高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 第4講 離散型隨機(jī)變量及其分布列練習(xí) 理 試題

第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布第4講離散型隨機(jī)變量及其分布列練習(xí)理新人教A版基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51解析P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案C2.隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，則a值為()A.eq\f(1,110) B.eq\f(1,55) C.110 D.55解析∵隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq\f(1,55).答案B3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1，2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6) C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析由分布列的性質(zhì)，得a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，所以a＝eq\f(1,2).而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).答案D4.袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為ξ，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是()A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5解析“放回五個(gè)紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.答案C5.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于eq\f(Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8),Ceq\o\al(10,15))的是()A.P(X＝2) B.P(X≤2) C.P(X＝4) D.P(X≤4)解析X服從超幾何分布P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(10－k,8),Ceq\o\al(10,15))，故k＝4.答案C二、填空題6.設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______.解析由于隨機(jī)變量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每個(gè)數(shù)的概率均為eq\f(1,n).∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.答案107.拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X≤4)＝________.解析相應(yīng)的基本事件空間有36個(gè)基本事件，其中X＝2對(duì)應(yīng)(1，1)；X＝3對(duì)應(yīng)(1，2)，(2，1)；X＝4對(duì)應(yīng)(1，3)，(2，2)，(3，1).所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(2,36)＋eq\f(3,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)8.在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫(xiě)出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為_(kāi)_______.解析η的所有可能值為0，1，2.P(η＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的分布列為η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)三、解答題9.(2015·重慶卷節(jié)選)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列.解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)10.某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同的學(xué)院的概率為eq\f(49,60).(2)依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且隨機(jī)變量X的可能值為0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3).所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)11.若隨機(jī)變量η的分布列如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(η＜x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.x≤2 B.1≤x≤2C.1＜x≤2 D.1＜x＜2解析由分布列知：P(η＜－1)＝0.1，P(η＜0)＝0.3，P(η＜1)＝0.5，P(η＜2)＝0.8，∴當(dāng)P(η＜x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為1＜x≤2.答案C12.隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4) C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析因?yàn)镻(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，所以eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＋eq\f(a,4×5)＝eq\f(4,5)a＝1.∴a＝eq\f(5,4)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)＋eq\f(1,6)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).答案D13.(2016·石家莊調(diào)研)為檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x，y滿(mǎn)足x≥175且y≥75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，則抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列為_(kāi)_______.解析5件抽測(cè)品中有2件優(yōu)等品，則ξ的可能取值為0，1，2.P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝0.3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.6，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝0.1.∴優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列為ξ012P0.30.60.1答案ξ012P0.30.60.114.(2016·西安調(diào)研)在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記X＝|x－2|＋|y－x|.(1)求隨機(jī)變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求隨機(jī)變量X的分布列.解(1)由題意知，x，y可能的取值為1，2，3，則|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3，且當(dāng)x＝1，y＝3或x＝3，y＝1時(shí)，X＝3.因此，隨機(jī)變量X的最大值為3.而有放回地抽兩張卡片的所有情況有3×3＝9(種)，所以P(X＝3)＝eq\f(2,9).故隨機(jī)變量X的最大值為3，事件“X取得最大值”的概率為eq\f(2,9).(2)X的所有取值為0，1，2，3.當(dāng)X＝0時(shí)，只有x＝2，y＝2這一種情況，當(dāng)X＝1