中考河南·專題：類比與探究題

專題類比與探究題類比與探究題的主要考查類型有：幾何圖形的類比拓展探究；幾何圖形變換的類比拓展探究等．考查的知識點(diǎn)有：三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似、全等、折疊性質(zhì)、圖形變換和勾股定理等．基本解題思路：審清題干中各種信息，分析和觀察圖形，學(xué)會分解和組合圖形，明確圖形中的變化信息，類比模仿、從特殊到一般的方法求解證明問題.解決此類問題要注意靈活掌控、發(fā)散思維、以靜制動，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．類比與探究題是河南省中考數(shù)學(xué)中的必考題，均在第22題以解答題形式呈現(xiàn)，分值為10分，設(shè)問數(shù)均3問．河南省中考對此問題的考查：2013年、2015年、2016年、2017年中考試題第22題均以解答題的形式考查了幾何圖形變化的類比拓展探究，2014年以解答題的形式考查了幾何圖形的類比拓展探究．類型一幾何圖形的類比拓展探究這類問題通常是先給一特殊圖形，通過觀察、歸納特殊圖形對應(yīng)的線段或角的性質(zhì)，然后再在一般圖形中判斷結(jié)論是否成立，最后利用總結(jié)結(jié)論解決更一般圖形中的相關(guān)問題．解決這類題目的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的研究方法，再類比模仿探究．例1(2014·河南)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE.填空：①∠AEB的度數(shù)為

；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為

．(2)拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝.若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．【分析】(1)由條件易證△ACD≌△BCE，利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠AEB的度數(shù)；(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)可求出線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系；(3)利用圓的有關(guān)性質(zhì)及分類討論思想求解．【自主解答】(1)①60°②AD＝BE(2)∠AEB＝90°，AE＝2CM＋BE.理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE.∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.(3)1．(2017·鄭州一模)如圖，長方形ABCD中，P是AD上一動點(diǎn)，連接BP，過點(diǎn)A作BP的垂線，垂足為F，交BD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G.(1)當(dāng)AB＝AD，且P是AD的中點(diǎn)時，求證：AG＝BP；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)類比探究：若AB＝3AD，AD＝2AP，則的值為

．(直接填答案)(1)證明：∵BP⊥AG，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°.∵∠BAF＋∠DAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAG.∵∠BAP＝∠ADG＝90°，AB＝DA，∴△ABP≌△DAG.∴AG＝BP.(2)解：∵△ABP≌△DAG，∴AP＝DG.∵AP＝AD，∴DG＝AD＝AB.∵AB∥CD，∴△DGE∽△BAE.∴.(3)2．(2017·許昌一模)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c.【特例探索】(1)如圖1，當(dāng)∠ABE＝45°，c＝2時，a＝

，b＝

；如圖2，當(dāng)∠ABE＝30°，c＝4時，a＝

，b＝

；【歸納證明】(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，請利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】(3)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的長．解：(1)(2)猜想：a2，b2，c2三者之間的關(guān)系是a2＋b2＝5c2.證明：如圖，連接EF.∵AF，BE是△ABC的中線，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB，且∴設(shè)PF＝m，PE＝n，則PA＝2m，PB＝2n.在Rt△APB中，(2m)2＋(2n)2＝c2；①在Rt△APE中，(2m)2＋n2＝()2；②在Rt△BPF中，m2＋(2n)2＝()2.③由①得m2＋n2＝，由②＋③得5(m2＋n2)＝，∴a2＋b2＝5c2.(3)如圖，設(shè)AF，BE交于點(diǎn)P，取AB的中點(diǎn)H，連接FH，AC.∵E，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EG∥AC∥FH.又∵BE⊥EG，∴FH⊥BE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AE＝BF，AE∥BF，∴AP＝FP，∴△ABF是“中垂三角形”，∴AB2＋AF2＝5BF2，即32＋AF2＝5×()2，∴AF＝4.類型二幾何圖形變換的類比拓展探究這類問題通常是先給一特殊圖形，通過觀察、歸納特殊圖形對應(yīng)的線段或角的性質(zhì)，然后通過圖形變換改變圖形位置，再判斷結(jié)論是否成立，最后利用總結(jié)結(jié)論解決更一般圖形變換后的相關(guān)問題．解決這類題目的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的研究方法，再類比模仿探究．例2(2013·河南)如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是

；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是

．(2)猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖4)．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF＝S△BDE，請直接寫出相應(yīng)的BF的長．【分析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及平行線的判定進(jìn)行解答；②根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式進(jìn)行解答；(2)首先證明△ACN和△DCM全等，然后類比(1)的解答過程進(jìn)行證明；(3)類比(2)中的結(jié)論求解，注意分類討論．【自主解答】(1)①DE∥AC②S1＝S2(2)∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC＝CE，AC＝CD.∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM.在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM，∴AN＝DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S1＝S2.3．(2017·濮陽一模)(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為

；(2)【拓展研究】在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)【問題發(fā)現(xiàn)】當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時候，直接寫出線段AF的長．解：(1)BE＝AF(2)無變化．證明如下：在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝.在