站在函數(shù)發(fā)展史和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的高度整體把握函數(shù)概念教學(xué)

站在函數(shù)發(fā)展史和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的高度整體把握函數(shù)概念教學(xué)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個非常重要的內(nèi)容之一，從上個世紀(jì)初的數(shù)學(xué)教育改革運動（克萊茵──貝利運動）提出“以函數(shù)為綱”的口號以來，函數(shù)內(nèi)容一直都是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它貫穿整個初高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，乃至一生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。在自然科學(xué)及社會科學(xué)中，函數(shù)都具有廣泛的應(yīng)用，函數(shù)本身是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是溝通代數(shù)、幾何、三角等內(nèi)容的橋梁，亦是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和方法。函數(shù)部分內(nèi)容蘊涵幾乎所有重要的數(shù)學(xué)思想方法，如函數(shù)的思想，方程的思想，分類討論的思想

，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，換元法，侍定系數(shù)法、配方法等。這些思想方法是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，是我們教學(xué)過程中應(yīng)注意重點講解、學(xué)生重點掌握的部分。然而函數(shù)這部份知識在教學(xué)中又是師生一致公認(rèn)的一大難點，造成這種現(xiàn)象的原因，是多種因素共同作用的結(jié)果。除函數(shù)概念本身的抽象性外，還有很大一部分原因在于函數(shù)的學(xué)習(xí)貫穿于從小學(xué)到大學(xué)的全部過程，而作為授課的教師，往往都是基于自己所教學(xué)段的教材安排進(jìn)行教學(xué)，而數(shù)學(xué)教材的安排往往都是按照純粹的邏輯體系進(jìn)行學(xué)習(xí)，過分形式化的體系是與學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律相矛盾的。在教學(xué)的過程中受考試和學(xué)段教材安排的影響，絕大部分教師都很少能夠做到在基本了解整個函數(shù)的概念發(fā)展歷程和整個函數(shù)知識體系下，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計。這就造成了教師很難做到在知識體系了解得很清楚的情況下，能夠深入淺出的進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，不僅過去回顧的不夠，現(xiàn)實把握的不清楚，對未來的發(fā)展又很難做出鋪墊。因為，函數(shù)學(xué)習(xí)跨越的時間比較長、學(xué)段較多，能夠相互聯(lián)系的知識又比較多，如果教師不能對知識之間的相互聯(lián)系有較清醒的認(rèn)識，只是孤立的講解知識，就會造成教師傳遞給學(xué)生的知識大多情況下是支離破碎的，不成體系的，因此使得學(xué)生對函數(shù)的學(xué)習(xí)越來越難。這是造成函數(shù)學(xué)習(xí)效果不良的重要原因。此外，由于教師對整個函數(shù)的產(chǎn)生背景，及發(fā)展歷程了解的不清楚，對學(xué)生存在的疑惑，不能給出合理的解答，因此，就談不上按照學(xué)生發(fā)展的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，大部分老師都只是照本宣科。這樣就造成了函數(shù)越學(xué)越難的情況?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材，其主要內(nèi)容表現(xiàn)的都是數(shù)學(xué)知識的技術(shù)形式。函數(shù)的概念亦是如此，不管是傳統(tǒng)定義也好，還是近代定義也好，表現(xiàn)出來的都是抽象數(shù)學(xué)形式，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但是不能只限于形式表達(dá)，要強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里。因此，作為數(shù)學(xué)教師要想把函數(shù)這一內(nèi)容講好，就要站在知識系統(tǒng)的高度，充分了解函數(shù)概念的產(chǎn)生及發(fā)展歷程，要研究每個發(fā)展階段知識發(fā)展的特點，根據(jù)學(xué)生發(fā)展的認(rèn)知歸律，分析學(xué)生可能產(chǎn)生的疑惑原因，然后再有目的有意識的盡可能的解決，才能克服函數(shù)學(xué)習(xí)的困難，指導(dǎo)學(xué)生把函數(shù)這部分知識學(xué)好。一、作為數(shù)學(xué)教師要了解函數(shù)概念的產(chǎn)生及發(fā)展歷程（一）函數(shù)概念產(chǎn)生的歷史背景

