面包店問題課件

數學建模論文答辯題B：面包店問題單位：環(huán)工111李功松環(huán)工111方愛冬信息121陳玲玲摘要

本文解決的是烤箱烘烤面包問題。通過分析我們建立了相應的數學模型，并通過對問題進行求解與分析。

首先就問題一，我們將烘烤方案設計為三種。生產模型一：同一烤箱烘烤同種面包。生產模型二和生產模型三：混合烘烤。由于我們對模型一和生產模型二進行了一些條件上的假設與限制，所以較為簡單，我們并未進行深入探討。之后，我們緊密聯系了烤箱烘烤面包的實際情況，對模型而進行了較為嚴謹、科學的分析。諸如：烤箱的容積，各種類面包的體積，以及烘烤的時間差等限制性因素。我們先對一臺烤箱進行分析。確定運用模糊數學的聚類分析法，然后通過建立0-1整數規(guī)劃模型，使用Lingo軟件設計出一個最優(yōu)烘烤方案。對兩臺烤箱的工作時間盡可能短，即求兩臺烤箱的工作時間最長的烤箱的工作時間盡可能的小。我們運用非線性規(guī)劃模型，建立目標函數和求出約束條件，再次利用Lingo軟件編程解決問題。針對問題一，為了使模型更加形象化，易于理解。我們通過收集到的數據對所建立的模型進行檢驗。而且，為了評價出方案的優(yōu)劣，我們將以數據的波動程度而定。

然后就問題二，根據市場分析進行生產條件的假設，建立目標函數，線性與非線性規(guī)劃模型，確定約束條件，然后運用Lingo軟件編寫程序對數據進行處理從而得出面包店的生產計劃，以獲得最大的利潤。

關鍵字：面包烘烤時間函數

0-1整數規(guī)劃模型和非線性規(guī)劃模型

Lingo軟件市場分析調查

面包最大利潤函數

線性規(guī)劃模型一、問題分析1.1

這個優(yōu)化問題的目標就是要使面包店的收益最大，要做的決策就是生產計劃，而賓館所需的面包的樣式和總數已經提前知道了，所以只需考慮面包烘烤的時間。顯而易見，問題就轉化到了如何安排烤箱的烘烤計劃，才能使其在最短時間的時間內完成既定的烘烤任務。通過建立模型從而求出的時間的最小值，即為利潤最高的最優(yōu)解。1.2

此問題應該結合市場來分析，目前消費市場競爭日趨激烈，面包店的整體布局也應該隨著由于每一天是的不穩(wěn)定性以及一些問題的不確定性，所以為了問題處理的方便，我們對求解的模型做了一些合理化的假設：1.不考慮產品需求預測估計值的誤差，也不考慮產品各項成本費用在此階段時間的變化。

2、為了方便起見，時間和產量都作為離散量處理。固定的認為該天產品的數量。

3、面包的種類要配合地點和顧客階層，才會有理想的銷售量。代替點心的甜面包、填飽肚子的調理面包、土司之類的主食面包等等，會因位于商業(yè)區(qū)、辦公區(qū)或住宅區(qū)而有不同的銷路。另外，供應薪水階級、職業(yè)婦女或學生的面包種類也有不同。二、問題的假設1、每次烘烤拿出、放入面包的時間忽略不計2、烤箱預熱時間忽略不計3、面包準備好以后，停放時間不影響其烘烤時間4、烤箱的烘烤效率不隨時間變化5、烤箱的烘烤效率與面包所占烤箱容量無關6、兩臺烤箱的性能、規(guī)格，及功率是一樣的7、在烤箱中面包之間相互獨立，互不影響8、每個烤盤的容積是一樣的三、符號說明：烤箱烘烤的總時間（某一個批次）：賓館烤制完成四個批次的面包所花費的總時間：第i臺烤箱工作總時間：第一臺烤箱工作總時間：第二臺烤箱工作總時間D:每個烤盤的容積：第i種面包的體積：第j組第i種面包的體積：為同一烤箱中第i次烘烤時第j塊面包所用的時間：同一個烤箱中的第i種面包烘烤所需的時間：第一、二、三、四批中烤制時間最長的i=1,2,3,4：賓館每批面包中各種樣式所需的數量n：每個烤箱烤盤的數量：第一、二、三、四批賓館所需面包的數量f=1,2,3,4：賓館每批面包烘烤總工作時間f=1,2,3,4：同一個烤箱中第i組烘烤面包的最長時間：同一個烤箱中第i組烘烤面包的最短時間：第一臺烤箱中第i組烘烤面包的最長時間：第二臺烤箱中第i組烘烤面包的最短時間d：混合烘烤的面包所能承受的最大時間間隔z：某一個烤箱工作的總時間：第i組中地j種面包的系數（0或1）等于0表示該面包不烘烤等于1表示該面包烘烤：第i組中第j種面包所對應的最大時間系數：第i組中第j種面包所對應的最小時間系數：為0-1變量，為1是第i組數據最大時間在第一臺烤箱進行烘烤，為0時則不在：為0-1變量，為1是第i組數據最大時間在第二臺烤箱進行烘烤，為0時則不在:每個烤箱的平均工作時間：為每組面包烘烤時間的波動程度：為m組面包烘烤時間的波動程度的均值（m為面包的組數）（注：部分符號的說明在模型建立的過程中講解）四、模型的建立與求解問題一的解答

