專題2.21 軸對(duì)稱的最值問題（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.21軸對(duì)稱的最值問題（基礎(chǔ)練）一、單選題1．在中，，，，直線m是中BC邊的垂直平分線，P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，則的周長的最小值為（

）A．6 B．10 C．11 D．132．如圖，在等邊三角形中，邊上的高，是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，存在的最小值，則這個(gè)最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如圖，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面積是14，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+DM的最小值為（

）A．21 B．7 C．4 D．24．如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作邊的垂線，是上任意一點(diǎn)，，．則的周長的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，正方形的面積為16，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（

）

A．2 B．4 C．6 D．86．如圖，在中，，是的一條角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，若，，那么線段的最小值是（

）

A． B．5 C．4 D．67．如圖，在等邊中，D為的中點(diǎn)，P，Q分別在，上，且，，在上有一動(dòng)點(diǎn)E，則的最小值為（

）

A．28 B．29 C．18 D．198．如圖，在等腰中，，是邊上的高，點(diǎn)是高上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，，，，則的最小值是（

）

A．3 B．5 C． D．9．如圖，等腰中，，垂直平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若的面積是，，則的周長最小值是（）A． B． C． D．10．如圖，已知點(diǎn)D，E分別在的邊，上，若，，由作圖痕跡可得，的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．二、填空題11．如圖，已知空間站與星球距離為，信號(hào)飛船在星球附近沿圓形軌道行駛，，之間的距離為數(shù)據(jù)表示飛船與空間站的實(shí)時(shí)距離，那么的最小值．12．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN為BC邊上的垂直平分線，若點(diǎn)D在直線MN上，連接AD，BD，則△ABD周長的最小值為．13．如圖，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△APC周長的最小值為．14．如圖，在等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，且AD＝4，E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，則PB＋PE的最小值是．15．如圖，已知點(diǎn)D，E分別是等邊三角形ABC中BC，AB邊的中點(diǎn)，BC=6，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為．

16．如圖，在中，，，F(xiàn)是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上運(yùn)動(dòng)，且保持．連接，則面積的最大值為．

17．如圖，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，，，，若，則線段長度的最大值是．18．如圖，在面積為48的等腰中，，，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)外別為M、N，則線段MN的最大值為．三、解答題19．已知a，b，c是的三邊長．（1）若為等腰三角形，且周長為18，，求b，c的值；（2）若，且的周長不超過20cm，求a取最大值時(shí)的三邊長．20．如圖，在中，已知，若，的周長是20．（1）求作：的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)①求的長度；②若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出周長的最小值是______．21．如圖，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)M，N分別在，上，求的周長的最小值．22．在等邊三角形中，AD是BC邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，若，試求的最小值．23．如圖，在中，已知的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接．（1）若，求的度數(shù)．（2）若，的周長是．①求的長度；②若點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，請(qǐng)你求出周長的最小值．24．如圖，在中，，AE平分∠BAC，BD⊥AC于D，E為BC邊上一點(diǎn)，AE、BD交于點(diǎn)F，EG//BD．（1）求證：AB=AG；（2）當(dāng)時(shí)，在上有一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．參考答案1．B【分析】連接BP，設(shè)直線m交AB于點(diǎn)D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BP=CP，從而得到當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長，即可求解．解：如圖，連接BP，設(shè)直線m交AB于點(diǎn)D，∵直線m垂直平分AB，∴BP=CP，∴CP+AP=BP+AP≥AB，即當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長，∵的周長為AP+PC+AC，∴△APC周長的最小值是AB+AC=6+4=10．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】先連接CE，再根據(jù)EB=EC，將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)等邊三角形的各邊上的高相等，求得CF的長，即為FE+EB的最小值．【詳解】連接CE，∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC∴EB=EC，當(dāng)C.F.E三點(diǎn)共線時(shí)，EF+EC=EF+BE=CF，∵等邊△ABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，是等邊三角形邊上的高，和中∴AD=CF=8，∴EF+BE的最小值為8，故選D【點(diǎn)撥】此題考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱－最短路線問題，解題關(guān)鍵在于作輔助線.3．B【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=14，解得AD=7，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴CM+MD的最小值為7．故答案為B．【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對(duì)稱－最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的三線合一是解答此題的關(guān)鍵．4．D【分析】連接BE，依據(jù)是AB的垂直平分線，可得AE=BE，進(jìn)而得到AE+CE=BE+CE，依據(jù)BE+CE≥BC，可知當(dāng)B，E，C在同一直線上時(shí)，BE+CE的最小值等于BC的長，而AC長不變，故△AEC的周長最小值等于AC+BC．【詳解】如圖，連接BE，∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，l⊥AB，∴l(xiāng)是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE，∵BE+CE≥BC，∴當(dāng)B，E，C在同一直線上時(shí)，BE+CE的最小值等于BC的長，而AC長不變，∴△AEC的周長最小值等于AC+BC=5+8=13．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了最短距離問題，利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BE，與AC的交點(diǎn)即為F，此時(shí)，F(xiàn)D+FE=BE最小，而BE是等邊三角形ABE的邊，BE=AB，由正方形面積可得AB的長，從而得出結(jié)果．解：由題意可知當(dāng)點(diǎn)P位于BE與AC的交點(diǎn)時(shí)，有最小值．設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為F，連接BD，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面積為16∴AB=4∵△ABE是等邊三角形∴BE=AB=4．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軸對(duì)稱中的最短路線問題，解題的關(guān)鍵是弄清題意，找出相對(duì)應(yīng)的相等線段．6．A【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，此時(shí)，即的最小值，利用面積法可求出的值，即的最小值．解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，

