專(zhuān)題3.6 勾股定理的逆定理（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)篇）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專(zhuān)題3.6勾股定理的逆定理（分層練習(xí)）（基礎(chǔ)篇）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．根據(jù)我國(guó)古代一部數(shù)學(xué)著作記載，在約公元前年，人們就已經(jīng)知道如果勾是三、股是四，那么弦是五，這本數(shù)學(xué)著作是（

）A．《幾何原本》 B．《本草綱目》 C．《周髀算經(jīng)》 D．《山海經(jīng)》2．如圖所示，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了（），卻踩壞了花草．A．1米 B．2米 C．3米 D．4米3．一架2.5m長(zhǎng)的梯子斜立在一豎直的墻邊，梯腳距墻底0.7m，這時(shí)梯子達(dá)到的高度是（

）A．2.5m B．2.4m C．2m D．1.8m4．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，連接AB，AC，BC，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定5．美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德用如圖所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成了一個(gè)梯形，用兩個(gè)不同的方法計(jì)算梯形的面積，證明了勾股定理，這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．分類(lèi)討論 B．?dāng)?shù)形結(jié)合 C．方程思想 D．轉(zhuǎn)化思想6．如圖，若圓柱的底面周長(zhǎng)是14cm，高是48cm，從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線(xiàn)到頂部B處，則這條絲線(xiàn)的最小長(zhǎng)度是（

）A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm7．如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm8．如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是（

）A．52 B．68 C．72 D．769．如圖，在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A，在水塔東南方向24m處有一建筑工地B，在A、B間建一直水管，則水管的長(zhǎng)為（）A．40m B．45m C．50m D．56m10．△ABC中，AB=20，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長(zhǎng)是（

）A．54 B．44 C．54或44 D．54或33二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．有一組勾股數(shù)，知道其中的兩個(gè)數(shù)分別是17和8，則第三個(gè)數(shù)是______．12．如圖，則陰影小長(zhǎng)方形的面積S＝_____．13．如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高為20，底面周長(zhǎng)為30，如果一只螞蟻要從圓柱體下底面的點(diǎn)，沿圓柱表面爬到與相對(duì)的上底面點(diǎn)，則螞蟻爬的最短路線(xiàn)長(zhǎng)約為_(kāi)________．14．某醫(yī)院入口的正上方A處裝有紅外線(xiàn)激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高米的市民正對(duì)門(mén)緩慢走到離門(mén)米的感應(yīng)器地方時(shí)（即米），則人頭頂離測(cè)溫儀的距離等于________米．

15．《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的（示意圖如圖，則水深為_(kāi)__________尺．16．如圖，直線(xiàn)l上有三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形，則有______（填“＞”或“＜”或“”）17．用八個(gè)全等的直角三角形拼接了一幅“弦圖”，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，，若，則______．

