專(zhuān)題03 軸對(duì)稱(chēng)（15大考點(diǎn)）原卷版

專(zhuān)題03軸對(duì)稱(chēng)考點(diǎn)類(lèi)型考點(diǎn)一遍過(guò)考點(diǎn)1：軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別典例1：（2022·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【變式1】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列漢字中，能看成軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式2】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列四幅照片中，主體建筑的構(gòu)圖不對(duì)稱(chēng)的是（）A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)2：生活中的軸對(duì)稱(chēng)典例2：（2022秋·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)在我們的生活中無(wú)處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖所示，∠1=∠2，若∠3=35°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證∠1為（

）

A．65° B．60° C．55° D．50°【變式1】（2023春·四川樂(lè)山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔．若一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），則該球最后將落入的球袋是（

）

A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【變式2】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD上，墻面PD⊥CD于點(diǎn)D，一束光線(xiàn)AO照射到鏡面MN上，反射光線(xiàn)為OB，點(diǎn)B在PD上，若∠AOC=35°，則∠OBD的度數(shù)為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【變式3】（2023春·江西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球從P點(diǎn)出發(fā)第1次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)記為A點(diǎn)，第2次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)記為B點(diǎn)，……第2020次碰到長(zhǎng)方形邊上的點(diǎn)為圖中的()A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)考點(diǎn)3：軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)與應(yīng)用典例3：（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線(xiàn)A．△AA'P是等腰三角形 B．C．△ABC與△A'B'C'周長(zhǎng)相等 D．直線(xiàn)【變式1】（2023春·山東棗莊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，下列結(jié)論中：①△ABC≌△A'B'C'；②∠BAC'

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=55°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B'，則

A．10° B．20° C．30° D．40°【變式3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P'，P″分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且P'P″

A．5cm B．6cm C．7cm D考點(diǎn)4：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的應(yīng)用典例4：（2023·山東濟(jì)南·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分別以邊A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于F、G兩點(diǎn)，連接F、G分別交于AB于E、BC于D，連接AD，若CD=3，則BC

A．6 B．63 C．9 D．【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）電信部門(mén)要再S區(qū)修建一座手機(jī)信號(hào)發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路OC，OD的距離也必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)建在（

）A．∠COD的平分線(xiàn)上任意某點(diǎn)處 B．線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上任意某點(diǎn)處C．∠COD的平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB的交點(diǎn)處 D．∠COD的平分線(xiàn)和線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處【變式2】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知△ABCAC<BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PC=BC，則符合要求的作圖痕跡是（

A．

B．

C．

D．

【變式3】（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A，B，C為三個(gè)居民小區(qū)，在三個(gè)小區(qū)之間建有一個(gè)超市，如果超市恰好在AC，BC兩邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)處，那么超市（

）

A．距離A較近 B．距離B較近C．距離C較近 D．與A，B，C三點(diǎn)的距離相同【變式4】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某同學(xué)做了一個(gè)如圖所示的風(fēng)箏，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．則下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A．EH=FH B．∠DEH=∠DFHC．EF垂直平分DH D．點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)DH對(duì)稱(chēng)【變式5】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊后點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則下列關(guān)于線(xiàn)段BE與AC的關(guān)系描述正確的是（

）

A．AC=BE B．AC和BE相互垂直平分C．AC⊥BE且AC=BE D．AC⊥BE且AC平分BE【變式6】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列條件中，不能判定直線(xiàn)CD是線(xiàn)段AB（C，D不在線(xiàn)段AB上）的垂直平分線(xiàn)的是（）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB【變式7】（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，BC=2，∠BAC=90°，AB的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)F，則△AEF的周長(zhǎng)為（

）

A．2 B．1 C．4 D．3【變式8】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE．若AD=4，△ABC的周長(zhǎng)為24，則△ACE的周長(zhǎng)為（

）

A．12 B．16 C．18 D．20考點(diǎn)5：坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)——求坐標(biāo)典例5：（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)校考期中）剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱(chēng)圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為2m,-n，其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)3-n,-m+1，則m-n2022的值為（

A．32022 B．-1 C．1 D．【變式1】（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)Pa+1,2a-3關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是（

A．a(chǎn)<-1 B．-1<a<32 C．-3【變式2】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的點(diǎn)P2-m,12m關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第四象限，則A．

