隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)復(fù)習(xí)資料課件

隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)復(fù)習(xí)資料一、引言

生產(chǎn)率和效率的度量涉及到生產(chǎn)函數(shù)。DEA方法的特點(diǎn)是將有效的生產(chǎn)單位連接起來，用分段超平面的組合也就是生產(chǎn)前沿面來緊緊包絡(luò)全部觀測點(diǎn)，是一種確定性前沿方法，沒有考慮隨機(jī)因素對生產(chǎn)率和效率的影響。隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)則解決了這個問題。前沿生產(chǎn)函數(shù)(FrontierProdutionFunction)反映了在具體的技術(shù)條件和給定生產(chǎn)要素的組合下,企業(yè)各投入組合與最大產(chǎn)出量之間的函數(shù)關(guān)系。通過比較各企業(yè)實(shí)際產(chǎn)出與理想最優(yōu)產(chǎn)出之間的差距可以反映出企業(yè)的綜合效率。傳統(tǒng)的生產(chǎn)函數(shù)只反映樣本各投入因素與平均產(chǎn)出之間的關(guān)系,稱之為平均生產(chǎn)函數(shù)。但是1957年,Farrell在研究生產(chǎn)有效性問題時開創(chuàng)性地提出了前沿生產(chǎn)函數(shù)(FrontierProdutionFunction)的概念。對既定的投入因素進(jìn)行最佳組合,計(jì)算所能達(dá)到的最優(yōu)產(chǎn)出,類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)中所說的“帕累托最優(yōu)”,我們稱之為前沿面。前沿面是一個理想的狀態(tài),現(xiàn)實(shí)中企業(yè)很難達(dá)到這一狀態(tài)。

前沿生產(chǎn)函數(shù)的研究方法有:參數(shù)方法和非參方法。兩者都可以用來測量效率水平。參數(shù)方法沿襲了傳統(tǒng)生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)思想,主要運(yùn)用最小二乘法或極大似然估計(jì)法進(jìn)行計(jì)算。參數(shù)方法首先確定或自行構(gòu)造一個具體的函數(shù)形式,然后基于該函數(shù)形式對函數(shù)中各參數(shù)進(jìn)行計(jì)算;而非參數(shù)方法首先根據(jù)投入和產(chǎn)出,構(gòu)造出一個包含所有生產(chǎn)方式的最小生產(chǎn)可能性集合,其中非參數(shù)方法的有效性是指以一定的投入生產(chǎn)出最大產(chǎn)出,或以最小的投入生產(chǎn)出一定的產(chǎn)出。這里所說的非參數(shù)方法是結(jié)合DEA(Data數(shù)據(jù)包絡(luò)分析)來進(jìn)計(jì)算的。但非參數(shù)方法存在的最大局限是:該方法主要運(yùn)用線性規(guī)劃方法進(jìn)行計(jì)算,而不像參數(shù)方法有統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)數(shù)作為樣本擬合度和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的參考;另外,非參數(shù)方法對觀測數(shù)有一定的限制,有時不得不舍棄一些樣本值,這樣就影響了觀測結(jié)果的穩(wěn)定性。因此,我們在這里選擇參數(shù)方法進(jìn)行前沿生產(chǎn)函數(shù)的計(jì)算。在參數(shù)型前沿生產(chǎn)函數(shù)的研究中,圍繞誤差項(xiàng)的確立,又分為隨機(jī)性和確定性兩種方法。首先,確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)不考慮隨機(jī)因素的影響,直接直接采用線性規(guī)劃方法計(jì)算前沿面,確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)把影響最優(yōu)產(chǎn)出和平均產(chǎn)出的全部誤差統(tǒng)歸入單側(cè)的一個誤差項(xiàng)ε中,并將其稱為生產(chǎn)非效率;隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)(StochasticFrontierProductionFunction)在確定性生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了具有復(fù)合擾動項(xiàng)的隨機(jī)邊界模型。其主要思想為隨機(jī)擾動項(xiàng)ε應(yīng)由v和u組成,其中v是隨機(jī)誤差項(xiàng),是企業(yè)不能控制的影響因素,具有隨機(jī)性,用以計(jì)算系統(tǒng)非效率;u是技術(shù)損失誤差項(xiàng),是企業(yè)可以控制的影響因素,可用來計(jì)算技術(shù)非效率。很明顯,參數(shù)型隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)體現(xiàn)了樣本的統(tǒng)計(jì)特性,也反映了樣本計(jì)算的真實(shí)性二、確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)測算全要素生產(chǎn)率的傳統(tǒng)方法是索洛余值法(SRA),其關(guān)鍵是假定所有生產(chǎn)者都能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的生產(chǎn)效率,從而將產(chǎn)出增長中要素投入貢獻(xiàn)以外的部分全部歸結(jié)為技術(shù)進(jìn)步(technologicalprogress)的結(jié)果,這部分索洛剩余后來被稱為全要素生產(chǎn)率(李京文等1998)。然而,SRA法的理論假設(shè)不完全符合現(xiàn)實(shí),因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中大部分生產(chǎn)者不能達(dá)到投入—產(chǎn)出關(guān)系的技術(shù)邊界(Farrell,1957)?；谶@一思想,Aigner和Chu(1968)提出了前沿生產(chǎn)函數(shù)模型,將生產(chǎn)者效率分解為技術(shù)前(technologicalfrontier)和技術(shù)效(technicalefficiency)兩個部分,前者刻畫所有生產(chǎn)者投入—產(chǎn)出函數(shù)的邊界(frontieroftheproductionfunction);后者描述個別生產(chǎn)者實(shí)際技術(shù)與技術(shù)前沿的差距。確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)模型如下：

