專題02 全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)（原卷版）

專題02全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)【模型目錄】模型一平移模型模型二軸對(duì)稱模型模型三旋轉(zhuǎn)模型模型四一線三等角模型模型五垂直模型模型六手拉手模型模型七半角模型【經(jīng)典模型一平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線．【常見模型】【例1】（2023春·全國·八年級(jí)期中）如圖所示的是重疊的兩個(gè)直角三角形，將其中一個(gè)直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2【變式訓(xùn)練】1．（2021春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿方向平移得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長線上，連接，、交于點(diǎn)．下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．、互相平分2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，若將的邊沿方向平移，平移過程中始終滿足下列條件：，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．則當(dāng)點(diǎn)，不重合時(shí)，與的關(guān)系是______．3．（2023秋·山東聊城·八年級(jí)?？计谀┤鐖D（1），，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，且，．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖（2），若把沿直線向左平移，使的頂點(diǎn)C與B重合，此時(shí)第（1）問中與的位置關(guān)系還成立嗎？說明理由．（注意字母的變化）．【經(jīng)典模型二軸對(duì)稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等．【常見模型】【例2】（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有(

)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，與交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，，與相交于點(diǎn)．若________________，求證：．3．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，、分別為，的角平分線，兩線交于點(diǎn)．

(1)若，，則______；(2)若，則______；(3)若，用表示的，寫出詳細(xì)的步驟（不用寫理論依據(jù)）；(4)，，，三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)果，并說明理由（不用寫理論依據(jù)）．【經(jīng)典模型三旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件．【常見模型】【例3】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③2．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，五邊形中，，則這個(gè)五邊形的面積等于__________．3．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由可得、、三點(diǎn)共線，，進(jìn)而可證明，故．任務(wù)：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典模型四一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】【例4】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．

3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請(qǐng)你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典模型五垂直模型】【模型解讀】模型主體為兩個(gè)直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】【例5】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，以為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．連接為邊上的高線，延長交于點(diǎn)N，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有____________(填序號(hào))．3．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，中，，，直線m過點(diǎn)A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問：與、的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）【經(jīng)典模型六手拉手模型】【模型分析】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”．對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）【例6】（2023春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM，下列結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是邊長為5的等邊三角形，，．E、F分別在AB、AC上，且，則三角形AEF的周長為______．3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是一個(gè)銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點(diǎn)，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．【經(jīng)典模型七半角模型】【模型分析】過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【例7】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┮阎哼呴L為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．3．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市南坪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長線上的點(diǎn)，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長到點(diǎn)E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．2．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長到M，使得②連接，通過三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫出圖2中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，是的中線，，，，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．3．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．4．（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.5．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請(qǐng)判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請(qǐng)用含的式子表示）6．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點(diǎn)直線，直線，垂足分別為點(diǎn)．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點(diǎn)都在直線上，并且有．請(qǐng)寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的異側(cè)）時(shí)，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)證明；（4）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的同側(cè)）時(shí)其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需說明理由．8．（2020秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的異側(cè)，點(diǎn)E為AD邊上的一點(diǎn)，且AC＝AE，連接CE交直線AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AF⊥AD交直線CE于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：△AGE≌△AFC；（Ⅱ）若AB＝AC，求證：AD＝AF+BD；（Ⅲ）如圖2，若AB＝AC，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的同側(cè)，題目其他條件不變，直接寫出線段AD，AF，BD的數(shù)量關(guān)系．9．（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AD＝CD，這個(gè)性質(zhì)是；②在圖2中，求證：AD＝CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．10．（2021秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某中學(xué)八年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識(shí)時(shí)時(shí)，經(jīng)歷了以下學(xué)習(xí)過程：（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，若平分，時(shí)，可以得出，為中點(diǎn)，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)證明此結(jié)論．（2）【學(xué)以致用】如果和等腰有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，如圖2，若頂點(diǎn)與頂點(diǎn)也重合，且，試探究線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在（2）的前提下，若頂點(diǎn)