2023屆安徽省定遠(yuǎn)市高三年級(jí)下冊(cè)高考沖刺卷（二）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆安徽省定遠(yuǎn)市高三下學(xué)期高考沖刺卷(二)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知全集〃=2,集合A={-3,T,0,l,2},8={x|x=2"I,&eN},則Ac(Q4)=

A.{0,1,2}B.{-3,-1,0}C.{-1,0,2}D.{-3,0,2)

【答案】D

【詳解】集合8={X|X=2A—1,AGN}={—1,1,3,5,7...},仇且全集。=2,

.?.-1eeC°B,則Ac(Cu3)={-3,0,2},故選D.

點(diǎn)睛:本題考查集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.研究一個(gè)集合，我們首先要看清楚它的研究對(duì)

象，是實(shí)數(shù)還是點(diǎn)的坐標(biāo)還是其它的一些元素，這是很關(guān)鍵的一步.在求交集時(shí)注意區(qū)間端點(diǎn)的取

舍,熟練畫(huà)數(shù)軸來(lái)解交集、并，集和補(bǔ)集的題目.注意集合B中的條件ZeN,是解決本題的關(guān)鍵和易錯(cuò)點(diǎn).

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=(""：)，三是z的共輾復(fù)數(shù)，貝L二=()

(1-i)

A.4B.73C.y/2D.2

【答案】D

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方、除法運(yùn)算求z,進(jìn)而可求zS.

【詳解】J"后)2鳳2l_6i(1_4)(1T)”揚(yáng)一力+l)i

(1-i)3~-i+1-(i+D(l-i)~T~

z-z--X[(1->/3)2+[-(>/3+1)]2]=2.

故選：D.

3.sin17°sin223°+cos17°cos(-43°)等于

A.；B.--C.-3D.由

2222

【答案】A

【詳解】分析：由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)所給的式子，可得結(jié)果.

詳解：sinl70sin2230+cosl7°cos(^l3o)

=sin17sin(180+43)+cos17°cos43

=-sinl7°sin43+cos17Ocos43

=cos(17+43)

=cos60

=—1

2,

故選：A.

點(diǎn)睛：本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知圓C：(x-l)2+(y-l)2=l上兩動(dòng)點(diǎn)A,8滿足一ABC為正三角形，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|。4+。目的

最大值為()

A.2石B.2a

C.2x/2-V3D.20+石

【答案】D

【分析】由條件可得|CM卜日，由此確定點(diǎn)M的軌跡方程，再求|。加|的最大值可得結(jié)論.

【詳解】由題可知一43。是邊長(zhǎng)為1的正三角形，

設(shè)A3的中點(diǎn)為“，貝1」巾|=冬

又所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x-l)2+(y_l)2=1,且|0。=夜.

因?yàn)?A+08=20M，所以|0A+0Q=2|0M],

因?yàn)閨OMt|Oq+|MC|=&+g,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OM上時(shí)等號(hào)成立，

所以|。叫的最大值為&+*,

所以|。4+。回的最大值為2應(yīng)+G.

故選：D.

5.2025年某省將實(shí)行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)這三門(mén)必考科目，力”

表示必須從物理和歷史中選考一門(mén)科目，“2”表示要從化學(xué)、生物、政治和地理中選考兩門(mén)科目.為幫

助甲、乙兩名高一學(xué)生應(yīng)對(duì)新高考，合理選擇選考科目，將其高一年級(jí)的成績(jī)綜合指標(biāo)值(指標(biāo)值

滿分為5分，分值越高成績(jī)?cè)絻?yōu))整理得到如下的雷達(dá)圖，則下列選擇最合理的是()

物理

政治-----乙

A.選考科目甲應(yīng)選物理、化學(xué)、歷史

B.選考科目甲應(yīng)選化學(xué)、歷史、地理

C.選考科目乙應(yīng)選物理、政治、歷史

D.選考科目乙應(yīng)選政治、歷史、地理

【答案】D

【分析】根據(jù)雷達(dá)圖得到兩位同學(xué)綜合指標(biāo)值順序，然后根據(jù)選科要求從高到低選擇即可.

