專題05 全等三角形常見輔助線專題探究 （原卷版）

專題05全等三角形常見輔助線專題探究類型一倍長中線——構(gòu)全等【知識點睛】倍長中線輔助線方法規(guī)律總結(jié)基本圖形輔助線條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境延長AD到點E，使DE=AD，連接CE條件：△ABC，AD=BD結(jié)論：△ABD≌△CED(SAS)①倍長中線常和△三邊關(guān)系結(jié)合，考察中線長的取值范圍②倍長中線也可以和其他幾何圖形結(jié)合，考察幾何圖形的面積問題倍長中線模型的變形——“倍長中線類”模型：基本圖形輔助線條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境延長AD交直線l2于點E，條件：l1∥l2，CD=BD結(jié)論：△ABD≌△ECD(AAS)與含有平行元素的幾何圖形結(jié)合考察全等三角形的判定【類題訓(xùn)練】1．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中點，AD的取值范圍為．2．如圖，D是AB延長線上一點，DF交AC于點E，AE＝CE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝3，CF＝5，則BD的長是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．23．如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一點，BE交AD于點F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為．4．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．5．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．6．（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．類型二截長補短——造全等【知識點睛】截長補短輔助線方法規(guī)律總結(jié)基本圖形輔助線條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境在AC上截取AE=AD，連接PE條件：AP平分∠BAC，結(jié)論：△APD≌△APE(SAS)①截長補短類輔助線經(jīng)常和角平分線同步考察②截長補短類全等的目的通常是為了等價線段總結(jié)：因為截長補短常得線段相等，所以截長補短經(jīng)常用于證明三條線段間的數(shù)量關(guān)系，如AD=BC+EF【類題訓(xùn)練】7．如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點（不與A，D重合），則AB﹣ACPB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B+∠ADC＝180°，DA＝DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．9．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P（1）求∠CPD的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝7，求線段AC的長．10．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上一個動點（點D不與點B，C重合），連接AD，點E在邊AC的延長線上，且DA＝DE．（1）求證：∠BAD＝∠EDC：（2）用等式表示線段CD，CE，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）△ABC≌△ADE嗎？為什么？（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）延長BF到G，使得FG＝FB，試說明CD＝2BF+DE．類型三整體旋轉(zhuǎn)—共線—再全等【知識點睛】整體旋轉(zhuǎn)三角形得全等輔助線方法規(guī)律總結(jié)基本圖形輔助線條件與結(jié)論特別提醒將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB與AD重合，點E的對應(yīng)點記為點G條件：正方形ABCD，∠EAF=45°結(jié)論：①△AEF≌△AGF(SAS)②EF=BE＋DF此種類型的輔助線其實是在證明“正方形的半角模型”；但是這種輔助線也可以應(yīng)用在等邊三角形的問題中，此時旋轉(zhuǎn)角度為60°或者120°【類題訓(xùn)練】9．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足為E，且DE＝EB＝5，則四邊形ABCD的面積．10．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N，AH⊥MN于點H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）11．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，如圖2，請問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；（2）當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明．12．如圖，在等邊三角形ABC中，點P為△ABC內(nèi)一點，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AP'，連接PP'，BP'．（1）用等式表示BP'與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)∠BPC＝120°時，①直接寫出∠P'BP的度數(shù)為；②若M為BC的中點，連接PM，用等式表示PM與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明．類型四連接線段——得全等【知識點睛】連接線段得△全等輔助線方法規(guī)律總結(jié)基本圖形輔助線條件與結(jié)論結(jié)論應(yīng)用連接AD條件：AB=AC，BD=CD結(jié)論：△ABD≌△ACD(SSS)此種類型的輔助線雖然最簡單，但是也最常見，常用來證明角相等【類題訓(xùn)練】13．如圖，已知：，，，，則（

）A． B． C．或 D．14．把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H（如圖）．試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想．【課后綜合練習(xí)】1．[方法呈現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC中，AD為中線，已知AB＝3，AC＝5，求中線AD長的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接CE，則易證△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，則可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，從而可得中線AD長的取值范圍是．[探究應(yīng)用]（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，并寫出完整的證明過程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F，點E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．閱讀理解如圖①，△ABC中，D是BC中點，連接AD，直接回答S△ABD與S△ADC相等嗎？（S表示面積）；應(yīng)用拓展（2）如圖②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE、EC，試利用上題得到的結(jié)論說明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解決問題（3）現(xiàn)有一塊如圖③所示的梯形試驗田，想種兩種農(nóng)作物做對比實驗，用一條過D點的直線，將這塊試驗田分割成面積相等的兩塊，畫出這條直線，并簡單說明另一點的位置．3．（1）如圖①，OP是∠MON的平分線，點A為OM上一點，點B為OP上一點．請你利用該圖形在ON上找一點C，使△COB≌△AOB，請在圖①畫出圖形．參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？請你直接作出判斷，不必說明理由．4．如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之