針對問題一我們建立了模型一和模型二以及模型三。

模型一的建立

確定目標函數（同一烤箱烘烤同種面包）

此種條件下，我們并未嚴格考慮同一個烤箱中各個烤盤間的關系，為了處理的方便，人為地認為同一個烤箱中的各個烤盤是一個整體，而不是相互獨立的（指的是烤盤的容積與面包的體積之間的關系）。我們假設總利潤最大，然后對第一批面包生產所需時間（當烘烤時間最小時，收益最大）建立模型。

同理：第二、三、四批時間計算一樣。時間分別為，因此烘烤花費的總時間為

對方案的評價首先此種方案未考慮現實中各個烤盤間的相互關系，而是將其作為一個整體來看。這樣在有些情況下，就擴大化了烤箱的實際容量，因為烤盤與烤盤之間不可能拼湊起來，顯然這是不切合實際的。所以此種情況下，得到的利益是偏大的。即

模型二的建立

確定目標函數

（混合烘烤，即同一烤箱中同時烘烤多種面包，則烘烤時間以最后烘烤完成的面包時間計算）

為了數據處理的方便，我們假設此種情況下烤箱的容積足夠大。即一次性可以完成每個批次的烘烤任務。同時也認為各種類的面包的烤制時間相近。當需要較短時間烤熟面包再次放進去烤的面包的烤制時間不能比之前所需烤制時間最大的大，并且一次可以全部烤完每一批所需的該種類面包。則有：

因此烘烤完成四批面包所花費的總時間

對方案的評價此方案雖然進行了混合烘烤，但是實際生產中，烤箱幾乎是不可能一次就將所有的生產任務完成，還有將不同種類的面包放在一起烘烤，這會影響面包的質量，顯然這是不切合實際的。此種情況下，得到的利益是偏大的。即模型三的建立確定目標函數

對模型三進行了一些合理化的假設：

1）考慮烤盤的容積與面包體積之間的關系，以及同一個烤箱中烤盤與烤盤之間的關系（即將每個烤盤在其容積上單獨考慮）。

2）通過查閱資料我們得知在實際烘烤面包的過程中：大小不同的面包可以同時烘烤，但是不能比自己的烘烤時間大于一定時間的面包放在一起烤，以免烤壞。一旦烤箱開始工作，中間不能打斷，也不允許移走正在烘烤的面包。（我們設最大時間間隔為d）。

分析：本問題中各類面包必須取整數，不能將其分散處理，此符合整數規(guī)劃的先決條件；又有面包只有可以被烘烤和不可以被烘烤兩種情況，此符合0-1規(guī)劃的變量取值條件，故從整體方面來看，本問題采用0-1整數規(guī)劃最為適宜。設問題的決策變量為是0-1變量，即

題中所設的容量約束條件是：（對某一個烤盤而言）

題中所假設的時間約束條件是：（對某一個烤箱而言）

同理我們可以得到同一個烤箱的其他烤盤的時間與容量的約束條件，從而可以確定目標函數烘烤總時間為：

，由上述分析可得出該問題0-1規(guī)劃模型為：為了使烤箱烘烤安排更加合理，我們只需使兩臺烤箱中工作時間最長的工作時間盡可能的小。所以我們建立了如下的目標函數：其中：

，

。當工作時間最長的烤箱的工作時間都是很小時候，那問題就得以解決了。確定約束條件（I），其中：，分別為m組數據某組數據是在兩臺烤箱的某臺烤箱中進行的。（m為組數）（II）由于m組數據的某組數據只能在其中一臺烤箱內進行烘烤。即：