B．

C．

D．

【變式3】（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(4,3)．A'與A關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)．則A'的坐標(biāo)為（A．-4,3 B．4,-1 C．-2,1 D．-2,3考點(diǎn)6：軸對(duì)稱(chēng)變換——坐標(biāo)規(guī)律典例6：（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4CA．0 B．3×2332017 C．【變式1】（2022秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)等腰直角三角形按如圖所示的規(guī)律擺放．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿著“O→A1→A2→A3→A4…”的路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(每秒一條直角邊)，已知A1坐標(biāo)為1,1,A22,0A．2020,0 B．2019,1 C．1010,0 D．2020,-1【變式2】（2022·河南·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1,1,B1,-1,C-1,-1,D-1,1，y軸上有一點(diǎn)P0,2，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，作點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2，作點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3，作點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P4，作點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A．0,2 B．2,0 C．0,-2 D．-2,0【變式3】（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，已知△ABD和△ACD關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)；在射線(xiàn)AD上取點(diǎn)E，連接BE，CE，如圖2，在射線(xiàn)AD上取點(diǎn)F，連接BF，CF，如圖

A．10 B．15 C．21 D．28考點(diǎn)7：軸對(duì)稱(chēng)變換——作圖典例7：（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（﹣2，1），（﹣1，3）．（1）請(qǐng)你在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出原點(diǎn)；（2）寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A′B′C′，然后寫(xiě)出A′，B′，C′的坐標(biāo)；（3）小芳在（2）中的操作時(shí)來(lái)了靈感，并發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律：若將（2）中作軸對(duì)稱(chēng)圖記作第1次操作（變換），那么從△ABC開(kāi)始順次沿y軸、x軸進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱(chēng)變換，則原來(lái)的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)第2021次變換后所得的坐標(biāo)是_______（請(qǐng)直接寫(xiě)出坐標(biāo)）．【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)△ABC，頂點(diǎn)A-1，3，B

(1)將△ABC向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，作出平移后的△A(2)畫(huà)出△A1B1C(3)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則△A2B【變式2】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A-3,5，B-2,1，(1)若△ABC和△A1B1C1關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出(2)在y軸上求作一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出P點(diǎn)．【變式3】（2023秋·江蘇淮安·七年級(jí)淮安市徐楊中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在8×8正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于直線(xiàn)l成軸對(duì)稱(chēng)△(2)在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得PC'考點(diǎn)8：網(wǎng)格中的軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)典例8：（2023春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將正方形網(wǎng)格圖中的某兩個(gè)白色方格涂上顏色，使整個(gè)圖形有四條對(duì)稱(chēng)軸．正確的涂色位置是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．①③【變式1】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格圖中再涂黑一個(gè)小正方形，使它與原來(lái)涂黑的小正方形組成的新圖案為軸對(duì)稱(chēng)圖形，則涂法有（

）

A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【變式2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖1，圖2均是由大小相等的的正方形組成的，現(xiàn)在圖2中添加一個(gè)同樣大小的正方形，若所得圖形與圖1不全等，則添加的正方形是（）A．① B．② C．③ D．④【變式3】（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)校聯(lián)考期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉執(zhí)圓子，淇淇執(zhí)方子．棋盤(pán)中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉將第4枚圓子放入棋盤(pán)后，所有棋子構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．則嘉嘉放的位置是（

）A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）考點(diǎn)9：最短路徑問(wèn)題——將軍飲馬典例9：（2022秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面積為12，CD⊥AB于點(diǎn)D，直線(xiàn)EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線(xiàn)段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接BP，PD，則△PBD的周長(zhǎng)的最小值是（

）

A．6 B．7 C．10 D．12【變式1】（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線(xiàn)段的長(zhǎng)度（

A．EF B．AB C．AC D．BC【變式2】（2023春·山西運(yùn)城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）．

B．

C．

D．

【變式3】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分別找到一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（

A．100° B．110° C．120° D．130°【變式4】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠C=α°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（

）A．α B．2α C．180-α D．180-2α【變式5】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是BD，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在BC上，且BM=1，則PM+PN的最小值為（

）A．3 B．23 C．3.5 D．考點(diǎn)10：等腰三角形的性質(zhì)——求角、周長(zhǎng)典例10：（2023春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M、N，連接CD．若∠B=30°，∠A=55°，則∠ACD=（

A．65° B．60° C．55° D．45°【變式1】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知△ABC≌△A'BC'，AA'

A．40° B．35° C．50° D．20°【變式2】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC和△A'B'C'中，A．30° B．n° C．n°或180°-n° D．30°或150°【變式3】（2023秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)北京豐臺(tái)二中校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=7，∠ABC的平分線(xiàn)BE交AD于點(diǎn)

A．1 B．2 C．3 D．4【變式4】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，AD=6，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若△AED的周長(zhǎng)為16，則邊AB的長(zhǎng)為（）

A．10 B．8 C．6 D．16【變式5】（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)EF平行于BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若BE=2，CF=3，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式6】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=5，將長(zhǎng)方形沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，DE與BC交于點(diǎn)F，且BF=3，則EF的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3【變式7】（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，連接AC，作AE垂直CD于E，若AB=AC，∠BAC=∠CAE=20°，∠BCD的度數(shù)為（

