第十八章專題：《平行四邊形》多結(jié)論問題(一)-解析版

第十八章專題：《平行四邊形》多結(jié)論問題（一）如圖，正方形ABCD的邊長為，E在正方形外，DE=DC，過D作DH⊥AE于H，直線DH，EC交于點(diǎn)M，直線CE交直線AD于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是（）

①∠DAE=∠DEA；②∠DMC=45°；③=；④若MH=2，則S△CMD=S△CEDA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C．【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ADC=90°，

∵DC=DE，∴DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，故①正確，∵DA=DC=DE，∴∠AEC=∠ADC=45°，

∵DM⊥AE，∴∠EHM=90°，∴∠DMC=45°，故②正確，

如圖，作DF⊥DM交PM于F，

∵∠ADC=∠MDF=90°，∴∠ADM=∠CDF，

∵∠DMF=45°，∴∠DMF=∠DFM=45°，∴DM=DF，∵DA=DC，

∴△ADM≌△CDF（SAS），∴AM=CF，∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，

∴=，故③正確，

若MH=2，則易知AH=MH=HE=2，AM=EM=2，在Rt△ADH中，DH=1，

∴DM=3，AM+CM=3，∴CM=CE=，∴S△DCM=S△DCE，故④錯誤．

如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M，O為BD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AME=90°，②∠BAF=∠EDB，③AM=MF，④ME+MF=MB．其中正確結(jié)論的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，

∵E、F分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，

∴AE=BF=BC，

在△ABF和△DAE中，AE＝BF，∠ABC＝∠BAD，AB＝AD，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴∠BAF=∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，

∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，

故①正確；

∵DE是△ABD的中線，

∴∠ADE≠∠EDB，

∴∠BAF≠∠EDB，

故②錯誤；

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，

在Rt△ABF中，AF=a，∴AM=MF，故③正確；

BM=a，

∵M(jìn)E+MF=a+a=a，MB=×a=a，

∴ME+MF=MB．

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④共3個．

如圖，在?ABCD中，AB=2AD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接EF、BF，下列結(jié)論①∠CBF=∠ABF；②FE=FB；③2S△EFB=S四邊形DEBC；④∠BFE=3∠DEF．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH．

∵AB=2AD，

∴CD=2AD，

∵F是CD的中點(diǎn)，

∴DF=FC，

∴CF=CB，

∴∠CFB=∠CBF，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠CBF=∠ABF，故①正確，

∵DE∥CG，

∴∠D=∠FCG，

∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，

∴△DFE≌△FCG（AAS），

∴FE=FG，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBG=90°，

∴BF=EF=FG，故②正確，

∵S△DFE=S△CFG，

∴S四邊形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正確，

∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，

∴CF=BH，∵CF∥BH，

∴四邊形BCFH是平行四邊形，

∵CF=BC，

∴四邊形BCFH是菱形，

∴∠BFC=∠BFH，

∵FE=FB，F(xiàn)H∥AD，BE⊥AD，

∴FH⊥BE，

∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，

∴∠EFC=3∠DEF，故④錯誤，

如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥CD，交AD于F，交對角線BD于G，取DG的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，EH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：①FH∥AE；②AH=EH且AH⊥EH；③∠BAH=∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若＝2，則=．其中哪些結(jié)論是正確（）A．①②④⑤ B．②③④ C．①②③ D．②③④⑤【答案】B【解析】證明：①在正方形ABCD中，∠ADC=∠C=90°

∵EF∥CD∴∠EFD=90°，

得矩形EFDC．

在Rt△FDG中，H是DG中點(diǎn)，∴FH⊥BD

∵正方形對角線互相垂直，過A點(diǎn)只能有一條垂直于BD的直線，

∴AE不垂直于BD，∴FH與AE不平行．

所以①不正確．

②∵四邊形ABEF是矩形，∴AF=EB，∠BEF=90°，

∵BD平分∠ABC，∴∠EBG=∠EGB=45°，∴BE=GE，∴AF=EG．

在Rt△FGD中，H是DG的中點(diǎn)，∴FH=GH，F(xiàn)H⊥BD

∴∠AFH=∠AFE+∠GFH=90°+45°=135°

∠EGH=180°-∠EGB=180°-45°=135°

∴∠AFH=∠EGH

∴△AFH≌△EGH，∴AH=EH，∠AHF=∠EHG

∴∠AHF+AHG=∠EHG+∠AHG

即∠FHG=∠AHE=90°∴AH⊥EH．

所以②正確．

③∵△AFH≌△EGH，∴∠FAH=∠GEH，

∵∠BAF=CEG=90°∴∠BAH=∠HEC．

所以③正確．

④∵EF=AD，F(xiàn)H=DH，EH=AH

∴△EHF≌△AHD

所以④正確．

⑤設(shè)EC=FD=x，則BE=AF=EG=2x，

∴BC=DC=AB=AD=3x，AH2=，

S四邊形DHEC=S梯形EGDC-S△EGH=（2x+3x）?x-×2x?x=2x2

S△AHE=AH?EH=AH2=x2，∴=．所以⑤不正確．

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，BE與CF相交于點(diǎn)P，設(shè)AB=a．得到以下結(jié)論：

①BE⊥CF；②AP=a；③CP=a

則上述結(jié)論正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】在△CDF和△BCE中CE＝DF，∠D＝∠BCD，CD＝BC