，是的一條角平分線，點(diǎn)為底邊的中點(diǎn)，，，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，，，此時(shí)的最小值，，，，，，的最小值為．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱最短問題，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題，屬于中考常考題型．7．A【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，此時(shí)的值最?。钚≈担猓菏堑冗吶切?，，，∵D為的中點(diǎn)，，，∴，∴，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P、E、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最小，則最小，即的最小值為，，，，，∴，，，是等邊三角形，，的最小值為28．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．8．D【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作于H，連接，先證明得到，再證明得到，進(jìn)而推出當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，利用等面積法求出的長即可得到答案．解：如圖所示，過點(diǎn)E作于H，連接，∵，是邊上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，∵，∴，∴的最小值為，故選D．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判斷，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】連接．利用三角形的面積公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值為3，由此即可解決問題．解：如圖，連接．∵，，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為3，∴的最小值為，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，兩點(diǎn)間線段最短，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．10．C【分析】根據(jù)作圖痕跡可得平分，結(jié)合可得，根據(jù)點(diǎn)到直線距離垂線段最短結(jié)合直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可得到答案；解：由圖像可得，平分，∵，∴，當(dāng)時(shí)，最短，∵，∴，故選C；【點(diǎn)撥】本題考查角平分線作圖，點(diǎn)到直線距離垂線段最短及直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線作圖得到平分．11．/【分析】三角形的任意兩邊的長度之和大于第三邊，可得：只有空間站與星球、飛船在同一直線上時(shí)，取到最小值，據(jù)此求解即可．解：空間站與星球、飛船在同一直線上且飛船位于空間站與星球之間時(shí)，取到最小值．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的求法，要熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．12．12【分析】MN與AC的交點(diǎn)為D，AD+BD的值最小，即△ABD的周長最小值為AB+AC的長．解：MN與AC的交點(diǎn)為D，∵M(jìn)N是BC邊上的垂直平分線，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC，此時(shí)AD+BD的值最小，∴△ABD的周長=AB+AD+BD=AB+AC最小，∵AB=5，AC=7，∴AB+AC=12，∴△ABD的周長最小值為12，故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．14【分析】由圖形可得：△APC周長，因?yàn)锳C＝3，所以求出的最小值即可求出△APC周長的最小值，根據(jù)題意知點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，的值最小，即可得到結(jié)論．解：如圖所示，連接AE，BP，∵直線EF垂直平分AB，∴A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴，，在中，，∴當(dāng)P和E重合時(shí)，C、P、B三點(diǎn)共線，此時(shí)，的值最小，最小值等于BC的長，∴周長的最小值，故答案為：14．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題的應(yīng)用、垂直平分線的性質(zhì)、三角形周長，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出動(dòng)點(diǎn)的位置．14．4【分析】連接EC，交AD于點(diǎn)P，連接BP，此時(shí)PB＋PE的值最小，再根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)求得答案即可．【詳解】如圖，連接EC，交AD于點(diǎn)P，連接BP，此時(shí)PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC．因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以CE是等邊三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋PE的最小值為4．故答案為：4【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短找到最短線段就是CE是解題的關(guān)鍵．15．.【分析】連接CE交AD于F，連接BF，則最小，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出EC的長即可.解：連接CE交AD于F，連接BF，則最小（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短）∵三角形ABC為等邊三角形，且D為BC邊的中點(diǎn),∴在中：,.∴,即AD為BC的垂直平分線，∴C和B關(guān)于AD對(duì)稱，則，∴，同理可得：∴，∴在中由勾股定理得：.故答案為：.