，i=1,2,3,...,m綜上所述，得到問題一的目標最優(yōu)化模型。目標函數：

同理我們也可以得出其他批次的數學模型。最后再根據提供的數據，利用Lingo軟件得出問題的結果。對方案的評價按照實際生活中面包烘烤的時間不能小于所需時間，同時滿足所需時間的同時也不能過大，對此我們以每組面包實際烘烤時間的波動程度進行評價

評價的標準

綜合評價標準

為了反映面包被烘烤后的質量的好壞，我們找到了體現面包烘烤時間的波動程度的取值范圍如下表

波動程度取值范圍表由于我們的目標是使兩臺烤箱中工作時間最長的烤箱的工作時間盡可能的小，而對于一個確定的數（兩臺烤箱總的工作時間）把它分成兩份，要是它最大的數盡可能的小，則兩個數相等即可。但考慮到實際情況兩臺烤箱的工作時間可能不相等，所以給出方案評價準則：兩個數相對于平均值波動大小。

i=1,2通過以上分析，可以得出：波動程度越小，所求得的方案就越好。等級優(yōu)中等一般取值范圍0-11-22-5對模型的檢驗為了使我們見了的模型更具有說服力，使結果更加形象化。我們通過查閱資料得到了一組數據如下表：

面包烘烤所需時間與所占容量表并且我們假設最大時間間隔d=5min，D=40（單位）。同時為了數據處理的方便，我們小組假設了每個烤箱僅有一個烤盤，且對某個批次數據處理（如第一批）。注：這種加假設是合理的，我們只是將問題簡化了而已。這是不影響對模型效果的判定的。對模型一的檢驗

通過對上述數據的分析，我們可以觀察到同種類的面包很少，所以所求的時間會很大，因此沒有必要對此模型進行數據檢驗。（沒有意義）

對模型二的檢驗

此假設條件下，該模型的諸多假設顯然都是不合理的。如烤箱的容積，面包烘烤的時間間隔等。因此沒有必要對此模型進行數據檢驗。（沒有意義）對模型三的檢驗通過之前的線性約束條件及目標函數的取值我們把51個不同面包的數據分成了18組如下。（見程序一）每組取其最大值作為烘烤面包時所需時間，然后對每組最大時間之和就是烤箱所工作的時間；

對第10組數據和第13組數據做適當的調整可以做到進一步優(yōu)化，調整方法：把第13組的所需時間10，以及所占烤箱容量12調到第10組可使烤箱所工作的時間更小。

每組面包烘烤的實際時間組號 1 2 3 4 5 6 7 8 9所需最長時間 26 21 19 18 17 13 16 14 12組號 10 11 12 13 14 15 16 17 18所需最長時間 11 14 15 9 10 10 10 17 8根據上述計算公式，最終得出烤箱工作的時間為260分鐘。

對18組數據進行波動程度運算，我們最終得出了每組烘烤時間的波動值

18組烘烤時間波動范圍表組號 1 2 3 4 5 6 7 8 9標準差 2.83 0.82 1.4 0 0.87 0 0.82 1.73 0組號 10 11 12 13 14 15 16 17 18標準差 0 1.4 3.27 0.82 0.87 0.87 0.71 0 0綜合評價標準，面包優(yōu)的占73%，中等占16%，一般占11%。從上述數據可以看出，通過該方案烘烤出來的面包波動范圍小于1，面包的質量優(yōu)的與中等的之和占到了總數的89%。故此方案在一定程度上是的面包被烘烤時間，以及面包所占容量達到了一定程度上的合理化。對兩臺烤箱同時工作進行考慮。根據之前的約束條件和Lingo得出問題結果（見程序二）.由于該組數據較為特殊安排生產計劃有多種，我們也不便一一列舉。下面只給出一種生產計劃。第一臺烤箱的安排方法：

第二臺烤箱的安排方法：根據上述可以得出兩臺烤箱的工作時間分別為130,130分鐘。顯然可以求得s=0，即兩個數相對于平均值沒有波動，所以這種方案可以使得兩臺烤箱工作時間最短，該方案性能為最優(yōu)。當然這組數據具有特殊性。對模型的比較理論上講，三種模型的原材料生產成本是一樣的，只需比較各種模型工作總時間的長短即可，時間長的生產模型消耗的成本更高，故時間較短的為較優(yōu)模型。但考慮到實際情況，三種模型在絕大多數情況下是不具備可比性的，只有在一些特殊條件下，三種模型之間才有可比性。問題二的解答

