專題06 圓中的重要模型-圓中的外接圓和內切圓模型（原卷版）

專題06圓中的重要模型--圓中的外接圓和內切圓模型模型1、內切圓模型【模型解讀】內切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是該多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。三角形內切圓圓心：在三角形中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。正多邊形必然有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y論】1）三角形的內切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。圖1圖2圖32）直角三角形的內切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；3）四邊形的內切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內切圓。結論：。例1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知圓O是的內切圓，且，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．例2．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三邊所得的弦長相等，則∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°例3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為八步，股（長直角邊）長為十五步，問該直角三角形能容納的圓形（內切圓）直徑是多少？”此問題中，該內切圓的直徑長是（）

A．3步 B．5步 C．6步 D．8步例4．（2023·湖北武漢·九年級期中）《數(shù)書九章》是我國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式．若三角形的三邊a，b，c分別為7，6，3，則這個三角形內切圓的半徑是（

）A． B． C． D．例5．（2023·江蘇南京·九年級校考階段練習）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，已知AD＝2，BC＝5，則AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7例6．（2023春·江蘇宿遷·九年級校聯(lián)考期中）如圖是的內切圓，切點分別是D，E，F(xiàn)，其中，若與相切與G點，與相交于M，N點，則的周長等于．

例7．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，在直角坐標系中，一直線經過點，與軸、軸分別交于、兩點，且，若是的內切圓，與、、軸分別相切，與、、軸分別相切，……按此規(guī)律，則的半徑．例8．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考模擬預測）如圖，中，，，，點在內，且平分，平分，過點作直線，分別交、于點、，若與相似，則線段的長為（

）A．5 B． C．5或 D．6模型2、多邊形的外接圓模型【模型解讀】外接圓：與多邊形各頂點都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點）?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y論】1）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結論：①OA=OB=OC；②。圖1圖2圖32）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。結論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形。結論：①；；②。例1．（2023春·湖北九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內心，O是外心，則∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．125例2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，則它的外接圓半徑R＝，內切圓半徑r＝．例4．（2023·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點M，N分別是的內心和外心，則．例5．（2022秋·吉林白山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以為直徑的半圓O分別交于點D，E，連接．(1)求證：．(2)若，，求的長．例6．（2023湖北武漢九年級上期中）如圖，點A、P、B、C為⊙O上四點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC形狀并證明；（2）將△APB繞點B順時針旋轉60°至△CMB，請畫出圖形，直接寫出PA，PB，PC三者之間的數(shù)量關系．例7．（2023重慶九年級上期中）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠BPC=60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D．（1）求證：△ADP∽△BDA；（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長．課后專項訓練1．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點I為三角形的內心，若為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東九年級期中）圓O內切于三角形，在斜邊上的切點為D，，，則內切圓的半徑為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·綿陽市九年級期中）如圖，在中，，的內切圓與分別相切于點D、E、F，若的半徑為2，，則的長（）A．11 B．10 C．9 D．84．（2023春·江蘇九年級期中）如圖，的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，已知的周長為36．，，則AF的長為（

）A．4 B．5 C．9 D．135．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，不等邊內接于，I是其內心，，，，內切圓半徑為（

）A．4 B． C． D．6．（2023·江蘇·九年級專題練習）圖，是△ABC的外接圓，點I是△ABC內心，連接AI并延長交⊙O于點D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，則的值是（

）A． B． C． D．7．（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預測）△ABC中，∠A＝80°，點M是△ABC的外心，點N是△ABC的內心，連接BM，CM，BN，CN，則∠BMC與∠BNC的差為（）A．30° B．35° C．40° D．45°8．（2023·山東聊城·九年級校聯(lián)考期中）等邊三角形的內切圓半徑、外接圓半徑的比是（

）A．1： B．2：1 C．1： D．1∶29．（2023·山東棗莊·九年級校考自主招生）如圖，中，內切圓O和邊、、分別相切于點D、E、F，則以下四個結論中，錯誤的結論是（

）A．點O是的外心B．C．D．10．（2023·江蘇九年級課時練習）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BD，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的大小為（