十六、十七世紀(jì)，歐洲資本主義國家先后興起，為了爭奪霸權(quán)，迫切需要發(fā)展航海和軍火工業(yè)。為了發(fā)展航海事業(yè)，就需要確定船只在大海中的位置，在地球上的經(jīng)緯度；要打仗，也需知道如何使炮彈打的準(zhǔn)確無誤等問題，

這就促使了人們對各種“運動”的研究，對各種運動中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，這就為函數(shù)概念的產(chǎn)生提供了客觀實際需要的基礎(chǔ)。研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達(dá)到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學(xué)家們力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學(xué)概念，這就是函數(shù)概念產(chǎn)生的歷史背景。由函數(shù)概念產(chǎn)生的歷史背景來看，說明函數(shù)概念的產(chǎn)生還是來源于生產(chǎn)生活實際的需要，所以在進(jìn)行函數(shù)概念的初始教教學(xué)時，一定要找到恰當(dāng)?shù)囊肭榫?，通過學(xué)生身邊能經(jīng)歷到的和能夠深刻理解的生活經(jīng)歷入手，讓學(xué)生能夠體會到數(shù)學(xué)的發(fā)展來源于人們的生產(chǎn)生活，是服務(wù)于人的需要而產(chǎn)生的，是自然而然產(chǎn)生的。（二）函數(shù)概念的發(fā)展歷程牛頓于

1665年開始研究微積分之后，一直用“流量”（

fluent）一詞來表示變量間的關(guān)系。1673年，萊布尼茲在一篇手稿里第一次用“函數(shù)”（

fluent）這一名詞，他用函數(shù)表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。在

1718年，瑞士科學(xué)家，萊布尼茲的學(xué)生約翰·貝奴里（Bernoulli,Johann）給出了函數(shù)的明確定義：變量的函數(shù)是由這些變量與常量所組成的一個解析表達(dá)式。十八世紀(jì)中葉，著名的數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾

（D’Alembert）和歐拉（

Euler）在研究弦振動時，感到有必要給出函數(shù)的一般定義。達(dá)朗貝爾認(rèn)為函數(shù)是指任意的解析式，在

1748年歐拉的定義是：函數(shù)是隨意畫出的一條曲線。在此之前的

1734年，歐拉也給出了一種函數(shù)的符號f(x),這個符號我們一直沿用至今。1775年，歐拉在《微分學(xué)原理》一書的前言中給出了更廣泛的定義：如果某些變量，以這樣一種方式依賴與另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之而變化，則將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)。十九世紀(jì)初，拉克若斯（

Lacroix）正式提出只要有一個變量依賴另一個變量，前者就是后者的函數(shù)。

1834年

,俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基（Лобачевский）進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：

x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個

x都有確定的值，并且隨著

x一起變化，函數(shù)值可以由解析式給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法，函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的。十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家柯西（

Cauchy）更明確的給出定義：有兩個互相聯(lián)系的變量，一個變量的數(shù)值可以在某一范圍內(nèi)任意變化，這樣的變量叫做自變量，另一個變量的數(shù)值隨著自變量的數(shù)值而變化，這個變量稱為因變量，并且稱因變量為自變量的函數(shù)。1829年

,狄利克雷（

Dirichlet）給出了所謂狄利克雷函數(shù)：

y=1

當(dāng)

x為有理數(shù)時；

y=0

當(dāng)

x為無理數(shù)時。這個函數(shù)并不復(fù)雜，但不能用解析式來表示，這一思想的提出，正是數(shù)學(xué)由過去的研究“算”到以后研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”的轉(zhuǎn)變的開端。