【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖，甲同學(xué)按照科目綜合指標(biāo)值從高到低順序?yàn)椋何锢?、歷史（化學(xué)）、地理、生

物、政治，

乙同學(xué)按照科目綜合指標(biāo)值從高到低順序?yàn)椋簹v史、物理（政治）、地理、生物、化學(xué)，

根據(jù)新高考選科模式規(guī)則，選考科目甲應(yīng)選物理、化學(xué)、地理；選考科目乙應(yīng)選歷史、政治、地理.

故選：D

6.已知拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)與柳圓①￡+片=1（〃?>〃>0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且C的準(zhǔn)線與

mn

橢圓E相交所得的弦長(zhǎng)為3,則橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】求出拋物線C：丁=敘的焦點(diǎn)，可得加-“=1,結(jié)合C的準(zhǔn)線與橢圓E相交所得的弦長(zhǎng)列

出關(guān)于修，〃方程組，即可求得答案.

【詳解】由題意拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓E：￡+.=15>〃>0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合,

mn

且C的準(zhǔn)線與橢圓E相交所得的弦長(zhǎng)為3,

拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為（1,0）,故加-〃=1,拋物線準(zhǔn)線方程為、=-1,

將尸-1代入反+目

=\(tn>H>0)nJWy=±.~—，結(jié)合機(jī)一〃=1，

mnVm

m-n=\

m=4

得2Mz,得°,則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,

第二3〃=3

故選：c.

7.函數(shù)/(x)=(x+l)ln|xT|的大致圖像是()

【分析】由/(-；)>0排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由x>2時(shí)，/1)>0排除一個(gè)選項(xiàng)后可得正確選項(xiàng).

11a

【詳解】???/(x)=(x+l)ln|x-l|,所以7=故排除C,D,

當(dāng)x>2時(shí),/(x)=(x+l)ln(x-l)>0恒成立,排除A,

故選：B.

8.在ZkABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知asinB=3sin(A-5),設(shè)。是BC邊的

uir/Ui?uunx

中點(diǎn)，且AABC的面積為貝IJBA-(OB+D4)=()

A.2B.C.-2D.-26

【答案】C

【分析】由正弦定理可以求得A=看，利用面積公式可求得|A5HAC|=4,再根據(jù)向量的運(yùn)算法則

和向量的數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】依題知，

因?yàn)閍sinB=bsin(A-q),

所以由正弦定理得：sinAsinB=sin8sin(A-。)，

因?yàn)椤?lt;3<%，所以sinBwO,

所以sin4=sin(A-?1,

所以4+A—九IT=??■或A=A—T—T（舍），

33

27ruuuu2乃

解得：A=子，所以BA與CA的夾角為：y.

由面積公式S=gx[48|x|AC|xsinA=6,

解得：|AB|-|AC|=4,Bp|BA|-|S|=4

因?yàn)?。?c邊的中點(diǎn)，所以。8=0

uirziiuinuun、uirzuiinuunxuiruir

所以8A.（OB+D4）=3A（CQ+OA）=3A.CA,

故選：C.

二、多選題

9.己知首項(xiàng)為3,公比為4的等比數(shù)列｛《,｝,其前"項(xiàng)和為s"，”eN*,且S3+%,S5+a5,S4+a4

c2

成等差數(shù)列,記1=S〃-晨，neN\則（）

A.公比q

B.若｛%｝是遞減數(shù)列，則S“<3

C.若｛《,｝不單調(diào)，則億｝的最大項(xiàng)為:

D.若｛%｝不單調(diào)，則⑵｝的最小項(xiàng)為q

【答案】BC

【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可判斷A,由等比數(shù)列前”項(xiàng)和5,即可判斷B,由S“以及5”與7”的關(guān)

系即可判斷CD.

【詳解】由S3+/，$5+為，成等差數(shù)列，

得2（S5+&）=S3+生+S4+%,即4〃5=〃3，

，4/=1,得q=±；,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)4=-g時(shí)，數(shù)列｛4｝不單調(diào)，當(dāng)4時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，

若｛叫是遞減數(shù)列，則5“=2（,1=3（］_朗<3,故B正確；

1-A\2）

2

15口―卜5）”?

