被y軸截得的線段長為6，故D正確.6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，則以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

________________.(x－2)2＋y2＝257.與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圓心，且過點P(－1，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________.(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析

圓心為(2，－3)，設(shè)所求圓的半徑為r，則r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25.8.圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是________.9.求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.∵點C在直線x－2y－3＝0上，∴可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a＋3，a).法二設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，10.已知圓過點A(1，－2)，B(－1，4).(1)求周長最小的圓的方程；(2)求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程.12712.已知圓心在第二象限，半徑為2的圓C與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________；與圓C關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的圓的方程為____________.(x＋2)2＋(y－2)2＝4

x2＋y2＝4解析由題意可得圓心為C(－2，2)，半徑為2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝4.故所求圓