18．如圖，“趙爽弦圖”是吳國(guó)的趙爽創(chuàng)制的．以直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)得到一個(gè)正方形，該正方形由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組制作了一面“趙爽弦圖鑼”，其中，，，則小正方形的面積是______．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)你的理由．（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39．20．（8分）觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；，，.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)求出：（1）當(dāng)時(shí)，，的值；（2）當(dāng)時(shí)，，的值.21．（10分）光明小區(qū)有一塊三角形空地，如圖所示.經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)米，米，米.物業(yè)部門(mén)欲對(duì)這塊空地進(jìn)行綠化，經(jīng)咨詢(xún)種植月季的價(jià)格是15元/平方米.試計(jì)算物業(yè)部門(mén)種植月季的投資為多少元?22．（10分）如圖，在四邊形中，為直角，，，，.（1）試說(shuō)明；（2）求四邊形的面積23．（10分）第十六屆江西省中小學(xué)智能機(jī)器人技能提升活動(dòng)在南昌舉行，來(lái)自全省的600多名選手在這里展開(kāi)比拼．在這次活動(dòng)中，踢足球的機(jī)器人可謂獨(dú)占鰲頭．如圖，，，，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見(jiàn)一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著方向勻速向點(diǎn)O滾動(dòng)，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線(xiàn)勻速前進(jìn)截球，并在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，求機(jī)器人行走的路程（的長(zhǎng)）．24．（12分）先閱讀下面的材料，再解決問(wèn)題.【實(shí)際問(wèn)題】如圖1，一圓柱的底面半徑為5cm，是底面直徑，高為5cm，求一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)的最短路線(xiàn)，小明設(shè)計(jì)了兩條路線(xiàn).【解決方案】路線(xiàn)1：側(cè)面展開(kāi)圖中的線(xiàn)段，如圖所示設(shè)路線(xiàn)1的長(zhǎng)度為，則.路線(xiàn)2：高線(xiàn)底面直徑.設(shè)路線(xiàn)2的長(zhǎng)度為，則.為比較，的大小，采用“作差法”：因?yàn)?；所以，所以，所以小明認(rèn)為路線(xiàn)2較短.（1）【問(wèn)題類(lèi)比】小亮對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成“圓柱的底面半徑為1cm，高為5cm".請(qǐng)你用上述方法幫小亮比較出與的大小.（2）【問(wèn)題拓展】請(qǐng)你幫他們繼續(xù)研究：在一般情況下，若圓柱的底面半徑為cm，高為cm，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)，當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，路線(xiàn)2較短?請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）【問(wèn)題解決】如圖是緊密排列在一起的2個(gè)相同的圓柱，高為5cm.當(dāng)螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)的兩條路線(xiàn)長(zhǎng)度相等時(shí)，求圓柱的底面半徑.參考答案1．C【分析】根據(jù)基本的數(shù)學(xué)常識(shí)即可得．解：勾股定理記載于《周髀算經(jīng)》，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了基本的數(shù)學(xué)常識(shí)，解題的關(guān)鍵是留意生活中的知識(shí)以及書(shū)本上涉及到的常識(shí)．2．B【分析】先根據(jù)題意求出他們走出的“路”長(zhǎng)，進(jìn)而得到少走的距離．解：根據(jù)勾股定理可得他們走出的“路”長(zhǎng)是：，則少走的距離是，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)勾股定理求出梯子達(dá)到的高度，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：∵一架2.5m長(zhǎng)的梯子斜立在一豎直的墻邊，梯腳距墻底0.7m，∴這時(shí)梯子達(dá)到的高度是：=2.4（m）．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．4．B【分析】根據(jù)勾股定理求出AB、BC、AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理計(jì)算可得出結(jié)論．解：由題意得：，，，∵，∴，∴∠BAC＝90°，∴為直角三角形．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)伽菲爾德利用圖形通過(guò)代數(shù)法表示面積證明勾股定理，是根據(jù)圖形列等式體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．解：伽菲爾德利用圖形通過(guò)代數(shù)法表示面積證明勾股定理，這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的證明方法和數(shù)形結(jié)合思想，審清題意是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】要求絲線(xiàn)的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得出結(jié)果，在求線(xiàn)段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理．解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形ACBD，則從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線(xiàn)到頂部B處，這條絲線(xiàn)的最小長(zhǎng)度是長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)AB的長(zhǎng)．∵圓柱的底面周長(zhǎng)是14cm，高是48cm，∴AB2=142+482=196+2304=2500，∴AB=50（cm）．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，解題關(guān)鍵是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，化曲面為平面，用勾股定理解決．7．B【分析】根據(jù)勾股定理求解出最短路程即可．解：最短路徑故答案為：B．【點(diǎn)撥】本題考查了利用勾股定理求最短路程的問(wèn)題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，然后利用外圍周長(zhǎng)=即可求解．解：由題意可知∵∴∴風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．解：∵在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A，在水塔的東南方向24m處有一建筑工地B，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝32m，OB＝24m，∴AB＝＝40m．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖進(jìn)行分析判斷，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出底邊BC的長(zhǎng)，最后求和即可.解：（1）在直角三角形ACD中，有在直角三角形ADB中，有則CB=CD+DB=5+16=21所以三角形的面積為CB+AC+AB=21+13+20=54.（2）在直角三角形ACD中，有在直角三角形ADB中，有則CB=DB-CD=16-5=11所以三角形的面積為CB+AC+AB=11+13+20=44.故答案為D.【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于以高為突破點(diǎn)把三角形分為高在三角形內(nèi)部和外部的兩種情況.11．15【解析】略12．30【分析】由勾股定理求出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再由長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．解：由勾股定理得：=10，∴陰影小長(zhǎng)方形的面積S=3×10=30；故答案是：30．【點(diǎn)撥】考查了勾股定理；解題關(guān)鍵是利用勾股定理求出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)．13．25【分析】要求最短路線(xiàn)，首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，再利用勾股定理即可求解．解：將圓柱體側(cè)面沿點(diǎn)所在直線(xiàn)展開(kāi)，點(diǎn)A，B的最短距離為線(xiàn)段AB的長(zhǎng)，由上圖可知：，，∴為最短路徑．則螞蟻爬的最短路線(xiàn)長(zhǎng)約為25．故答案為：25．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是要明確，要求兩點(diǎn)間的最短線(xiàn)段，就要把這兩點(diǎn)放到一個(gè)平面內(nèi)，即把圓柱的側(cè)面展開(kāi)再計(jì)算．14．1【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度即可．解：過(guò)點(diǎn)D作，如圖所示，

