廣東省廣州市北師大廣實(shí)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

北師大廣實(shí)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)二高一數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．一、單選題（本大題共8小題，共40.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)，，則的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以故選：D2.已知命題p：“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)含有全稱量詞命題的否定進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“，”的否定是“，”．故選：C．3.用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn),要求精確度為時(shí),所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】更多課件教案視頻等優(yōu)質(zhì)滋源請(qǐng)家威杏MXSJ663【分析】根據(jù)題意，由二分法中區(qū)間長度的變化，分析可得經(jīng)過次操作后，區(qū)間的長度為，據(jù)此可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：開區(qū)間的長度等于1,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過此操作后,區(qū)間長度變?yōu)?，用二分法求函?shù)在區(qū)間上近似解,要求精確度為，，解得，故選：C.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)奇偶性排除AC，根據(jù)函數(shù)在上的符號(hào)排除D，可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，故函?shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故AC不正確；當(dāng)時(shí)，，，故，故D不正確.故選：B.5.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性并與特殊值比較即可求解.【詳解】，，，又，所以.故選：B.6.函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得圖象與關(guān)于y軸對(duì)稱，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得出關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)解析式，再向左平移1個(gè)單位即可得解．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的解析式為，把的圖象向左平移1個(gè)單位長度得出，，故選：D．7.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷單調(diào)性.【詳解】令，在上遞減，在上遞增，而在定義域上遞增，故在上遞減.故選：B8.定義一種運(yùn)算，設(shè)（為常數(shù)，且，則使函數(shù)的最大值為4的的值可以是（）A.或4 B.6 C.4或6 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)定義，先計(jì)算在上的最大值，然后利用條件函數(shù)最大值為，確定的取值即可．【詳解】在上的最大值為，所以由，解得或，所以時(shí)，，所以要使函數(shù)最大值為4，則根據(jù)定義可知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)解得，符合題意；故或.故選：A二、多選題（本大題共4小題，共20.0分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，的最小值是C.當(dāng)時(shí)的最小值為D.當(dāng)時(shí)，的最小值是5【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最大值是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)的最小值為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：.10.設(shè)且，函數(shù)，下列說法正確的是（）A.與在各自的定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性B.與兩者的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.與兩者都既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)D.與有相同的定義域和值域【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的關(guān)系及指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由指對(duì)數(shù)關(guān)系知：互為反函數(shù)，即關(guān)于直線對(duì)稱，B對(duì)；由于相同，則在各自定義域上單調(diào)性相同，且都是非奇非偶函數(shù)，A、C對(duì)；由定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽，所以與的定義域和值域都不同，D錯(cuò).故選：ABC11.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的值可能為（）A. B.1 C.2 D.【答案】BC【解析】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和有3個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，如圖，畫出函數(shù)的圖象，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，即有個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)和有個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可知.故選：BC.12.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D.不等式的解集是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于，令，可得，正確；對(duì)于，令，可得，正確；對(duì)于，利用函數(shù)單調(diào)性定義可判斷出在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；對(duì)于,利用題中條件變形不等式，利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，解出即可判斷.【詳解】對(duì)于，令，得，即，正確；對(duì)于，令，得，因?yàn)?，所以，正確；對(duì)于，對(duì)任意，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；對(duì)于，又，所以原不等式等價(jià)于，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得正確.故選：三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知在半徑為4的圓上，有一條弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為3，則這條弧的弧長為___.【答案】12【解析】分析】由弧長公式直接求解即可．【詳解】由題可得這條弧的弧長為．故答案為：1214.函數(shù)的定義域?yàn)開______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到定義域滿足，解得答案.【詳解】定義域滿足：，解得.故答案為：15.求函數(shù)的值域______．【答案】##【解析】【分析】先對(duì)根式整體換元(注意求新變量的取值范圍)，把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域的問題即可.【詳解】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．故答案為：.16.已知函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)和，當(dāng)，時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】原問題可轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)與區(qū)間分類討論，求出對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)，,建立不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，時(shí)，都有成立，所以，當(dāng)，則，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，最大值必為與中較大者，當(dāng)時(shí)，最大值為因?yàn)椋?，而?dāng)時(shí)，，所以所以只需，解得，而，故當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，所以只需，解得，由，故當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，所以只需，解得，又，故無解.綜上，故答案：四、解答題（本大題共6小題，17題10分，其余題目12分，共70.0分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）1（2）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算律和對(duì)數(shù)式運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，得到結(jié)果.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將已知條件兩邊同時(shí)平方結(jié)合即可求解（1）先求出值結(jié)合角的范圍即可得的值，結(jié)合（1）中的值即可求解.【小問1詳解】將，兩邊平方得，即，則.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，所以.19.設(shè).（1）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】分析】化簡集合A，B，（1）由p是q的充分不必要條件可得，據(jù)此建立不等關(guān)系求解；（2）由p是q的必要不充分條件可得，建立不等式組求解.【詳解】，得;解，得;令，.（1）由p是q的充分不必要條件可得，有，解得，所以a的取值范圍是.（2）由p是q的必要不充分條件可得，因?yàn)?，所以，則有，解得，所以a的取值范圍是.20.某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來年利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2008200920102011…投資成本x35917…年利潤y1234…給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1).（1）選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系；（2）試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.【答案】（1）可用③來描述x，y之間的關(guān)系；（2）該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.【解析】【分析】（1）把(3，1)，(5，2)分別代入三個(gè)函數(shù)中，求出函數(shù)解析式，然后再把x＝9代入所求的解析式中，若y＝3，則選擇此模型；（2）由（1）可知函數(shù)模型為y＝log2(x－1)，令log2(x－1)>6，則x>65，再由與10%比較，可作出判斷【詳解】（1）將(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得解得，所以y＝x－.當(dāng)x＝9時(shí)，y＝4，不符合題意；將(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，得解得所以.當(dāng)x＝9時(shí)，，不符合題意；將(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，得解得所以y＝log2(x－1).當(dāng)x＝9時(shí)，y＝log28＝3；當(dāng)x＝17時(shí)，y＝log216＝4.故可用③來描述x，y之間的關(guān)系.（2）令log2(x－1)>6，則x>65.因?yàn)槟昀麧櫍?0%，所以該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查分析問題的能力，屬于中檔題21.己知．（1）判斷的奇偶性并說明理由；（2）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）若不等式對(duì)任意和都恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性定義即可求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義即可判斷；（3）根據(jù)題意求出，從而可得，設(shè)，只需即可求解.【小問1詳解】函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，理由如下，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是定義域上的奇函數(shù).【小問2詳解】證明：設(shè)為區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且，則，因?yàn)?，所以，，即；所以函?shù)在上是增函數(shù).【小問3詳解】由（1）（2）可知時(shí)，．所以，即，對(duì)都恒成立，令，，則只需，即，解得，故的取值范圍．22已知函數(shù)，，.（1）若，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，記為函數(shù)在上的最大值，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用在上的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域；（2）轉(zhuǎn)化為在上，，分類討論求的最大值，然后可得參數(shù)范圍；（3）根據(jù)絕對(duì)值的意義求得的表達(dá)式，然后由的單調(diào)笥得最小值．【小問1詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象