圓錐曲線中的斜率問題-平移齊次化解析版

例題講解圓錐曲線中的斜率問題—平移齊次化例題講解已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于，兩點．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點【詳解】【平移+齊次化處理】步驟1.：平移點P到原點，寫出平移后的橢圓方程，設(shè)出直線方程，并齊次化處理將橢圓向下平移一個單位，（為了將平移到原點）橢圓方程化為，（左加右減，上減下加為曲線平移）設(shè)直線對應(yīng)的直線為，橢圓方程化簡為，為了把一次項化成二次結(jié)構(gòu)，將乘上即可此時橢圓方程變成：步驟2：根據(jù)斜率之積或斜率之和與韋達(dá)定理的關(guān)系得到等式，求得m，n之間的關(guān)系由于平移不會改變直線傾斜角，即斜率和仍然為－1，而點此時為原點，設(shè)平移后的，即,將橢圓方程兩邊同除以，令，得，結(jié)合兩直線斜率之和為，即，得，步驟3：得出定點，此時別忘了，還要平移回去!知識點講解直線恒過點，向上平移一個單位進(jìn)行還原。在原坐標(biāo)系中，直線過點．知識點講解1．齊次化原理：情況1：當(dāng)定點P在坐標(biāo)原點時，若直線與二次曲線相交于，，如圖所示，設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、，則，．現(xiàn)將二次曲線方程齊次化的方法如下：首先將直線化出“”：將直線化為截距式；其次利用“”構(gòu)建關(guān)于、的齊次方程，操作方法是對二次曲線方程二次方項保持不變，一次方項同乘以“”，常數(shù)項同乘以“”的平方，則可把二次曲線方程變?yōu)椋鹤詈笪覀儗υ擙R次式兩邊同時除以可得：，因為，是直線與二次曲線的交點，所以點，點滿足方程，因此，是方程的兩個根，由韋達(dá)定理可得（）．情況2：當(dāng)定點P不在坐標(biāo)原點時，直線與橢圓交于A，B兩點，為橢圓上異于AB的任意一點，若定值或定值(不為0)，則直線AB會過定點．(因為三條直線形似手電筒，就叫手電筒模型)．處理問題的步驟：步驟1：平移點P到原點，寫出平移后的橢圓方程（左加右減，上減下加為曲線平移），設(shè)出直線方程，并齊次化處理，步驟2：根據(jù)斜率之積或斜率之和與韋達(dá)定理的關(guān)系得到等式，求得m，n之間的關(guān)系，步驟3：得出定點，此時別忘了，還要平移回去!2．齊次化適用范圍：由原理可知齊次化適應(yīng)于處理解決曲線上的點與坐標(biāo)系原點連線有關(guān)的斜率運算問題，常見類型如：，，，，，，前面兩個考題相對比較常見，后面的則需要變形才能使用，變形如下：，，．高考真題這個需要根據(jù)韋達(dá)定理判斷符號再變形．在遇到上述關(guān)于斜率運算問題時，采取齊次化處理往往能達(dá)到簡化運算的目的．高考真題1.（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）［方法一］：通性通法：由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.［方法二］：非對稱韋達(dá)定理：由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

所以，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.［方法三］：【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點平移至點處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．由韋達(dá)定理得設(shè)，直線方程過點，所以．則。由于,則．設(shè)直線，聯(lián)立方程得，可得，據(jù)此可得點在定直線上運動.2.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；［方法一］：通性通法：因為點在雙曲線上,所以,解得,所以雙曲線C的方程為,設(shè),易知直線l的斜率存在,設(shè),由得,,所以,,．由得,即,即,所以,化簡得,,即,所以或,當(dāng)時,直線過點,與題意不符,舍去,故．［方法三］：平移坐標(biāo)系雙曲線方程為，設(shè)，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設(shè)直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.