【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．16．【分析】首先證明出，得到，進(jìn)而得到，推理出要的面積最大，則的面積最小即可，然后得到當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，最后利用求解即可．【詳解】如圖，連接，

∵在中，，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵為定值，∴要的面積最大，則的面積最小即可，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，則當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．17．14【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，得出是等邊三角形，當(dāng)、、、共線時(shí)的值最大，最大值為．解：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，如圖所示：∴，∴，，，同理可證：，，，是邊的中點(diǎn)，，，，．．．是等邊三角形．，，即，當(dāng)、、、共線時(shí)的值最大，最大值為故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．19.2【分析】點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合時(shí)，P、M、N三點(diǎn)共線，MN最長，由軸對(duì)稱可得，，再由三角形等面積法即可確定MN長度．解：如圖所示：點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，由圖可得：，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合時(shí)，如圖所示，MN交AC于點(diǎn)F，此時(shí)P、M、N三點(diǎn)共線，MN最長，∴，，∵等腰面積為48，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】題目主要考查對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，三角形等面積法等，理解題意，根據(jù)圖形得出三點(diǎn)共線時(shí)線段最長是解題關(guān)鍵．19．(1)(2)a的最大值為4，此時(shí)三邊長分別為4，7，9【分析】（1）分情況：a是底邊，a是腰，依據(jù)三角形的周長及三角形三邊關(guān)系解答；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系及三角形的周長列不等式組，求出，即可解答．【詳解】（1）解：若a是底邊，則，則，解得，∴；若a是腰，，則，解得，而，不能構(gòu)成三角形，舍去，∴；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系及周長得，即，解得，∴a的最大值為4，此時(shí)，∴a的最大值為4，此時(shí)三邊長分別為4，7，9．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．20．(1）見解析(2)①8；②20【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的做法作圖即可；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長是20．，即可求的長度；②依據(jù)，，即可得到當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)最小，進(jìn)而得出的周長最小值．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）①，的周長是，即，垂直平分，，，，．的長度為8．②當(dāng)與重合時(shí)，的周長最小．理由：，，當(dāng)與重合時(shí)，，此時(shí)最小值等于的長，的周長最小值．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．21．10【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于M，交于N，的周長，然后證明是等邊三角形，即可求解．【詳解】分別作點(diǎn)P關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接交于M，交于N，連，則，，，，，則的周長的最小值，∵，∴，∴是等邊三角形．的周長，∴．∴的周長的最小值是10．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明是等邊三角形是關(guān)鍵．22．12【分析】如圖，連接BE交AD于點(diǎn)P，此時(shí)最小，據(jù)此求解即可．解：如圖，連接BE交AD于點(diǎn)P，此時(shí)最小，∵是等邊三角形，，∴AD是BC的垂直平分線，∴．∴．即BE就是的最小值．∵，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，∴．∴的最小值是12．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑問題，正確找到最小的情形是解題的關(guān)鍵．23．（1）40°；（2）①；②．【分析】（1）由等邊對(duì)等角得到，再結(jié)合三角形內(nèi)角和180°解得，接著由垂直平分線的性質(zhì)得到，繼而由三角形內(nèi)角和180°定理解題；（2）①由垂直平分線