模型四的建立

確定目標函數

面向大眾零售服務與固定賓館批量銷售，我們在考慮面包烘烤時間的同時，也要考慮面包銷售的利潤。也就是說我們?yōu)榱耸顾⒌哪Ｐ蜐M足效益最大化，既要在最短的時間內完成生產任務，又要使所獲得利潤最大化。對于時間最優(yōu)化的問題，我們前面已經通過0-1整數規(guī)劃模型做了較好的解決，在這里我們就不在做過多的說明了。所以，對該模型的建立我們將著重從面包銷售的利潤方面進行分析建立模型。為了使模型建立起來的方便，我們做出了如下表：

面包店日生產情況表樣式日生產量日銷售量單價（元）成本（個/元）利潤（個/元）日定向銷售量A1S1H1Y1Q1C1B1A2S2H2Y2Q2C2B2A3S3H3Y3Q3C3B3.....................AmSmHmYmQmCmBm1.每種樣式利潤2.由此我們可以求得面包的總利潤確定約束條件在確定這個目標函數的約束條件之前，我們有必要了解一下市場分析中面包的銷量在一天中隨時間變化的關系，如下圖：通過圖示，我們不難得出這樣的結論：1）面包的銷量在一天的開始的一段時間以及一天結束的一段時間銷量是極小的，幾乎可以忽略不計。2）面包在某段時間內的需求量達到最大值，緊接著隨著時間的推移面包的銷量呈下降趨勢。很顯然，這是與絕大多數的人的作息習慣相互吻合的。

對某段（如一個月）時間內相同時間段進行比較。不難得出，各個時間段內的日銷售量總是有一個極值。所以，根據以上分析，我們將一天劃分為四個時間段（對應各個批次）來進行分析，如下表：

面包日銷售能力與生產能力和時間的關系表批次

日時間段 日銷售能力（個） 日生產能力（個）第一批次 6:00-10:00

y1

x1第二批次 10:00-14:00

y2

x2第三批次 14:00-18:00

y3

x3第四批次 18:00-22:00

y4

x4為了更能反映日銷售能力的具體情況，我們具體到了對每一種面包的市場調查分析，如下表：

各種樣式的面包的日銷售能力樣式A1A2A3...Am日銷售能力（個）H1H2H3...Hm因此，該模型的約束條件為：且有：由此我們就可以運用Lingo軟件得出該模型的求解結果。對方案的評價該模型的創(chuàng)新之處就在于在考慮面包銷量時結合了市場分析與調查，很大程度上聯系到了實際生活，具有較為普遍的應用價值。但是也有不妥之處，就是在市場調查時，對于調查方案的設定要求很高，否則便不能準確地反映面包需求量與時間的關系。對模型的檢驗我們通過對我們學校周圍的一家面包店進行了市場調查分析（主要是對賓館服務）。該家面包店一共生產十種面包。具體調查得到的數據，我們在下面以表格的形式展現出來。樣式

