專題06二次函數(shù)的應(yīng)用（2個知識點6種題型1個易錯點）（原卷版）

專題06二次函數(shù)的應(yīng)用（2個知識點6種題型1個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1二次函數(shù)的應(yīng)用知識點2二次函數(shù)綜合題【方法二】實例探索法題型1利潤最大問題題型2面積最大問題題型3構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題題型4一題多解法—建立平面直角坐標(biāo)系，利用二次函數(shù)解決實際問題題型5綜合應(yīng)用二次函數(shù)與一次函數(shù)的知識解決實際問題題型6二次函數(shù)與動點問題相結(jié)合求最值【方法三】差異對比法易錯點忽視二次函數(shù)的取值范圍造成錯誤【方法四】成果評定法【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．知識點2．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．【方法二】實例探索法題型1利潤最大問題1．（2023?安慶一模）某公司生產(chǎn)的一種季節(jié)性產(chǎn)品，其單件成本與售價隨季節(jié)的變化而變化．據(jù)調(diào)查：①該種產(chǎn)品一月份的單件成本為6.6元/件，且單件成本每月遞增0.2元/件；②該種產(chǎn)品一月份的單件售價為5元/件，六月份的單件售價最高可達(dá)到10元/件，單件售價y（元/件）與時間x（月）的二次函數(shù)圖象如圖所示．（1）求該產(chǎn)品在六月份的單件生產(chǎn)成本；（2）該公司在哪個月生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品獲得的單件收益w最大？（3）結(jié)合圖象，求在全年生產(chǎn)與銷售中一共有幾個月產(chǎn)品的單件收益不虧損？（注：單件收益＝單件售價﹣單件成本）2．（2023?蜀山區(qū)校級一模）某快餐店給顧客提供A，B兩種套餐．套餐A每份利潤8元，每天能賣90份；套餐B每份利潤10元，每天能賣70份．若每份套餐A價格提高1元，每天少賣出4份；每份套餐B價格提高1元，每天少賣出2份．（注：兩種套餐的成本不變）（1）若每份套餐價格提高了x元，求銷售套餐A，B每天的總利潤wA元，wB元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）物件部門規(guī)定這兩種套餐提高的價格之和為10元，問套餐A提高多少元時，這兩種套餐每天利潤之和最大？題型2面積最大問題3．（2023?蜀山區(qū)校級模擬）春回大地，萬物復(fù)蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．（1）設(shè)育苗區(qū)的邊長為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是m2，花卉B的種植面積是m2，花卉C的種植面積是m2．（2）育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？（3）若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值．4．（2022?安徽三模）小明將小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y＝﹣+bx刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y＝x刻畫，如圖建立直角坐標(biāo)系，小球能達(dá)到的最高點的坐標(biāo)（3，n）．（1）請求出b和n的值；（2）小球在斜坡上的落點為M，求點M的坐標(biāo)；（3）點P是小球從起點到落點拋物線上的動點，連接PO，PM，當(dāng)點P的坐標(biāo)為何值時？△POM的面積最大，最大面積是多少？5．（2023?全椒縣模擬）如圖（1），一塊鋼板余料截面的兩邊為線段OA，OB，另一邊曲線ACB為拋物線的一部分，其中C點為拋物線的頂點，CD⊥OA于D，以O(shè)A邊所在直線為x軸，OB邊所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個單位代表1米．已知OD＝1米，DA＝2米，CD＝4米．（1）求曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在該鋼板余料中截取一個一邊長為3米的矩形，設(shè)該矩形的另一邊長為h米，求h的取值范圍；（3）如圖（2），若在該鋼板余料中截取一個△PBD，其中點P在拋物線ACB上，記△PBD的面積為S，求S的最大值．題型3構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題6．（2023?鳳陽縣二模）如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長方形構(gòu)成，已知OA＝12米，OB＝4米，拋物線頂點D到地面OA的垂直距離為10米，以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的解析式；（2）一輛特殊貨運汽車載著一個長方體集裝箱，集裝箱寬為4米，最高處與地面距離為6米，隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，雙向行車道間隔距離為2米，交通部門規(guī)定，車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5米，才能安全通行，問這輛特殊貨車能否安全通過隧道？