∵，，，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：米，故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度．15．12【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長(zhǎng)為10尺，則尺，設(shè)出尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水深．解：設(shè)蘆葦長(zhǎng)尺，則水深尺，因?yàn)槌?，所以尺，在中，?解得，即水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺．故答案為：12．【點(diǎn)撥】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．16．【分析】證，推出，則，再證，代入求出即可．解：如圖，∵正方形a，c的邊長(zhǎng)分別為a和c，∴，，由正方形的性質(zhì)得：，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴正方形b的面積為，即，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．17．【分析】用a和b表示直角三角形的兩個(gè)直角邊，然后根據(jù)勾股定理列出正方形面積的式子，求出的面積．解：本圖是由八個(gè)全等的直角三角形拼成的，設(shè)這個(gè)直角三角形兩個(gè)直角邊中較長(zhǎng)的長(zhǎng)度為a，較短的長(zhǎng)度為b，即圖中的，，則，，，∵，∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是要熟悉趙爽弦圖中勾股定理的應(yīng)用．18．【分析】在中，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)4個(gè)直角三角形是全等的，得出，從而得到小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步求出面積．解：在中，由勾股定理得，個(gè)直角三角形是全等的，，小正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的面積，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．19．（1）（4）可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，見(jiàn)分析【分析】根據(jù)如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形進(jìn)行分析即可．解：（1），能組成直角三角形；（2），不能組成直角三角形；（3），不能組成直角三角形；（4），能組成直角三角形．所以第（1），（4）組數(shù)據(jù)能組成直角三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿(mǎn)足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．20．（1），；（2），.【分析】題目明確告訴我們：“觀察下列勾股數(shù)”，就是說(shuō)這些數(shù)據(jù)一定都是勾股數(shù)，即滿(mǎn)足a2+b2=c2；再進(jìn)一步觀察猜想其規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)第二個(gè)數(shù)總是比第三個(gè)數(shù)小1，從而可以利用第二個(gè)數(shù)將第三個(gè)數(shù)表示出來(lái)，即c=b+1；由a的值和規(guī)律c=b+1，利用a2+b2=c2，即可列出關(guān)于b的方程，由方程的解可得到第（1）、（2）兩小題中b、c的值.解：（1）通過(guò)觀察可知，，所以，解得，因此.（2）根據(jù)題意，得，即，解得，.【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握勾股定理.21．9000元【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理得到是直角三角形，再根據(jù)直角三角形面積公式得到的面積，從而得到答案.解：在中，，，所以.所以是直角三角形，且.所以（平方米）.，所以物業(yè)部門(mén)種植月季的投資為9000元.【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的逆定理和直角三角形面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和直角三角形面積