類型題講解∴，故直線斜率為?1.類型題講解類型一：定點在坐標(biāo)原點的斜率問題【例1】已知過定點的直線交橢圓于，兩點，為坐標(biāo)原點，若，求該直線方程．［方法一］：齊次化處理：設(shè)，，步驟1：構(gòu)建關(guān)于、的齊次式：將直線變形為代入進(jìn)行“”的代換得，整理得；步驟2：構(gòu)建關(guān)于斜率的方程：因為，方程兩邊同除以，得；步驟3：利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化目標(biāo)：易知和是方程的兩個根，由韋達(dá)定理得，即，故所求直線方程為．［方法二］通性通法：設(shè)，，聯(lián)立，=1\*GB3①代入=2\*GB3②消去得，設(shè)，，則，，所以，解得，故所求直線方程為．變式訓(xùn)練1：已知拋物線的方程為，若直線與拋物線相交于，兩點，且以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，證明直線是否過定點。若過定點，求出定點坐標(biāo)。【證明】因為以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以，即．設(shè)，，則，．將直線變形得，記，，則直線可化為，將“”代入拋物線的方程得，整理得，因為，方程兩邊同除以，得，易知和是方程的兩個根，由韋達(dá)定理得，即，代入求直線方程得，即，當(dāng)時，，故直線恒定過點．類型二：定點不在坐標(biāo)原點的斜率問題（平移坐標(biāo)系）【例2】已知橢圓過點，離心率為．（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II），是橢圓上的兩個動點，（1）如果直線的斜率與的斜率之和為，證明直線恒過定點；（2）如果直線的斜率與的斜率之積為，證明直線恒過定點．（I）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，過程略；（II）［方法一］：平移坐標(biāo)系平移坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)原點和點重合，則，得新坐標(biāo)系中，在新坐標(biāo)系中，橢圓方程為，化簡得=1\*GB3①，直線平移后變?yōu)?，其方程不妨設(shè)為，代入=1\*GB3①構(gòu)建齊次式得，整理得，兩邊同除以得=2\*GB3②，易知和是方程=2\*GB3②的兩個根，由韋達(dá)定理得，化簡得，代入直線得，整理得，直線恒過和直線的交點，則直線恒定過點．(2)，即，直線的方程為，直線恒過和直線的交點，則直線恒定過點．［方法二］：平移直線與平移橢圓設(shè)直線的方程為，即，變形得，將橢圓變形為展開整理得，將直線進(jìn)行“”的代換得，去分母化簡得，等式同除以得，因此是方程的實數(shù)根，設(shè)，，則和是方程的兩個實數(shù)根，=1\*GB3①由韋達(dá)定理得：，即，即，代入直線的方程得，所以直線恒定過定點．=2\*GB3②由韋達(dá)定理得，所以，代入直線的方程為，所以直線恒定過定點．［方法三］：通性通法：設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得，．由題意知，，即，去分母得，整理得，代入韋達(dá)定理得，去分母整理得，即，即，即，故，或．當(dāng)時，直線恒過定點；當(dāng)時，直線的方程為恒過定點與點重合，不符合題意，舍去．綜上：直線恒過定點．變式訓(xùn)練2：若，為拋物線：上兩點，且以為直徑的圓過點，證明：直線過定點．【證明】因為以為直徑的圓過點，所以，即．設(shè)，，則，．令，代入拋物線方程得：，整理得：，不妨設(shè)直線的方程為：，將其代入式得：，化簡得：，因為，方程兩邊同除以，得=1\*GB3①，易知和是方程=1\*GB3①的兩個根，由韋達(dá)定理得，即，代入求直線方程得，所以直線過和的交點，即，利用變換將其平移回原坐標(biāo)系得，故直線恒定過點．變式訓(xùn)練3：已知橢圓C：的右焦點坐標(biāo)為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．［方法一］：通性通法（1）由題意可得：解得：，故橢圓方程為：.（2）設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據(jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在