）

A．160° B．150° C．135° D．120°考點(diǎn)11：等腰三角形的性質(zhì)——三線(xiàn)合一典例11：（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，點(diǎn)D是底邊BC的中點(diǎn)，AE=AD，求∠CDE的度數(shù)．

【變式1】（2023秋·陜西榆林·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，連接OB，OC．

(1)試說(shuō)明：BO=AO；(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度數(shù)．【變式2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB=AC．

(1)若AD=AE，求證：BD=CE；(2)若BD=CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，求證：AF⊥BC．【變式3】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說(shuō)明AD與EF的關(guān)系．【變式4】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）命題：等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等.請(qǐng)你依據(jù)所給圖形，寫(xiě)出已知，求證，并證明它是定理.已知：______求證：______證明：【變式5】（2022秋·新疆阿勒泰·八年級(jí)校考期末）如圖，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC平分線(xiàn)AD與∠ABC的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E向AB作垂線(xiàn)EF，DE與EF相等嗎？說(shuō)明你的理由【變式6】（2022秋·北京海淀·八年級(jí)北京二十中?？茧A段練習(xí)）如圖：在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．(1)求證：DE=DF；(2)若∠A=60°,BE=2，求△ABC的周長(zhǎng)．【變式7】（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖①，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．（1）如圖①，求證：AD平分∠BAC；（2）如圖②，連接BC，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E．求證：AE⊥BC．考點(diǎn)12：等腰三角形的判定與性質(zhì)——平行+角平分典例12：（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（

）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【變式1】（2022秋·山東德州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，∠1=58°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠FGB的度數(shù)等于（

）A．29° B．151° C．122° D．109°【變式2】（2023春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，∠B、∠C的平分線(xiàn)相交于F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論正確的是(①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)為AB+AC；④BD=CE．A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④【變式3】（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的兩個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)BO，CO相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，若△AMN的周長(zhǎng)為15，BC=8，則△ABC的周長(zhǎng)為（A．15 B．19 C．23 D．31【變式4】（2023·浙江嘉興·校考一模）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN=1，則BC的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．43 D．【變式5】（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)考點(diǎn)13：等邊三角形的性質(zhì)——30°角直角三角形典例13：（2023春·福建三明·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，則S△BCDS

A．14 B．13 C．12【變式1】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE是∠ACB的平分線(xiàn)，CE交AD于點(diǎn)P．若AB=12，則AP的長(zhǎng)為(

)

A．6 B．5 C．4 D．3【變式2】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，AC=6，則CD的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式3】（2023春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=3，則AD的長(zhǎng)度為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【變式4】（2022秋·福建莆田·八年級(jí)?？计谀┰赗t△ABC中，∠C=30°，斜邊AC的長(zhǎng)為10，則AB的長(zhǎng)為（

A．12 B．20 C．10 D．5【變式5】（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，下列說(shuō)法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ，④BP＝2PQ，其中一定正確的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)考點(diǎn)14：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合典例14：（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖（1），在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s

(1)當(dāng)x=時(shí)，PQ⊥AC；(2)當(dāng)0<x<2時(shí)，求出使PQ∥AB的(3)當(dāng)2<x<4時(shí)，①是否存在x，使△BPQ是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②設(shè)PQ與AD交于點(diǎn)O，探索：OP與OQ的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式1】（2022秋·福建莆田·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，線(xiàn)段AC，CD的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，連接AE,CE,DE,AD．(1)若∠BAC=60°，求證：△ADE是等邊三角形；(2)求∠AED與∠ACB之間的數(shù)量關(guān)系．【變式2】（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)D在等邊△ABC的外部，E為BC邊上的一點(diǎn)，AD=CD，DE交AC于點(diǎn)F，AB∥(1)判斷△CEF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若BC=10，CF=4，求DE的長(zhǎng)．【變式3】（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=3(1)求AB的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)M在∠ABD的平分線(xiàn)上，連接DM，AM，①求證：△ADM是等邊三角形；②BM-BD的值是否為定值，如果是，請(qǐng)求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式4】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且DE=DF，連接BD，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且CD=CG．(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)若BF=3，求CG的長(zhǎng)．【變式5】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)福建省廈門(mén)集美中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．(1)求證：△OCD是等邊三角形；(2)當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？(直接寫(xiě)出答案，一個(gè)即可）．考點(diǎn)15：等腰與等邊的手拉手模型典例15：（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，分別以線(xiàn)段AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE，BD，線(xiàn)段AE，BD之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；位置關(guān)系為_(kāi)______．拓展探究：如圖2，把Rt△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段AE，BD交于點(diǎn)F，則AE與BD【變式1】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB=AC，AE=AD，∠CAB=∠EAD=α．（1）求證：△AEC?△ADB；（2）若α=90°，試判斷BD與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；（3）若∠CAB=∠EAD=α，求∠CFA的度數(shù)．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，B，C，E三點(diǎn)在一條