若｛q｝不單調(diào)，則q=-2,則s“=^—=

1+2

Tn=S,,-^,是關(guān)于S“的增函數(shù)，當(dāng)〃=1時(shí)，S.有最大值為則｛（｝的最大項(xiàng)為［一。=）,故c

3〃2236

正確；

當(dāng)”=2時(shí)，S.有最小值為:，則｛1｝的最小項(xiàng)為（一］=-菅，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.如圖，曲線C：d=2y的焦點(diǎn)為尸，直線/與曲線C相切于點(diǎn)P（異于點(diǎn)。），且與x軸，y軸分

別相交于點(diǎn)E,T,過(guò)點(diǎn)P且與/垂直的直線交y軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線及y軸的垂線，垂足分別

是M,N,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)戶的坐標(biāo)為［，；）時(shí)，切線/的方程為2x-2y-3=0

B.無(wú)論點(diǎn)P（異于點(diǎn)O）在什么位置，尸”都平分NPfT

C.無(wú)論點(diǎn)尸（異于點(diǎn)O）在什么位置，都滿足|P?f=4「叩0兇

D.無(wú)論點(diǎn)P（異于點(diǎn)O）在什么位置，都有歸斗@0|＜?xì)w件|月0|+|6斗歸閘成立

【答案】BCD

【分析】由題意，求導(dǎo)即可判斷A,證明四邊形PF7M為菱形即可判斷B,由4|EP|-|ON|=

4|加|?|0叫即可判斷C,證明四邊形GFMP為平行四邊形，再結(jié)合基本不等式即可判斷D.

【詳解】因?yàn)榍€C：x2=2y,即y=gd,所以爐=彳,

設(shè)點(diǎn)P&，％），則%=；x：,左=與，

所以切線/的方程為y=x°x-；￡,

當(dāng)國(guó)=1時(shí)，切線方程為2x-2y-l=0,故A錯(cuò)誤：

由題意尸（0，；｝M卜0,-；）,T（0,-gx：）,

所以|PM|=|FT|=g片+g,

因?yàn)镻M//FT,所以四邊形為平行四邊形，

又|PF|=|PM|,所以四邊形PF7M為菱形，可得用0平分角NPET,故B正確：

因?yàn)镹（0,%）,7（0,—%）,

所以|PT|2=x：+4y：=2y°+4y：,

4\FP\.\ON\=4\PM\.\ON\=4（yo+^.y0=2yo+4yi，

所以|H|2=4|印故C正確：

直線GP方程：＞=--x+%+1,可得G（0,l+%）,所以|G目=〈+%,

X。2

又歸必=為+；,所以G尸〃MP且|Gq=|阿，

所以四邊形GFM尸為平行四邊形，故|PG|=|尸M|.

\PG\-\FM\+\GF\-\PM\=\PGf+\GFf=+|加|,

因?yàn)镻G與GF不垂直，所以|PF國(guó)GM|,所以恒巴9"￡＞歸斗@閘，

即歸斗|儂|＜|pq?|RW|+|GF|?|尸間成立，故D正確;

故選：BCD.

11.如圖，已知正方體ABCO-ABGA的棱長(zhǎng)為2,E,￡G分別為8c的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確

的是（）

B.AC1平面EFG

C.異面直線所與4G所成的角的余弦值為也

3

D.過(guò)點(diǎn)E,F,G作正方體的截面，所得截面的面積是3石

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)三棱錐體積公式計(jì)算，結(jié)合正方體的性質(zhì)，可得答案;

對(duì)于B,根據(jù)線面垂直，證得線線垂直，利用線面垂直判定定理，可得答案;

對(duì)于C,根據(jù)異面直線夾角的定義，利用幾何法，結(jié)合余弦定理，可得答案;

對(duì)于D,利用平行進(jìn)行平面延拓，根據(jù)正六邊形的面積公式，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,取8C中點(diǎn)”，連接GH,CG,CE,CF,如下圖：

QG,H分另IJ為BC,4G的中點(diǎn)，GH1平面ABCD,

13

設(shè)正方形ABCZ）的面積5=4,SCEF=S—SAEF—SCEB-SCDF=4———1—1=—,

=

^C-EFG%-CEF=§'GH-SCEF=1,故A正確；

對(duì)于B,連接AC、AB「AC,如下圖：

瓦廠分別為48,A。的中點(diǎn)，且AC為正方形A8CD的對(duì)角線，

在正方體A8CQ-A耳GA中，平面AfiCD,且E尸u平面ABCD,..明,后產(chǎn),

ACnAAi=A,ACA4,u平面AAC,平面AAC,

4(7<3平面44<7,，后產(chǎn)_14(，同理可得A優(yōu)，AC,

尸,G分別是的中點(diǎn)，"尸//80,AF=BtG,即ABJ/GF,A,C1FG,EFFG=F,

EF,FGu平面EFG,

.?.4（7，平面耳6,故B正確;

