專題02 圓中的重要模型-圓弧的中點(diǎn)模型（原卷版）

專題02圓中的重要模型-圓弧的中點(diǎn)模型當(dāng)圓中出現(xiàn)弧的中點(diǎn)時(shí)，我們要注意考慮幾個(gè)方面：三角形的中位線，垂徑定理，圓周角定理，弦，弧，圓心角，圓周角的關(guān)系等等。其關(guān)系復(fù)雜，在理解其做輔助線的方法和分析技巧的基礎(chǔ)之上，還要注意各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，才是形成穩(wěn)固的解題思路以及推導(dǎo)模式的最佳選擇，以便于最后才能突破復(fù)雜的綜合題型以及壓軸題型。當(dāng)圓中出現(xiàn)弦的中點(diǎn)或弧的中點(diǎn)時(shí)，我們聯(lián)想到的是利用垂徑定理以及圓周角定理進(jìn)行思路的突破，這樣的解決方式比較直接，而且能夠提高大家解題的效率模型1、與垂徑定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖2圖31）如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接OP，則OP⊥AB．2）如圖2，已知過點(diǎn)P作MN∥AB，則MN是圓O的切線．3）如圖3，變換條件：連接BP、AP，若∠BPN=∠A，則MN是圓O切線．例1．（2023陜西中考數(shù)學(xué)試卷）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點(diǎn)，連接，與弦交于點(diǎn)，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm例2．（2023·湖北十堰·九年級?？计谥校┤鐖D，是的直徑，C是上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的面積．例3．（2023春·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓上（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)、于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作半圓的切線交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接，，若∶∶，求的值．例4．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，在中，為的直徑，點(diǎn)E在上，D為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)C．連接，在的延長線上取一點(diǎn)F，連接，使．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的直徑．模型2、與圓周角定理相關(guān)的中點(diǎn)模型（母子型）圖1圖2圖31）如圖1，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，則∠PCA=∠PCB．2）如圖2，已知點(diǎn)P是半圓中點(diǎn)，則∠PCA=∠PCB=45°．3）如圖3，已知點(diǎn)P是中點(diǎn)，則∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．例1．（2023·廣東九年級期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．例2．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B是劣弧中點(diǎn)，延長到點(diǎn)F，使，連接(1)求證：；(2)若，求證：是的切線；(3)若，，求的長.例3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，為延長線上一點(diǎn)，切于，是的中點(diǎn)，交于，(1)求證：；(2)若，，求的長．

例4．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形中，連接，作的外接圓交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，．(1)若，求證：是的切線；(2)若，求的半徑；(3)若，為的中點(diǎn)，則的長為______．

模型3、垂徑定理與圓周角定理結(jié)合的中點(diǎn)模型如圖，AB是直徑，點(diǎn)P是中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥AB交AB于點(diǎn)H，則△ADP∽△APC．以下作圖可證明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，，是的直徑，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)．甲、乙給出了如下說法：甲：若添加條件，則；乙：若添加條件是劣弧的中點(diǎn)，則．下列說法正確的是（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對 C．甲、乙兩人都對 D．甲、乙兩人都不對例2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，是半圓的直徑，是弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．例3．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，為的直徑，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，弦，相交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若，求直徑的長．例4．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模）如圖1，在中，直徑于點(diǎn)F，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為弧的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)C作的切線交BA的延長線于點(diǎn)Q，若，，求的長度；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，點(diǎn)P為上任一點(diǎn)，連接，的比值是否發(fā)生改變？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律．模型4、與托勒密定理相關(guān)的中點(diǎn)模型圖1圖21）同側(cè)型:條件：如圖5，A為弧BC中點(diǎn)，D為圓上等腰三角形底邊下方一點(diǎn)，結(jié)論：BD+CD=2AD×cosθ；特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)（即θ=60°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)（即θ=90°）；結(jié)論：BD+CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時(shí)（即θ=120°）；結(jié)論：BD+CD=AD2）異側(cè)型:條件：如圖5，A為弧BC中點(diǎn)，D為圓上等腰三角形底邊下方一點(diǎn)，結(jié)論：BD-CD=2AD×cosθ；特別地：1）當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)（即θ=60°）；結(jié)論：BD-CD=AD2）當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)（即θ=90°）；結(jié)論：BD-CD=AD3）當(dāng)三角形為120°的等腰直角三角形時(shí)（即θ=120°）；結(jié)論：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年級期中）如圖，為圓內(nèi)接四邊形的對角線，且點(diǎn)D為的中點(diǎn)；(1)如圖1，若、直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2、若、平分，，求的長度．例2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為的直徑，過點(diǎn)C作射線，，點(diǎn)B為弧的中點(diǎn)，連接，，．點(diǎn)P為弧上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B，C重合），連接，，，．(1)若，判斷射線與的位置關(guān)系；(2)求證：．

例3．（2023·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).任務(wù)：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別指什么？依據(jù)1：

依據(jù)2：（2）當(dāng)圓內(nèi)接四邊形ABCD是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：（請寫出定理名稱）.（3）如圖（3），四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，求AC的長.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山西晉中·校考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，若，則的大小為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)均在上，為的直徑，弦的延長線與弦的延長線交于點(diǎn)，連接．則下列命題為假命題的是（

）

A．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則B．若，則C．若，則D．若半徑平分弦，則四邊形是平行四邊形3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，的頂點(diǎn)A、B、C均在上，點(diǎn)A是中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．C．D．4．（2023春·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②若，則；③若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則；④．其中一定正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·陜西西安·校考三模）如圖，是的直徑，為上的點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)E，與圓交于點(diǎn)D．若，且，則圓的半徑為（

）

A． B．3 C． D．7．（2023·重慶江津·?？级＃┤鐖D，為的直徑，且，為弧的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，是的切線，則圖中陰影部分的面積為（不取近似值）．

8．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，且，點(diǎn)D，E在上，連接，連接并延長，交的切線于點(diǎn)C．①若，則弧的長度為（結(jié)果保留）；②若E是弧的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F，，則．

9．（2023春·江西贛州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，是的直徑，是弦，與交于點(diǎn)．的切線交的延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．(2)連接，取的中點(diǎn)，連接．若，求的長．

10．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，是弦，是弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是的切線，交的延長線于點(diǎn)．(1)寫出圖中一對相似三角形；(2)求證：；(3)若，，求的長．

11．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在中，以為直徑作，恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為半圓中點(diǎn)，連接，過作交延長線于點(diǎn)．(1)求證：為切線；(2)若，，求的半徑長．

12.（2022·山東九年級期中）如圖，是的外接圓，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，，求的長．13.（2023·重慶九年級期末）如圖，為外接圓的直徑，且．（1）求證：與相切于點(diǎn)；（2）若，，，求的長．14.（2023·浙江九年級期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，，點(diǎn)在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）若，當(dāng)，時(shí)，求的長．15.（2022·德陽）如圖，在直角三角形中，，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線和三角形的外接圓相交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：；（2）過點(diǎn)作的平行線交、的延長線分別于點(diǎn)、，已知，圓的直徑為5．①求證：為圓的切線；②求的長．16．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）如圖，以為直徑的經(jīng)過的邊的中點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，且直線與的延長線交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，求的長；(3)求證：．

17．（2023·云南文山·統(tǒng)考二模）如圖，A、B、C、