專題1-3直線與圓的方程20類題型匯總（原卷版）

專題1-3直線與圓的方程20類題型匯總TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理模塊一：直線方程【題型1】求直線方程【題型2】由兩直線的平行垂直關(guān)系求參數(shù)（易錯(cuò)）【題型3】三角形的三線問(wèn)題【題型4】直線與已知線段相交求斜率范圍【題型5】對(duì)稱相關(guān)問(wèn)題匯總模塊二直線與圓【題型6】求圓的方程【題型7】圓的切線性質(zhì)以及求切線方程【題型8】已知直線方程求弦長(zhǎng)和已知弦長(zhǎng)求直線方程【題型9】直線與圓的位置關(guān)系【題型10】圓與圓的位置關(guān)系：公切線，公共弦【題型11】直線與圓的綜合問(wèn)題【題型12】與基本不等式結(jié)合，乘“1”法求最值【題型13】阿波羅尼斯圓【題型14】直線與圓的雙切線模型模塊三：直線與圓的最值問(wèn)題【題型15】定點(diǎn)到含參直線距離最短問(wèn)題【題型16】過(guò)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最短【題型17】點(diǎn)圓型最值【題型18】直線與圓上的點(diǎn)距離最值【題型19】由直線與圓心的距離求參數(shù)的范圍【題型20】三角換元求最值知識(shí)點(diǎn)梳理一、直線的5種方程斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當(dāng)時(shí)，記為）垂直k1·k2=-1（當(dāng)時(shí)，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當(dāng)時(shí)，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當(dāng)時(shí)，記為）二、兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱三、其它公式兩點(diǎn)距離公式：斜率的2個(gè)公式：點(diǎn)到直線距離公式：四、阿波羅尼斯圓定義：已知平面上兩點(diǎn)A，B，則所有滿足，的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以定比m：n內(nèi)分和外分定線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓模塊一：直線方程【題型1】求直線方程（2023上·廣東深圳·高二翠園中學(xué)校考期中）過(guò)點(diǎn)且在軸，軸上截距相等的直線方程為（2023上·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形滿足.(1)求直線的方程；(2)求點(diǎn)的坐標(biāo).【題型2】由兩直線的平行垂直關(guān)系求參數(shù)（易錯(cuò)）若直線和直線平行，則的值為（

）A． B． C．或 D．（多選）已知直線，直線，則下列命題正確的有（

）A．直線恒過(guò)點(diǎn)B．直線的方向向量為，則C．若，則D．若，則【題型3】三角形的三線問(wèn)題（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．邊BC與直線平行B．邊BC上的高所在的直線的方程為C．過(guò)點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為D．過(guò)點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(diǎn)D(3，5)【題型4】直線與已知線段相交求斜率范圍（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知、，若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段有交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．已知點(diǎn)，.若直線與線段AB恒相交，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型5】對(duì)稱相關(guān)問(wèn)題匯總直線l:x+2y-1=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱的直線l'的方程為（

A．2x-y-5=0 B．x+2y-3=0 C．x+2y+3=0 D．2x-y-1=0點(diǎn)P2,0關(guān)于直線l:x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

A．-3,5 B．-1,-4 C．4,1 D．2,3直線2x+3y+4=0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為（

）A．2x+3y-4=0 B．2x-3y+4=0C．2x-3y-4=0 D．3x+2y-4=0一條光線從點(diǎn)A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x-y+4-23=0C．3x+y+4-23=0唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為B3,4，若將軍從點(diǎn)A-2,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為y=x，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

A．5 B．35 C．4 D．點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P-4,8和Q-3,6，然后被直線y=x-3反射，則反射光線所在的直線方程為（A．x+2y-3=0 B．2x+y-15=0C．x-2y-5=0 D．x+2y+3=0“將軍飲馬”問(wèn)題，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B(-2,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)A(3,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．1453 B．37 C．1353 D已知橢圓C：（），過(guò)點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過(guò)C的右焦點(diǎn)，則C的離心率為（

）A． B． C． D．（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知直線，，且.(1)求與之間的距離；(2)一束光線從出發(fā)經(jīng)反射后平行于軸射出，求入射光線所在的直線方程.模塊二直線與圓【題型6】求圓的方程矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，所在直線的方程為.(1)求邊所在直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程.（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知：圓過(guò)點(diǎn)，，，是直線上的任意一點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求的最小值.（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知，．(1)求線段的垂直平分線的直線方程；(2)若一圓的圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該圓的方程．（2023上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，.(1)求直線BC的方程；(2)求的外接圓M的方程.（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在上，且圓C與x軸相切，直線，．(1)若直線與圓C相切，求a的值；(2)若直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，將圓C分成的兩段弧的弧長(zhǎng)之比為，且，求圓C的方程．（2023上·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谀┮阎獔A的圓心坐標(biāo)為，且圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最大值.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.【題型7】圓的切線性質(zhì)以及求切線方程（多選）過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．四邊形的外接圓方程為C．直線方程為D．三角形的面積為（2023上·高二華中師大一附中期末）（多選）設(shè)圓，直線為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為為圓上任意兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．的取值范圍為B．四邊形的最大值為C．滿足的點(diǎn)有兩個(gè)D．的面積最大值為（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求該切線的方程.【題型8】已知直線方程求弦長(zhǎng)和已知弦長(zhǎng)求直線方程（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)求BC邊上的中線AD的所在直線方程；(2)求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長(zhǎng)．（2023上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓.(1)判斷與的位置關(guān)系；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線被、截得的弦長(zhǎng)之比為，求直線的方程.（2023上·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的斜率．【題型9】直線與圓的位置關(guān)系（2023上·廣東深圳·高二深圳大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知點(diǎn)在圓：上，直線，則（

