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2007年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀??粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試《高等數(shù)學(xué)》試卷題號(hào)一二三四五六總分核分人分?jǐn)?shù)一.單項(xiàng)選擇題(每題2分,共計(jì)50分)在每小題的備選答案中選出一個(gè)正確答案,并將其代碼寫在題干后面的括號(hào)內(nèi).不選、錯(cuò)選或多選者,該題無分.1.集合的所有子集共有()A.5B.6C.72.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.3.當(dāng)時(shí),與不等價(jià)的無窮小量是()A.B.C.D.4.當(dāng)是函數(shù)的()A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳躍間斷點(diǎn)D.第二類間斷點(diǎn)5.設(shè)在處可導(dǎo),且,則的值為()A.-1B.-2C.-3D.6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有,則在區(qū)間內(nèi),圖形()A.單調(diào)遞減且為凸的B.單調(diào)遞增且為凸的C.單調(diào)遞減且為凹的D.單調(diào)遞增且為凹的7.曲線的拐點(diǎn)是()A.B.C.D.8.曲線的水平漸近線是()A.B.C.D.9.()A.0B.C.2D.110.若函數(shù)是的原函數(shù),則下列等式正確的是()A.B.C.D.11.()A.B.C.D.12.設(shè),則()A.-3B.-1C.1D.313.下列廣義積分收斂的是()A.B.C.D.14.對(duì)不定積分,下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤是()A.B.C.D.15.函數(shù)在區(qū)間的平均值為()A.B.C.8D.416.過軸及點(diǎn)的平面方程為()A.B.C.D.17.雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為()A.B.C.D.18.()A.B.C.0D.極限不存在19.若,則()33._________34._________35.向量的模________36.已知平面:與平面:垂直,則______37.設(shè),則________38.已知,交換積分次序后,則_______39.若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)的和為_______40.微分方程的通解為________得分評(píng)卷人三、判斷題(每小題2分,共10分)你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)劃“√”,反之劃“×”.41.若數(shù)列單調(diào),則必收斂.()42.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則一定不存在,使.()43..()44..()45.函數(shù)在點(diǎn)處可微是在處連續(xù)的充分條件.()得分評(píng)卷人四、計(jì)算題(每小題5分,共40分)46.求.47.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).48.求不定積分.49.計(jì)算定積分.50.設(shè),且為可微函數(shù),求.51.計(jì)算,其中為圓環(huán)區(qū)域:.52.將展開為的冪級(jí)數(shù),并寫出收斂區(qū)間.53.求微分方程的通解.得分評(píng)卷人五、應(yīng)用題(每題7分,共計(jì)14分)54.某工廠欲建造一個(gè)無蓋的長方題污水處理池,設(shè)計(jì)該池容積為V立方米,底面造價(jià)每平方米元,側(cè)面造價(jià)每平方米元,問長、寬、高各為多少米時(shí),才能使污水處理池的造價(jià)最低?55.設(shè)平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求:(1)平面圖形D的面積;(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.得分評(píng)卷人六、證明題(6分)56.若在上連續(xù),則存在兩個(gè)常數(shù)與,對(duì)于滿足的任意兩點(diǎn),證明恒有.2007年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀??粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試(答案)一1解:子集個(gè)數(shù)。2解:。3解:根據(jù)常用等價(jià)關(guān)系知,只有與比較不是等價(jià)的。應(yīng)選A。4解:;。5解:。6解:單調(diào)增加;凸的。應(yīng)選B。7解:,應(yīng)選A。8解:。9解:。10解:根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知,。應(yīng)選B。11解:。12解:。13解:由積分和積分的收斂性知,收斂,應(yīng)選C。14解:分析結(jié)果,就能知道選擇C。15解:。16解:經(jīng)過軸的平面可設(shè)為,把點(diǎn)代入得應(yīng)選C。也可以把點(diǎn)代入所給的方程驗(yàn)證,且不含。17解:把中換成得,應(yīng)選A。18解:。19解:。20解:令,應(yīng)選A。21解::從0變到1,。22解:對(duì)級(jí)數(shù)、需要利用積分判別法,超出大綱范圍。級(jí)數(shù)有結(jié)論:當(dāng)時(shí)收斂,當(dāng)時(shí)發(fā)散。級(jí)數(shù)、與級(jí)數(shù)利用比較判別法的極限形式來確定---發(fā)散的,應(yīng)選C。23解:令,級(jí)數(shù)化為收斂區(qū)間為,即。24解:不是特征方程的特征根,特解應(yīng)設(shè)為。應(yīng)選B。25解:有。二26解:。27解:構(gòu)造級(jí)數(shù),利用比值判別法知它是收斂的,根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的必要條件。28解:。29解:。30解:。31解:。32解:;。33解:。34解:。35解:。36解:。37解:。38解:,所以次序交換后為。39解:,而,所以。40解:有二重特征根1,故通解為(為任意常數(shù))。三41解:如數(shù)列單調(diào),但發(fā)散,應(yīng)為×。42解:如在滿足上述條件,但存在,使得,應(yīng)為×。43解:第二步不滿足或,是錯(cuò)誤的,事實(shí)上。應(yīng)為×。44解:因,由定積分保序性知:,應(yīng)為√。45解:在點(diǎn)處可微可得在點(diǎn)處連續(xù),反之不成立,應(yīng)為應(yīng)為√。四46解:。47解:兩邊取自然對(duì)數(shù)得,----(1分)兩邊對(duì)求導(dǎo)得:,-------(3分)即,------(4分)故。-----(5分)48解:----(1分)-----(3分)--(4分)。----(5分)49解:因,所以-----(2分)------(4分)
。-----(5分)50解:令,有,利用微分的不變性得----(3分)------(4分)---(5分)51解:積分區(qū)域如圖07-1所示:的邊界、用極坐標(biāo)表示分別為,;故積分區(qū)域在極坐標(biāo)系系下為圖07-1,----(2分)圖07-1故----(3分)---(4分)。---(5分)52解:因;---(2分)。所以;。--(3分)故--(4分)。--(5分)53解:方程可化為,這是一階線性非齊次微分方程,---(1分)它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為,---(2分)設(shè)原方程有通解,代入方程得,即,--(3分)所以,---(4分)故所求方程的通解為。---(5分)五54解:設(shè)長方體的長、寬分別為,則高為,又設(shè)造價(jià)為,---(1分)由題意可得;---(3分)而在定義域內(nèi)都有意義.令得唯一駐點(diǎn),-----(5分)由題可知造價(jià)一定在內(nèi)部存在最小值,故就是使造價(jià)最小的取值,此時(shí)高為。所以,排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為、、時(shí),工程造價(jià)最低。---(7分)圖07-255解:平面圖形D如圖07-2所示:---(1分)圖07-2取為積分變量,且(1)平面圖形D的面積為----(3分) 。----(4分)(
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