對(duì)于C,連接AG,FC、,CE,CF,GE,如下圖:

EG分別為4。出G的中點(diǎn)，尸〃GG,AF=CtG,則AG//FC-

故NC、FE為異面直線EF與AG所成的角或其補(bǔ)角,

EF=y1AE2+AF2=近，EC、=J3+CC；=yjCB1+BE2+QE2=3，

FC、=JCC：+CF?=y/cC^+CD2+DF2=3,

CF+EE-CF9+2-9=血

cosZ^FE=

2C]F?EF2x3x06

異面直線EF與AG所成的角的余弦值為也，故C錯(cuò)誤;

6

對(duì)于D,取的中點(diǎn)H,GR的中點(diǎn)J,。。的中點(diǎn)/,連接E〃，HG,GJ,JI,IF,如下圖:

易知EFIIJG,GH//FI,IJ//EH,且正六邊形EF/JG”為過(guò)點(diǎn)EFG作正方體的截面，則其面積

為S=6xgx（應(yīng)）2xsin60=36,故D正確.

故選：ABD.

12.已知函數(shù)/（x）=Mg“（x+l）|（">l），下列說(shuō)法正確的是（）.

A.函數(shù)〃x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,0)

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)“X)在區(qū)間-g,l上的最小值為0

D.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,2)

【答案】ACD

【分析】代入驗(yàn)證可判斷A,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷B,根據(jù)絕對(duì)值的意義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷C,

由函數(shù)單調(diào)性建立不等式求解可判斷D.

【詳解】(0,0)代入函數(shù)解析式〃x)=|log.(x+l)|(a>l),成立，故A正確；

當(dāng)(0,y)時(shí)，x+le(1,+?>),又。>1,所以〃x)=Mg,(x+l)|=log"(x+l),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知,

xe((),4w)時(shí)，〃x)=Mg.(x+l)|=log.(x+l)單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)xe-1,1時(shí)，x+lelp2],所以/(x)=gg.(x+1)1210g“1=0,故C正確；

當(dāng)xe[l,2]時(shí)，”x)=Mg.(x+l)|=log"(x+l)Nl恒成立，所以由函數(shù)為增函數(shù)知log。2*I即可，解

得1<°42,故D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知〃、b滿足何=4,8在°方向上的數(shù)量投影為-2,則卜-3陷的最小值為.

【答案】10

【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)“、6的夾角為。(。F0，幻)，因?yàn)?在a方向上的數(shù)量投影為-2,

所以W<os6=-2,因此，￡弓㈤，因此cos。e[—1,0),所以村22,

卜-3/?|=y/(a-3b)2=Va-+9b-6a-i>=yJ16+9b-6-p<|?忖-cos0,

因此有=J64+9獷(因?yàn)殁?2,

所以當(dāng)W=2時(shí)，卜-30有最小值，最小值為&4+9X22=10,

故答案為：10

14.已知當(dāng)時(shí)，有占=l_2x+4f-…+(-2x)"+…，若對(duì)任意的都有

乙乙J1十N人\乙乙)

(l[i+2x)f+平+…+M+…，則?產(chǎn)

【答案】228

【分析]由]，—??+(一力"+…得到j(luò)]§(丁)+(丁)

=1-2X+4Y2=1+2+…+(/)+…,則可把

x

化為為[|+丁+x“+…+—+…]X[1-2X+4X2+???+(_21)"+???],由〃9為

(1-X3)(1+2X)

X

(1_q0+2力展開(kāi)式中爐的系數(shù)即可求出爐.

【詳解】當(dāng)時(shí)，有?j~~、=l-2x+4d-???+(-2力”+…,

乙乙)1*1*NX

所以^^++任,+任丫+…+任丫+…，

X

=*[1+*3+》6+...+”

則0_*3)(1+2刈

X

則%為(1-X3)(1+2X)展開(kāi)式中工9的系數(shù)’

因?yàn)閤［l?(—2x)8+*3,(-2x)5+X6-(-2x)［=228x9,所以出=228.