其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之間，反映了生產(chǎn)函數(shù)的非效率程度，也就是實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出的距離。在確定了生產(chǎn)函數(shù)的具體形式后，可以計(jì)算或估計(jì)其參數(shù)，如下所述。

假如N個公司，每個公司使用K種投入組成的投入向量來生產(chǎn)出單一產(chǎn)出，生產(chǎn)函數(shù)采用C-D形式：（1）

(1)式中是產(chǎn)出的自然對數(shù)；是K+1維行向量，其中一個元素是1，其余K個元素K種投入數(shù)量的自然對數(shù).是待估計(jì)的K+1維列向量；是非負(fù)的隨機(jī)變量，用來度量技術(shù)的有效性：（2）是一種產(chǎn)出導(dǎo)向的效率度量，其值介于0和1之間，它是觀察到的產(chǎn)出與使用同樣投入并且由技術(shù)有效的公司生產(chǎn)的之比，參數(shù)由下述方程得出。1.目標(biāo)規(guī)劃方法（3）

它等價于：（4）

參數(shù)也可以由下列二次規(guī)劃問題計(jì)算得出：（5）

上述目標(biāo)規(guī)劃的主要缺點(diǎn)是其參數(shù)是計(jì)算的而不是估計(jì)的，無統(tǒng)計(jì)解釋。如果假設(shè)服從指數(shù)分布，則線性規(guī)劃“估計(jì)”就是最大似然估計(jì)：

如果假設(shè)服從正態(tài)分布，則二次規(guī)劃“估計(jì)”就是最大似然估計(jì)：其中C代表常數(shù)

上述“解釋”給予目標(biāo)規(guī)劃方法一個清晰的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，但這些計(jì)算的參數(shù)仍然像估計(jì)的參數(shù)那樣有標(biāo)準(zhǔn)差。

2.修正最小二乘法（COLS）

它分為兩步：第一步，先用OLS估計(jì)（1）式：

得到一致和無偏的斜率參數(shù)，以及一致和有偏的截面參數(shù)。第二步，有偏的截距參數(shù)被向上修正以保證估計(jì)的前沿是所有數(shù)據(jù)的上界：‘