7．（2023?安徽二模）某校為了豐富校園生活，提高學(xué)生身體素質(zhì)特舉行定點投籃比賽．某學(xué)生站在與籃框水平距離6米的A處進(jìn)行定點站立投籃比賽，學(xué)校利用激光跟蹤測高儀測量籃球運動中的高度．已知籃圈中心B到地面的距離為3.05米，籃球每一次投出時離地面的距離都為2.05米．圖中所示拋物線的一部分是某次投籃訓(xùn)練中籃球飛行的部分軌跡，當(dāng)籃球與籃框水平距離為3米時離地面最高，最大高度為3.55米．（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷本次訓(xùn)練籃球能否直接投中籃圈中心B？若能，請說明理由；若不能，那么在保持投籃力度和方向（即籃球飛行的拋物線形狀不變）的情況下，求該球員只要向前或向后移動多少米，就能使籃球直接投中籃圈中心B．8．（2023?蕪湖模擬）某大型樂園包含多項主題演出與游樂項目，其中過山車“沖上云霄”是其經(jīng)典項目之一．如圖所示，A→B→C為過山車“沖上云霄”的一部分軌道（B為軌道最低點），它可以看成一段拋物線．其中米，米（軌道厚度忽略不計）．（1）求拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式；（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和C，當(dāng)過山車運動到C處時，又進(jìn)入下坡段C→E（接口處軌道忽略不計）．已知軌道拋物線C→E→F的大小形狀與拋物線A→B→C完全相同，求OE的長度；（3）現(xiàn)需要對軌道下坡段A→B進(jìn)行安全加固，架設(shè)某種材料的水平支架和豎直支架GD、GM、HI、HN，且要求OM＝MN．如何設(shè)計支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？題型4一題多解法—建立平面直角坐標(biāo)系，利用二次函數(shù)解決實際問題9．（2020?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，2），B（2，3），C（2，1），直線y＝x+m經(jīng)過點A，拋物線y＝ax2+bx+1恰好經(jīng)過A，B，C三點中的兩點．（1）判斷點B是否在直線y＝x+m上，并說明理由；（2）求a，b的值；（3）平移拋物線y＝ax2+bx+1，使其頂點仍在直線y＝x+m上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)的最大值．題型5綜合應(yīng)用二次函數(shù)與一次函數(shù)的知識解決實際問題10．（2023?廬陽區(qū)校級二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場中央O處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子OA，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設(shè)計成水流在距OA的水平距離為1米時達(dá)到最大高度，此時離地面2.25米．（1）以點O為原點建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子OA的距離為d米，求d的取值范圍；（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為y＝﹣x+4，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．題型6二次函數(shù)與動點問題相結(jié)合求最值11．（2023?安徽模擬）如圖1，拋物線y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的頂點縱坐標(biāo)的最小值；（2）若k＝2，點P為拋物線上一點，且在A、B兩點之間運動．①是否存在點P使得S△PAB＝，若存在，求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；②如圖2，連接AP，BC相交于點M，當(dāng)S△PMB﹣S△AMC的值最大時，求直線BP的表達(dá)式．12．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)a﹣2≤x≤a+1時，拋物線有最小值5，求a的值；（3）若點P是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，連接PB、PC，求△PBC的面積S的最大值．【方法三】差異對比法易錯點忽視二次函數(shù)的取值范圍造成錯誤13．（2023?蚌山區(qū)校級二模）某水果店一種水果的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表．售價x（元/千克）6810日銷售量y（千克）201816（1）求這種水果日銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若將這種水果每千克的價格限定在6元～12元的范圍，求這種水果日銷售量的范圍；（3）已知這種水果購進(jìn)的價格為4元/千克，求這種水果在日銷售量不超過10千克的條件下可獲得的最大毛利潤．（假設(shè)：毛利潤＝銷售額﹣購進(jìn)成本）【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023春·安徽蚌埠·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，AC＋BD＝12，則四邊形ABCD的面積最大值是（