故答案為：228

15.已知實(shí)數(shù)a>0/>0,。+匕=1,則2"+2"的最小值為.

【答案】2夜

【分析】運(yùn)用基本不等式求和的最小值即可.

【詳解】〈a〉。，b>0,a+b=\,

?1-2a+2b>2,2"x2"=2，？^=2A/2，當(dāng)且僅當(dāng)2"=2"即a=%=；時(shí)取等號(hào).

故答案為：2&-

16.已知函數(shù)“X)是定義在［一2,2］上的奇函數(shù)，且〃9=卜二'℃：,則

^x-l,l<x<2

/㈢+出〉/⑼;----------

3

【答案】-/-0.75

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題目中的函數(shù)解析式，可得答案.

【詳解】由函數(shù)/(X)是定義在［—2,2］上的奇函數(shù)，則｛-|)=一/6)=-6-1卜-；

"0)=0,

-%則力2+7出+〃o)=n+o=q.

3

故答案為：

四、解答題

17.為響應(yīng)國(guó)家使用新能源的號(hào)召，促進(jìn)“碳達(dá)峰碳中和”的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)，某汽車生產(chǎn)企業(yè)在積極上市

四款新能源汽車后，對(duì)它們進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研.該企業(yè)研發(fā)部門(mén)從購(gòu)買(mǎi)這四款車的車主中隨機(jī)抽取了50

人，讓車主對(duì)所購(gòu)汽車的性能進(jìn)行評(píng)分，每款車的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五個(gè)等級(jí)，

各評(píng)分及相應(yīng)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.

性能評(píng)分汽車款式12345

基礎(chǔ)版122310

基礎(chǔ)班

基礎(chǔ)版244531

豪華版113541

豪華版

豪華版200353

(1)求所抽車主對(duì)這四款車性能評(píng)分的平均數(shù)和第90百分位數(shù)；

(2)當(dāng)評(píng)分不小于4時(shí)，認(rèn)為該款車性能優(yōu)秀，否則認(rèn)為性能一般.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)

表，并依據(jù)0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為汽車的性能與款式有關(guān)？并解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義.

汽車款式

汽車性能合計(jì)

基礎(chǔ)班豪華版

一般

優(yōu)秀

合計(jì)

(3)為提高這四款新車的性能，現(xiàn)從樣本評(píng)分不大于2的基礎(chǔ)版車主中，隨機(jī)抽取3人征求意見(jiàn)，記

X為其中基礎(chǔ)版1車主的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：/=_______________________

(a+〃)(c+d)(a+c)(/?+4)

a0.100.050.010.005

%2.7063.8416.6357.879

【答案】(1)平均數(shù)為3,第90百分位數(shù)為4.5；

⑵答案見(jiàn)解析

(3)分布列見(jiàn)解析，1

【分析】(1)根據(jù)百分位數(shù)定義求解即可；

(2)根據(jù)聯(lián)表計(jì)算對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)判斷可得汽車的性能與款式的相關(guān)性；

(3)根據(jù)超幾何分布計(jì)算概率和分布列及期望得解.

【詳解】(1)由題意得這四款車性能評(píng)分的平均數(shù)為(Ix7+2x9+3xl6+4xl3+5x5)x\=3；

其第90百分位數(shù)為晝=4.5；

(2)由題意得

汽車款式

汽車性能合計(jì)

基礎(chǔ)版豪華版

一般201232

優(yōu)秀51318

合計(jì)252550

零假設(shè)為“。：汽車性能與款式無(wú)關(guān)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到Z2=如史胎-9沙:50^>=

32x18x25x25=955563841

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為汽車性能與款式有關(guān)，

此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；

汽車性能一般中基礎(chǔ)版和豪華版的頻率分別為［5和《3，性能優(yōu)秀中基礎(chǔ)版和_豪華版的頻率分別為大5

oO1?

和。

根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性能優(yōu)秀時(shí)豪華版的概率大.

(3)由題意可得X服從超幾何分布，且N=12,〃=4,〃=3,

由題意知，X的所有可能取值為0,1,2,3,

則P(X=0)=MT，尸(X=l)=等P(X=2)=等=1|,P(X=3)=言

L*]2DDL/12DDL112DDL*]2DD

18.在中，角A、B、C所對(duì)的邊為。、b>c,tzcosB+bcosA=2ccosB.