COLS估計(jì)的生產(chǎn)前沿平行于OLS回歸（以自然對數(shù)形式），意味著最好的生產(chǎn)技術(shù)的結(jié)構(gòu)與中心（平均）趨勢的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)一致，這是COLS的缺陷，應(yīng)當(dāng)允許處于生產(chǎn)前沿上的有效率的公司的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)不同于位于平均位置的公司的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)。三、隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)

由于確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)沒有考慮到產(chǎn)活動中存在的隨機(jī)現(xiàn)象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,vandenBroeck(MB)同時于1977年引進(jìn)了隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)

（1）其中v代表影響生產(chǎn)活動的隨機(jī)因素，一般假設(shè)它是獨(dú)立同分布（i.i.d)的正態(tài)隨機(jī)變量，具有0均值和不變方差；代表隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)；u(非負(fù))代表著生產(chǎn)效率或管理效率，一般假設(shè)它是獨(dú)立同分布的半正態(tài)隨機(jī)變量或指數(shù)隨機(jī)變量獨(dú)立于。假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)取C-D形式：（2）在上述v和u的假設(shè)下，可以使用最大似然法（ML）或調(diào)整最小二乘法（MOLS）估計(jì)參數(shù)和誤差項(xiàng)，進(jìn)而得到技術(shù)效率，如下所述。1.正態(tài)——半正態(tài)模型的ML估計(jì)假設(shè)：（1）

（2）

（3）和的分布相互獨(dú)立，且與解釋變量相互獨(dú)立。u,v的密度函數(shù)以及u和v的聯(lián)合密度函數(shù)，u和的聯(lián)合密度函數(shù)分別是:

是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)（3）

于是可給出參數(shù)、、的ML估計(jì)，從而得到、以及技術(shù)效率的估計(jì)：

2.正態(tài)——指數(shù)模型的ML估計(jì)假設(shè)：（1）（2）指數(shù)分布（3）和的密度函數(shù)以及u和v的聯(lián)合密度函數(shù)、和的聯(lián)合密度函數(shù)分別是：于是可給出參數(shù)、、的ML估計(jì)以及技術(shù)效率的估計(jì)：3.正態(tài)——半正態(tài)模型的矩估計(jì)（MOLS）此時的假設(shè)與正態(tài)——半正態(tài)模型的ML估計(jì)的假設(shè)一樣，模型是：（7）首先，模型（7）具有0均值和不變的方差，因而可用OLS得到參數(shù)的一直估計(jì)，的OLS估計(jì)不是一致的。其次，用矩方法得到和的方差估計(jì)：是常數(shù)，

再次，用的方差估計(jì)量來對OLS截距估計(jì)進(jìn)行調(diào)整（MOLS）：

最后用（6）式得到技術(shù)效率的點(diǎn)估計(jì)。關(guān)于這兩種估計(jì)方法的比較，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡羅試驗(yàn)的基礎(chǔ)上指出：選擇哪種估計(jì)反復(fù)取決于值和樣本大小。當(dāng)容量<400且<3.16時，矩估計(jì)優(yōu)于ML估計(jì)，當(dāng)較大時，ML估計(jì)優(yōu)于矩估計(jì)，并且隨著樣本容量的增加，這種優(yōu)勢也增加。但是，由于MOLS估計(jì)的第一步?jīng)]有使用分布假設(shè)，所以其第一步估計(jì)對和的分布是穩(wěn)健的。下面利用隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)利潤效率。假設(shè)生產(chǎn)前沿為：

這里是產(chǎn)出數(shù)量，代表可變投入向量，代表固定投入向量，代表著產(chǎn)出導(dǎo)向的技術(shù)無效率，利潤最大化的一階條件是：其中度量配置效率，<0和>0

分別代表著可變投入的不足和過度?？紤]C——D生產(chǎn)函數(shù)及其一階條件：假設(shè)：（1）

（2）

（3）（4），，是相互獨(dú)立的則密度函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)和似然函數(shù)分別是：