）．A．12 B．18 C．20 D．242．（2023·安徽合肥·校考三模）如圖，正方形中，，動點分別從同時出發(fā)，點以每秒的速度沿運動，點以每秒的速度沿運動，點到達(dá)點時運動停止．設(shè)點運動（秒）時，的面積，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為：（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·安徽蚌埠·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的動點，且DE=DF．若△DEF的面積為y，BF的長為x，則表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（

）A． B．C． D．二、填空題4．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是，該型號飛機著陸后滑行m才能停下來．5．（2023·安徽合肥·校考一模）豎直上拋物體時，物體離地而的高度與運運動時間之間的關(guān)系可以近似地用公式表示，其中是物體拋出時高地面的高度，是物體拋出時的速度．某人將一個小球從距地面的高處以的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為m．6．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，點P從點A沿AC向點C以1cm/s的速度運動，同時點Q從點C沿CB向點B以2cm/s的速度運動（點Q運動到點B停止），在運動過程中，四邊形PABQ的面積最小值為cm27．（2023秋·安徽安慶·九年級安慶市石化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某菜農(nóng)搭建一個橫截面為拋物線的大棚，有關(guān)尺寸如圖所示，若菜農(nóng)身高為米，則他在不彎腰的情況下在大棚里橫向活動的范圍是米．三、解答題8．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，有長為24m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為xm，面積為Sm2．(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；(2)要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少米？9．（2023春·安徽宿州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．(1)若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？(2)矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．10．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)要修建一條公路隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計要求，隧道上距點O水平方向2米及豎直方向6米的A點有一照明燈．(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)需在這個隧道中間位置設(shè)置雙向通行車道，加中間隔離帶合計寬度9米，隧道入口對車輛要求限高，請通過計算說明高度不超過米的車輛能否安全通過該隧道？11．（2023秋·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）某段公路上有一條雙向線隧道（可雙向行駛，車輛不能行駛在中間線上）隧道的縱截面由矩形的三邊和一段拋物線構(gòu)成．以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，已知隧道寬度米，隧道最高處距路面米，矩形的寬米．(1)求這條拋物線的表達(dá)式．(2)為了保證安全，交通部門要求行駛車輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道的頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5米，問該隧道能通過寬為3米的貨車的最高高度為多少米？12．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長方形構(gòu)成，已知米，米，拋物線頂點到地面的垂直距離為10米，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，(1)求拋物線的解析式；(2)一輛特殊貨運汽車載著一個長方體集裝箱，集裝箱寬為4米，最高處與地面距離為6米，隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，雙向行車道間隔距離為2米，交通部門規(guī)定，車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于米，才能安全通行，問這輛特殊貨車能否安全通過隧道？13．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于不同的兩點A、B，且該拋物線的頂點E在矩形的邊上，．

(1)若點A坐標(biāo)為．①求該拋物線的關(guān)系式：②若點，都在此拋物線上，且，．試比較與大小，并說明理由；(2)求邊的長度．14．（2023·安徽安慶·校考三模）合肥融創(chuàng)樂園是集休閑、娛樂、觀光于一體的大型徽文化主題樂園，位于美麗的巢湖之濱．如圖1，立環(huán)過山車“白龍飛天”是其經(jīng)典項目之一．過山車的一部分軌道，可以看成一段拋物線，其圖像如圖2所示，其中米，米（軌道厚度忽略不計）．

(1)求拋物線F→E→G的函數(shù)解析式；(2)在軌道距離地面5米處有兩個點P和G（點P在點G的左側(cè)），當(dāng)過山車運動到點G處時，平行于地面向前運動了米至點K，又進(jìn)入下坡段K→H．已知軌道拋物線K→H→Q的形狀與拋物線P→E→G完全相同，求的長；(3)現(xiàn)需要在軌道下坡F→E段進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架，且要求．已知這種材料的價格是8萬元/米，如何設(shè)計支架，會使造價最低？最低造價為多少萬元？15．（2023·安徽蚌埠·校考一模）某果園有果樹60棵，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量．如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵果樹所受光照就會減少，每棵果樹的平均產(chǎn)量也隨之降低．根據(jù)經(jīng)驗，增種10棵果樹時，果園內(nèi)每棵果樹的平均產(chǎn)量為75千克．在確保每棵果樹的平均產(chǎn)量不低于40千克的前提下，設(shè)增種果樹x（x>0且x為整數(shù)）棵，該果園每棵果樹的平均產(chǎn)量為y千克，它們之間的函數(shù)關(guān)系滿足如圖所示的圖象．

(1)每增種1棵果樹時，每棵果樹的平均產(chǎn)量減少___________千克，點A的坐標(biāo)為___________．(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)增種果樹多少棵時，果園的總產(chǎn)量w（千克）最大？最大總產(chǎn)量是多少？16．（2023·安徽馬鞍山·校考一模）如圖①，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：），如圖②，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．若當(dāng)，時，解答下列問題．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求出上、下邊緣兩個拋物線高度差的最大值；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出的取值范圍________．17．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）某校為了豐富校園生活，提高學(xué)生身體素質(zhì)特舉行定點投籃比賽．某學(xué)生站在與籃框水平距離6米的A處進(jìn)行定點站立投籃比賽，學(xué)校利用激光跟蹤測高儀測量籃球運動中的高度．已知籃圈中心B到地面的距離為米，籃球每一次投出時離地面的距離都為米．圖中所示拋物線的一部分是某次投籃訓(xùn)練中籃球飛行的部分軌跡，當(dāng)籃球與籃框水平距離為3米時離地面最高，最大高度為米．

(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；(2)判斷本次訓(xùn)練籃球能否直接投中籃圈中心B？若能，請說明理由；若不能，那么在保持投籃力度和方向（即籃球飛行的拋物線形狀不變）的情況下，求該球員只要向前或向后移動多少米，就能使籃球直接投中籃圈中心B．18．