⑴求角8的大??；

(2)..45C的面積為4行，一ABC的外接圓半徑長(zhǎng)為拽，求。、b、c.

3

【答案】(l)B=g

(2)a=b=c=4

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得cosB的值，結(jié)合角8的取值范圍可求得角

8的值；

(2)利用正弦定理可求得匕的值，利用三角形的面積公式可得砒的值，結(jié)合余弦定理可求得“、。的

值，即可得解.

【詳解】(1)解：由正弦定理得sinAcos8+sin8cosA=2sinC-cos8,

即sin(A+區(qū))=2sinCcosB,即2sinCcos8=sin(乃一C)=sinC,

?！?0,乃)，則sinC>0,可得cos8=；,BG(0,^),：.B=^.

(2)解：S^ABC=^acsinB=^-ac=4^,可得4c=16,

由正弦定理得一也=5叵，所以，6叵x(chóng)@=4,

sinB332

22

由余弦定理16=/+c2-2acxg,所以，a+c-ac=ac,可得”=c,

2

所以，ac=a=169則。=c=4,因此，a=b=c=4.

19.設(shè)數(shù)列｛叫、也｝的前〃項(xiàng)和分別為%看,且S“=；(3〃2+7〃)，7>2S.-l)(〃eN*).

⑴求數(shù)列｛4｝、｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵令g=a?bn,求｛%｝的前"項(xiàng)和力.

【答案】(1)%=3〃+2,b“=2"

⑵，,=(3〃-1)x2""+2

【分析】(1)根據(jù)5“=；(3〃2+7〃)可得4,利用?！?5“-5“r(〃22)即可求得4=3〃+2；同理利用

當(dāng)〃22時(shí)，2=[,-7；1可求得瓦=2a1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；

(2)由(1)的結(jié)果可得。,,=4片的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法即可求得答案.

【詳解】(1)由S,=；(3〃2+7〃)得q=E=5,

22

當(dāng)“22時(shí)，??=S?-S?_1=1(3/7+7n)-l[3(n-l)+7(n-l)]=3n+2,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=3+2=5也適合，故a,,=3"+2.

由T,,=2(4-1)得a=7；=2屹-1),得仇=2,

當(dāng)心2時(shí)，bn=T?-Tn_l=2(bn-i)-2(bn_l-\),得％=2%,

又伉=2,所以｝=2,所以數(shù)列｛〃,｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以"=2x2"T=2",

綜上所述：4=3"+2,h?=2".

23

(2)c,=。也=(3〃+2)x2",^fy[/n=5x2'+8x2+llx2++(3〃+2)x2",

所以2U“=5x2?+8x2^+11x2，++(3n+2)x2),+|,

所以U“-2U“=5x2+3(22+23++2")-(3〃+2)x2向,

所以-(7.=4+3(2+2?+23++2")-(3〃+2)x2"”

=4+3x2(；-j)_⑶?+2)x2""

=(-6〃+2)x2"-2,

所以U.=（3〃-l）x2""+2.

20.如圖，三棱柱ABC-A4G中，面ABC上面A41cC，A8_LAC,A4,=A8=AC=2,ZA,AC=60.過(guò)

A4的平面交線段BG于點(diǎn)E（不與端點(diǎn)重合），交線段8c于點(diǎn)尸.

⑴求證：四邊形AAEF為平行四邊形；

（2）若B到平面AFCt的距離為應(yīng)，求直線AG與平面AFG所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵立

4

【分析】（1）在三棱柱ABC-A線G中，利用線面平行、面面平行的性質(zhì)推理作答.

（2）在平面MGC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Az^AC,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解

作答.

【詳解】（1）在三棱柱45C-44G中，叫u平面網(wǎng)CC，M0平面網(wǎng)CC，則⑨〃

平面BBGC,

又平面4AEF,平面BBgC=EF,蝴u平面。EF,于是得AAJ/EF,

而平面A3C//平面ABG,平面A41M平面ABC=AE,平面44聲尸門(mén)平面A^G=，則

A.E//AF,

所以四邊形AAEF為平行四邊形.