這里：

極大化該似然函數(shù)，得到所有技術(shù)參數(shù)和效率參數(shù)，然后用下式估計(jì)技術(shù)效率：

配置效率的估計(jì)可通過在一階條件的殘差中減去技術(shù)效率來得到。

四、對生產(chǎn)率和效率變化的度量生產(chǎn)率的增長是由三部分組成，一個是技術(shù)進(jìn)步（如新技術(shù)的采用和新產(chǎn)品的發(fā)現(xiàn)），二是技術(shù)效率（如管理效率的提高和生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)的積累），三是規(guī)模效率（組建和管理大企業(yè)乃至大國經(jīng)濟(jì)的能力）。在實(shí)踐中，這一新的生產(chǎn)率概念主要應(yīng)用生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行拆分，而前沿生產(chǎn)函數(shù)的估測又較多依賴于面板數(shù)據(jù)的采用。對生產(chǎn)率進(jìn)行拆分的前沿生產(chǎn)函數(shù)模型主要分兩種，一種為隨機(jī)性的參數(shù)型模型，另一種為確定性的非參數(shù)型模型。前者通常先估計(jì)一個生產(chǎn)函數(shù)，考慮到該生產(chǎn)函數(shù)中誤差項(xiàng)目的復(fù)合結(jié)構(gòu)及其分布形式，并根據(jù)誤差項(xiàng)的分布假設(shè)不同，采用相應(yīng)的技術(shù)方法來估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)中的各個參數(shù)。其最大優(yōu)點(diǎn)是通過估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)對個體的生產(chǎn)過程進(jìn)行了描述，從而使對技術(shù)效率的估計(jì)得到了控制；缺點(diǎn)是對效率的偏倚方向設(shè)定及效率和技術(shù)進(jìn)步參數(shù)之間的識別尚無法提供靈活、可行的解決方案。后者則首先根據(jù)樣本中所有個體的投入和產(chǎn)出構(gòu)造一個能包容所有個體生產(chǎn)方式的最小的可能性集合：即所有要素和產(chǎn)出的有效組合。1、設(shè)

以上代表所采用的生產(chǎn)技術(shù)：（1）

（2）其中TE代表技術(shù)效率的變化，TC代表技術(shù)進(jìn)步，二者均以S期為基期，即假定基期數(shù)值為1，求出比較期的數(shù)值，他們均可能大于1，若以對數(shù)形式表示，其含義是相對于基期的增長率，因而（2）式更符合平常的生產(chǎn)率核算要求。2、SF方法假設(shè)SF生產(chǎn)函數(shù)如下：

(3)這里f(.)是合適的生產(chǎn)函數(shù)形式，如超越對數(shù)函數(shù)；t是時間趨勢，代表技術(shù)進(jìn)步（TC），其他符號如前。在估計(jì)了參數(shù)后，可得到；

3、對生產(chǎn)率變化（TFPC）的分解設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為則技術(shù)進(jìn)步（準(zhǔn)確的說叫技術(shù)變化，TC）用

度量，TC為正、為0、為負(fù)分別對應(yīng)著技術(shù)變化使得生產(chǎn)前沿向上移動、不動、向下移動；技術(shù)效率變化（TEC）用度量，TEC為正、為0、為負(fù)分別對應(yīng)著技術(shù)效率的下降、不變、上升。技術(shù)效率變化可以被解釋為生產(chǎn)者遠(yuǎn)離生產(chǎn)前沿、保持相對距離、向生產(chǎn)前沿移動，當(dāng)然在此過程中生產(chǎn)前沿也隨時間移動，全要素生產(chǎn)率變化(TFPC)采用Divisia指數(shù)（特氏數(shù)量指數(shù)）來度量，用sn表示基期（或現(xiàn)期）投入要素加之份額，字母上邊加一點(diǎn)表示其變化率：