∴△CDF≌△BCE（SAS）

∴∠CEB=∠CFD

∵∠DCF+∠CFD=90°

∴∠DCF+∠CEB=90°

∴∠EPC=90°

∴①正確；

如圖延長CF交BA延長線于點(diǎn)M，

在△CFD和△MFA中：∠D＝∠FAM，DF＝AF，∠CFD＝∠AFM

∴△CFD≌△MFA（ASA）

∴CD=MA=AB=a，

∵BP⊥CF

∴AP為Rt△MPB斜邊BM上的中線，是斜邊的一半，即AP=BM=×2a=a，

∴②正確；

∵CP⊥BE

∴CP×BE=CE×BC=a2

∵BE=a

∴CP==a

∴③正確

故選：D．如圖，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延長線于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)G，P是DE上一點(diǎn)，∠BPD=∠BCD，且G為PF的中點(diǎn)．則①AF=CH；

②AC=3FH；

③BE=BG；

④若AE=6，則FG=3，以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠BCD=∠ABC=90°，∴∠DAF=∠BCH，

∵BH⊥AC，∴∠BHC=∠BHA=90°，

∴△AFD≌△CHB（AAS），∴AF=CH．故①正確；

②由①知，∠PFH=∠BHF=90°，

∵∠BPD=∠BCD=90°，

∴∠BPD=∠PFH=∠BHF=90°，∴四邊形PBHF為矩形，∴PB=FH，PB∥FH，

∵∠AFG=∠BPG=90°，F(xiàn)G=PG，∠AGF=∠BGP，

∴△AFG≌△BPG（ASA），

∴BP=AF，∴AF=FH，

由①知，AF=CH，∴AF=FH=CH，∴AC=3FH，故②正確；

③假設(shè)BE=BG，

∵∠EBG=90°，∴∠E=∠BGE=45°，

在Rt△EFC中，∠FCB=90°-45°=45°，∴∠BAC=45°，∴BA=BC，

∴矩形ABCD必為正方形，不符合題意，故③錯誤；

④∵DE∥BH，∴∠PEB=∠HBC，

由②知，四邊形PBFH為矩形，PB=FH=CH，

∴∠EPB=∠BHC=90°，

∴△EPB≌△BHC（AAS），∴EB=BC，

∵∠ABC=90°，∴AB垂直平分EC，∴AC=AE=6，

由②知，AF=FH=HC，∴AF=FH=HC=AC=2，∴AH=4，

∵∠BHC=∠AHB=90°，

∴∠BAH+∠ABH=90°，∠ABH+∠HBC=90°，

∴∠BAH=∠HBC，

∴△ABH∽△BCH，∴，∴BH=4，

∵DE∥BH，∴△AFG∽△AHB，∴，∴CF=2，故④錯誤，

如圖，在正方形ABCD中，M為邊BC上的一點(diǎn)，MN⊥BC交BD于點(diǎn)N，連接AM交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DN中點(diǎn)，連接AF．有下列說法：①BN=BM；②∠BAF=∠AEF；③BE2+DF2=EF2；④AB-MN=DF．其中正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，

∵M(jìn)N⊥BC，∴∠BMN=90°，∴△MNB是等腰直角三角形，∴BM=MN，

∴BN=BM；故①正確；

②過F作GH⊥BC于H，交AD于G，連接FM、FC，

∵AD∥BC，∴GH⊥AD，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ADF=∠CDF=45°，

∵DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴AF=CF，

∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，

∴△FGD是等腰直角三角形，∴FG=DG=CH，

∴Rt△AFG≌Rt△FCH（HL），∴∠FAG=∠CFH，

∵M(jìn)N∥FH∥DC，F(xiàn)是DN的中點(diǎn)，∴MH=CH，

∵FH⊥CM，∴FM=FC，∴∠MFH=∠CFH=∠FAG，

∵∠AGF=∠FAG+∠AFG=∠MFH+∠AFG=90°，∴∠AFM=90°，

∵AF=FC=FM，

∴△AFM是等腰直角三角形，∴∠MAF=45°，

∵∠BAF=∠BAM+∠MAF=∠BAM+45°，∠AEF=∠BAM+∠ABE=∠BAM+45°，

∴∠BAF=∠AEF；故②正確；

③∵AD=AB，∠DAB=90°，

∴將△AFD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF'，∴△AFD≌△AF'B，

∴DF=BF'，∠ABF'=∠ADF=45°，AF=AF'，∴∠EBF'=45°+45°=90°，∴EF'2=BF'2+BE2=DF2+BE2，

∵∠F'AE=∠F'AB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=45°=∠EAF，AN=AN，

∴△F'AE≌△FAE，∴EF=EF'，∴EF2=BE2+DF2；故③正確；

④過F作FR⊥CD，垂足為P，使FP=PR，連接DR、RC，

∵∠FDP=45°，∴∠DFP=45°，∴FP=PD=PR，

∴∠FDR=90°，△FDR是等腰直角三角形，∴FR=DF，

∵FR=2FP，CM=2CH=2FP，∴FR=CM，

∵AB=CB，BM=MN，∴CM=BC-BM=AB-BM=AB-MN，

∴AB-MN=DF，故④正確；

本題正確的結(jié)論有：①②③④，4個

如圖，正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P，若AE=AP=1，PB=．下列結(jié)論：①EB⊥ED；②點(diǎn)B到直線DE的距離為；③S△APD+S△APB=；④S正方形ABCD=2+．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④

【答案】A【解析】如圖，∵四邊形ABCD是正方形

∴AD=AB，∠BAD=ADC=90°

∵AE⊥AP∴∠EAP=90°

∴∠BAE+∠BAP=∠BAP+∠DAP=90°∴∠BAE=∠DAP

∵AE=AP=1，∴△ABE≌△ADP（SAS）

∴∠AEB=∠APD，BE=DP

∵△AEP是等腰直角三角形

∴∠AEP=∠APE=45°，EP=AE=

∴∠APD=180°-∠APE=180°-45°=135°

∴∠AEB=135°，∴∠BED=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°，∴EB⊥ED∴①正確；

∴BE=1=AE，∴②不正確；

過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，過P作PG