（2）在平面AAGC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Az_LAC,因平面ABC上平面A4CC,平面ABCc平面

AA^C^C—AC,

于是得Az,平面A8C,又AB1AC,以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所以的空間直角坐標(biāo)系,

因例=A8=AC=2,ZA,AC=60,則5(2,0,0),C(0,2,0),A(0,l,75)，G(0,3,6),

AB=(2,0,0),4G=(0,3,g),CB=(2,-2,0),4C=(0,2,0),

AF=AC+CF=AC+tCB=(0,2,0)+?2,-2,0)=(2r,2-2t,0)(0<f<l),

設(shè)平面好的法向量"SM貝”::露::令…，得〃=（—，?△），

…\n-AB\2(1-r)2(1-r)

點(diǎn)B到平面AFC,的距離d=---6,解得f=g,

—l)2+r+(-A/3Z)2J(r-I)?+4產(chǎn)

因此，n而4G=（0,2,0）,設(shè)直線AG與平面4FG所成角為e,

_V2

于是得sin<9=|cos<n,AG〉|=AGI

I?IIAC|I一4

所以直線AG與平面4FG所成角的正弦值為也.

4

21.已知雙曲線C:「一》igO1〉。）的離心率為2,且雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸冬-與

（1）求雙曲線C的方程；

⑵設(shè)“是直線X上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線C的兩條切線4，4,切點(diǎn)分別為4,B,試判斷

直線A8是否過(guò)定點(diǎn).若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】=1

⑵直線AB過(guò)定點(diǎn)（2,0）；理由見(jiàn)詳解

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率為2,可得6=3/,再將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入即可解得“2=1,從而

得到從=3,進(jìn)而即可雙曲線C的方程；

（2）設(shè)MJ，,A（XQJ,B（W，%），4的方程為y-x=&（xf），再聯(lián)立雙曲線c的方程和4的

方程即可得到關(guān)于X的一元二次方程，再令△=（）,結(jié)合題意可得％=雙（凹片0）,從而得到人的方程,

必

同理可得到4的方程，再將點(diǎn)用代入整理即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為2,所以4=1+探，即廿=3/,所以雙曲線C的方程為

22

匚工=1.

a23〃

見(jiàn)的坐標(biāo)代入雙曲線C的方程，得《-高印,解得〃2=】，

把點(diǎn)Pr

2

所以從=3,雙曲線C的方程為/-二=1

3

（2）設(shè)“,A（X1,y）,3（孫％），,I的方程為yf=1（x-xj,

2'

聯(lián)立《9_q_］，消y整理得（3乂2卜2_2女仃「處）》一［（必一例）2+3卜0.

“一行一

△=4二（％-%）2+4（3-公）[（%-3）2+3]=4[3（y-依）2+9-3公]

令△=（）,得（y—g『+3——=0,即（x；-1）K―2玉、#+3+,：=0.

又=所以華一23）［+3x；=0,進(jìn)一步可化為（y#-3x,）2=0,所以A=產(chǎn)0）,

所以4的方程可化為y-x=也（尸片）,化簡(jiǎn)得中-*=1.

同理可得4的方程為x/-號(hào)=1.

、_"1一

又點(diǎn)M在直線人和，2上，所以;

2■牛?

所以過(guò)點(diǎn)AQ,乂），3（天,必）的直線為Jx-/=1上,

令y=0,得x=2,故直線AB過(guò)定點(diǎn)（2,0）.

22.已知。,人￡R,函數(shù)/（x）=x+asinx+i＞Inx.

⑴當(dāng)。=0為=-1時(shí)，求“X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)a=-g,"0時(shí)，設(shè)〃x）的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,若制x）＞0恒成立，求證:存在修，使得〃毛）＜-1；

+后>2信

(3)設(shè)Ocavl力<0,若存在不々?0,+<?),使得/(%)=/(當(dāng))(玉，證明：在

【答案】⑴/(X)的遞增區(qū)間為(1,+8),遞減區(qū)間(0,1).

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)當(dāng)”=0力=-1時(shí)，求得廣(可=亍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；

(2)當(dāng)”=—亍6x0時(shí)，求得/'(x)=1—jCosx+-，根據(jù)題意1-^COSXH■—>0怛成立，取與=丁,

得至|J/(%)<T，即可求解；

(3)設(shè)王<X2，得至1](工2-X1)+a(sinx2sinX])=一伙皿工2-心玉)，轉(zhuǎn)化為-Z?ln2<(。+1)*2-蒼)，設(shè)