日生產量

日銷售量

單價（元）成本（個/元）利潤（個/元）

日定向銷售量A1 S1 H1 2

1

C1

20A2 S2 H2 2

1

C2

10A3 S3 H3 2.5

1.5

C3

40A4 S4 H4 2.5

1.5

C4

50A5 S5 H5 2.5

2

C5

100A6 S6 H6 3 2

C6

60A7 S7 H7 3

2.5

C7

40A8 S8 H8 3.5

2.5

C8

30A9 S9 H9 3.5

3

C9

30A10 S10 H10 4

3

C10

20

該面包點各種樣式的面包的日零售能力（面向大眾銷售）樣式

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10日銷售能力

20

20

15

20

50

30

20

10

10

5

該面包店的日生產能力（各個批次）

批次

一

二

三 四日生產能力（個） 300 200 100 50然后我們將表中的數據依次帶入到之前已經建立好的模型當中去，再利用Lingo軟件編寫程序對其求解（見程序三）。具體得到的結果如下：且有：S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8+S9+S10<=650H1+H2+H3+H4+H5+H6+H7+H8+H9+H10<=200求目標函數：五、模型的評價對模型的評價1模型的優(yōu)點（1）通過對模型一與模型二分析，聯系到了實際的生產情況我們之后建立了模型三。其主要是0-1整數規(guī)劃模型，我們很好的把數據分成了若干組，再通過進一步的優(yōu)化，求出了所需時間的最小值。（2）增加臺數的情況下，合理運用動態(tài)規(guī)劃，使兩臺烤箱工作時間接近均衡，最終求出其最優(yōu)解。（3）對問題二，我們運用市場調查分析將面包店生產過程中不確定的因素大體上明確了，在生產過程中有了一個生產方向。從而較好地運用Lingo求解出線性與非線性模型方程。2模型的缺點（1）對問題一，雖然0-1規(guī)劃模型較模型一與模型二有了很大的改善，但在具體處理某些比較特殊的數據時，不能很好地分配，部分數據還是人為的進行了組合。（問題中假設的數據就屬于這種情況）（2）對問題二，雖然市場調查給面包店生產提供了方向，但這種方向很大程度上是不夠精確的，無法使面包店的效益得到最大化。（3）零售和批發(fā)的利潤不一樣，但烘烤時間一樣，我們的模型則把零售與批發(fā)的利潤等同考慮了。（4）面包在烘烤過程中，我們認為的忽略了一些限制因素。如烘烤過程中面包的準備時間，以及影響面包質量的溫度、時間等因素。六、模型的推廣與改進

（1）0-1整數規(guī)劃模型不僅適合面包烘烤時間的最優(yōu)化問題，也非常適合描述和解決如線路設計、工廠選址、生產計劃安排、旅行購物、背包問題、人員安排、代碼選取、可靠性等人們關心的多種問題。

（2）市場調查在實際生活與生產中的運用也極其廣泛，在市場投資，廣告投入等很多問題上都有極為廣泛的應用。

七、參考文獻韓中庚《數學建模方法及其應用》第2版高等教育出版社2009趙靜但琦《數學建模與數學實驗》第2版高等教育出版社2003譚永基蔡志杰《數學模型》第二版復旦大學出版社2011謝金星薛毅《優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件》第2版清華大學出版社侯文華梁馮珍《數學模型方法預算法》高等教育出版社2005/view/f1fd4e93dd88d0d233d46a18.html面包店問題瀏覽時間2013年5月5日/view/6677be7f31b765ce05081469###烤箱烘烤面包瀏覽時間2013年5月3日/p-468932684.html烤箱烘烤面包問題的數學模型瀏覽時間2013年5月3日程序一model:sets:m/1..18/:c,d;n/1..51/:a,b;link(m,n):x,t,s;endsetsdata:a=9,10,14,10,9,16,23,24,16,19,21,17,15,9,20,9,6,15,8,21,14,16,9,8,9,7,16,12,16,17,12,22,14,6,16,8,12,12,24,9,11,14,15,14,12,19,16,10,10,5,14;b=26,24,22,21,21,20,19,18,18,17,17,17,17,16,16,16,16,16,15,15,15,14,14,14,14,13,13,13,13,12,12,12,12,11,11,11,10,10,10,10,10,10,9,9,9,9,9,8,8,8,8;enddata@for(m(i)):@sum(n(j):a(j)*x(i,j))<=40;);@for(n(j):@sum(m(i):x(i,j))=1;);@for(m(i):@for(n(j):s(i,j)=@if(x(i,j)#eq#1,b(j),0);T(i,j)=@if(x(i,j)#eq#1,b(j),0);););@for(m(i):@for(n(i):c(i)=@max(n(j):t(i,j));d(i)=@min(n(j):s(i,j)););c(i)-d(i)<5;);@for(m(i):@for(n(j):@bin(x(i,j));););min=(@sum(m(i):c(i)));end.程序二model：sets:row/1,2/；col/1,2..18/;matrix(row,col):x;endsetsmin=@smax(w,y,);W=t1*x(1,1)+t2*x(1,2)+t3*x(1,3)+t4*x(1.4)+t5*x(1,18)+t6*x(1,6)+t7*x(1,7)+t8*x(1,8)+t9*x(1,9)+t10*x(1,10)+t11*x(1,11)+t12*x(1,12)+t13*x(1,13)+t14*x(1,14)+t15*x(1,15)+t16*x(1,16)+t17*x(1,17)+t18*x(1,18);Y=t1*x(2,1)+t2*x(2,2)+t3*x(2,3)+t4*x(2.4)+t5*x(2,18)+t6*x(2,6)+t7*x(2,7)+t8*x(2,8)+t9*x(2,9)+t10*x(2,10)+t11*x(2,11)+t12*x(2,12)+t13*x(2,13)+t14*x(2,14)+t15*x(2,15)+t16*x(2,1