）A．64° B．120° C．122° D．128°11．（2022秋·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點I為的內切圓的圓心，連接并延長交的外接圓于點D，連接，若，則的長為（

）．A．1 B．2 C．2.5 D．3.512．（2023春·江蘇九年級課時練習）用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：如圖，①在上任取一點A，連接并延長交于點B；②以點B為圓心，為半徑作圓弧分別交于C，D兩點；③連接，并延長分別交于點E，F(xiàn)；④順次連接，，，，，，得到六邊形．連接，，交于點G，則下列結論錯誤的是（

）A．的內心與外心都是點G B．C．點G是線段的三等分點 D．13．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，是的弦，點是上一點，與點關于對稱，直線交于點，交于點，直線交于點，且連接給出下面四個結論：①；②平分；③平分；④點為的內心．其中，所有正確結論的序號是．14．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知內接于，它的內心為點D，連接交弦于點E，交于點F，已知，，，則線段的長為．

15．（2023·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，點B的坐標為（4，0），以O點為圓心，以OB為半徑的圓交y軸于點A，點C為第一象限內圓上一動點，CD⊥x軸于D點，點I為△OCD的內心，則AI的最小值為．16．（2022秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點M，N分別是的內心和外心，則．17．（2023·北京·九年級?？茧A段練習）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若點O為△ABC的外心，則∠AOC的度數(shù)是；若點P為△ABC的內心，則∠APC的度數(shù)是．18．（2023·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點I和O分別是△ABC的內心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數(shù)為．19．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，點N為的內心，連接，．分別以A，C為圓心，，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，，作直線，交的垂直平分線于點M，連接，，若，則°．

20．（2023·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）直角三角形的外接圓半徑是3，內切圓半徑是1，則該直角三角形的周長為．21．（2023浙江年級上期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，則它的外接圓半徑R=cm，內切圓半徑r=cm.22．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長是，是邊的中點．將該正方形沿折疊，點落在點處．分別與，，相切，切點分別為，，，則的半徑為．

23．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖內接于，，是的直徑，點是延長線上一點，且，．(1)求證：是的切線；(2)求的直徑；(3)當點B在下方運動時，直接寫出內心的運動路線長是．

24．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．25．（2023·北京·校考三模）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學家，在數(shù)學上經常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OIR2Rr.下面是該定理的證明過程（借助了第(2)問的結論）：延長AI交⊙O于點D，過點I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），∴△MDI∽△ANI.∴，∴IAIDIMIN①如圖②，在圖1（隱去MD，AN）的基礎上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°.∵⊙I與AB相切于點F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA．∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴，∴②，由（2）知：，∴又∵，∴2Rr(Rd)(Rd)，∴Rd2Rr∴dR2Rr任務：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IMRd，IN（用含R，d的代數(shù)式表示）；（2）請判斷BD和ID的數(shù)量關系，并說明理由.（請利用圖1證明）.（3）應用：若△ABC的外接圓的半徑為6cm，內切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內心之間的距離為cm．26．（2023江蘇九年級上期末）如圖，△ABC中，A、B，C三點的坐標分別為A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC內心為D，求點D的坐標．27．（2023春·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，已知在中．（1）請用圓規(guī)和直尺作出的內切圓⊙：（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若⊙與、、分別相切于點D、E、F，且，的周長為12，求的長．28．（2023春·安徽·九年級階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，連結EB，交OD于點F．（1）求證：OD⊥BE；（2）若DE＝，AB＝10，求AE的長；（3）若△CDE的面積是△OBF面積的，求的值．29．（2023江蘇鹽城九年級期中）（1）如圖所示，等邊三角形內接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接、、，求證：．（2）[初步探索]小明同學思考如下：將繞點順時針旋轉到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進而可以證明為等邊三角形，根據提示，解答下列問題：根據小明的思路，請你完成證明．若圓的半徑為，則的最大值為______．（3）類比遷移：如圖所示，等腰內接于圓，，點是弧上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為，試求周長的最大值．（4）拓展延伸：如圖所示，等腰，點A、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．30．（2023山東九年級上期中）如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點．∠APC=∠CPB=60°．（1）判斷△ABC的形狀：