）A．直線與圓相交 B．直線與圓相離C．點(diǎn)到直線距離最大值為 D．點(diǎn)到直線距離最小值為（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，請(qǐng)寫(xiě)出滿足上述條件的一條直線方程.（寫(xiě)出一個(gè)正確答案即可）（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知圓被直線所截得的兩段圓弧的弧長(zhǎng)之比為，且圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.（2023·湖南·衡陽(yáng)市八中高二期末）已知圓的圓心為，且有一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在兩坐標(biāo)軸上，若直線與交于兩點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)．（2023上·浙江臺(tái)州·高二期末）從①②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線上，并解答該題．①經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②圓心C在直線上．已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且___________．(1)求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與該圓有交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．已知圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓.(1)求此圓C的方程；(2)直線與圓相交于、兩點(diǎn).若為等邊三角形，求直線的方程.【題型10】圓與圓的位置關(guān)系：公切線，公共弦（2023上·浙江臺(tái)州·高二期末）已知圓，圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為．設(shè)圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條（長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考）（多選）圓和圓的交點(diǎn)為A，B，則有（

）A．公共弦AB所在直線方程為B．公共弦AB的長(zhǎng)為C．線段AB中垂線方程為D．P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為圓：的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以P到直線AB的距離的最大值為，圓與圓的公共弦AB的長(zhǎng)為，故B,D錯(cuò)誤（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，寫(xiě)出滿足條件“過(guò)點(diǎn)且與圓相外切”的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【題型11】直線與圓的綜合問(wèn)題（2023上·廣東深圳·高二校考期末）已知圓C：，直線l：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為B．當(dāng)時(shí)，直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為C．圓與圓：相外切D．當(dāng)，時(shí)，過(guò)直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則弦長(zhǎng)度的最小值為（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）（多選）設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示圓，則（

）A．B．該圓必過(guò)定點(diǎn)C．若直線被該圓截得的弦長(zhǎng)為2，則或D．當(dāng)時(shí)，該圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，已知直線關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C．2 D．【題型12】與基本不等式結(jié)合，乘“1”法求最值（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若直線（，）平分圓，則的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．若直線（，）平分圓，則的最小值是________【題型13】阿波羅尼斯圓（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知，，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為，面積的最大值為.兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；若平面內(nèi)兩動(dòng)點(diǎn)，（）滿足，則的最大值為.（2023上·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，P是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為；若點(diǎn)Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線C的焦點(diǎn)為F，則的最小值為．已知N為拋物線上的任意一點(diǎn)，M為圓上的一點(diǎn)，，則的最小值為．【題型14】直線與圓的雙切線模型已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．1（2023四川外國(guó)語(yǔ)附屬學(xué)校月考）已知是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線AB與l平行時(shí)，（

）A． B． C． D．4過(guò)直線上的點(diǎn)P作圓的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，兩切點(diǎn)間的距離為（

）A．1 B．2 C． D．（多選）已知圓，過(guò)直線上一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．若點(diǎn)，則直線AB的方程為B．面積的最小值為C．直線AB過(guò)定點(diǎn)D．以線段AB為直徑的圓可能不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O21．（2023上·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知圓：，過(guò)直線：上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A．若點(diǎn)，則直線的方程為B．面積的最小值為C．直線過(guò)定點(diǎn)D．以線段為直徑的圓可能不經(jīng)過(guò)點(diǎn)22．（2023上·河南·高二漯河高中校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知圓O：，過(guò)點(diǎn)M作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且直線恒過(guò)定點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)M的軌跡方程為B．的最小值為C．圓O上的點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為D．已知直線l：x+y-6=0，過(guò)直線上一點(diǎn)P作圓x2+y2=4的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PAOB面積的最小值為，此時(shí)四邊形PAOB外接圓的方程為．41．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考二模）已知直線l：與x軸相交于點(diǎn)A，過(guò)直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D兩點(diǎn)，則直線CD恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為；記M是CD的中點(diǎn)，則的最小值為.模塊三：直線與圓的最值問(wèn)題【題型15】定點(diǎn)到含參直線距離最短問(wèn)題點(diǎn)到直線距離的最大值為A．1 B． C． D．2點(diǎn)M2,1到直線l:2λ+1x+A．355 B．5 C．3 D【題型16】過(guò)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最短（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時(shí)直線l的方程為（

）A． B．C． D．若直線與圓分別交于M、N兩點(diǎn).則弦MN長(zhǎng)的最小值為.已知直線：和圓C：.(1)直線恒過(guò)一定點(diǎn)M，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，求出弦長(zhǎng).直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為