1837年他對函數(shù)下的定義是：在某個變化過程中，有兩個變量

x和

y。如果對于

x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)關(guān)系，

y都有唯一確定值和它對應(yīng)，則

y稱為

x的函數(shù)；

x稱為自變量。以“集合”為基礎(chǔ)的函數(shù)概念函數(shù)的概念是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，不斷的改進(jìn)，不斷的抽象，不斷的完善。十九世紀(jì)七十年代，德國數(shù)學(xué)家康托（

G.Cantor）提出了集合論。進(jìn)入二十世紀(jì)后，伴隨著集合論的發(fā)展，函數(shù)的概念也取得了新的進(jìn)展，它終于擺脫了數(shù)域的束縛向更廣闊的研究領(lǐng)域擴大，使概念獲得了現(xiàn)代化。二十世紀(jì)初美國數(shù)學(xué)家維布倫（

Weblan）給出了函數(shù)的如下定義：若在變量

y的集合與另一變量

x的集合之間，有這樣的關(guān)系成立，即對

x的每一個值，有完全確定的

y值與之對應(yīng)，則稱

y是變量

x的函數(shù)。從這個定義開始，函數(shù)概念已把基礎(chǔ)建立在集合上面。由函數(shù)概念的發(fā)展歷程來看，函數(shù)概念是一個隨著時代的發(fā)展逐漸演變和逐漸完善的過程，每一次演變都是有時代背景和數(shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)實意義的，因此在教學(xué)上要在了解函數(shù)概念的演變過程的基礎(chǔ)上來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，既要讓學(xué)生明白函數(shù)概念產(chǎn)生的現(xiàn)實意義，還要讓學(xué)生理解函數(shù)概念的發(fā)展原因，以及為什么需要完善的道理。作為教師還要明白對于絕大部分學(xué)生來說，學(xué)習(xí)函數(shù)還是要基于將來可能的現(xiàn)實發(fā)展需要，和對數(shù)學(xué)發(fā)展的預(yù)期了解。因此，在概念教學(xué)上問題設(shè)計得要有層次，滿足不同的發(fā)展需要，為不同的人群提供對他們發(fā)展來說最有價值的數(shù)學(xué)。所以，沒有必要每一位同學(xué)都達(dá)到同樣的最高理解和最高要求。二、結(jié)合函數(shù)發(fā)展史要在順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)引入設(shè)計由函數(shù)知識的產(chǎn)生背景我們知道，函數(shù)的概念還是基于生產(chǎn)生活實際的需要而產(chǎn)生的知識，因此，在教學(xué)設(shè)計上要讓學(xué)生能夠感覺到，這個知識或者概念的產(chǎn)生是順理成章，自然而然產(chǎn)生的。而現(xiàn)在初中教材中對知識的講解，是先比較突然沒有來由的就直接給出了常量和變量的概念，然后又在還沒有和學(xué)生的生活實際相銜接的基礎(chǔ)上給出了函數(shù)的概念。并且，對概念中絕大部分學(xué)生可能會產(chǎn)生疑惑的地方，沒有給出合理的解釋。因為所學(xué)概念定義的合理性和實踐要求的必要性學(xué)生搞不清楚，或者教師沒有進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)，就會致使學(xué)生很快的就陷入了純抽象的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中，即使，學(xué)生能夠根據(jù)概念正確的做題，也會造成大部分學(xué)生始終都疑惑。為什么要學(xué)習(xí)這個知識，這個知識有什么用處，為什么這樣定義，等疑惑，這就為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)知識，埋下了重大隱患。因為對函數(shù)知識的價值不清楚，或雖聽老師說將來有用，但由于學(xué)生沒有切實的感受，對學(xué)生學(xué)習(xí)的動力，興趣都會造成比較嚴(yán)重的影響，這些都會成為后面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的障礙或隱患。因此，在函數(shù)概念的引入上，應(yīng)先交代現(xiàn)實背景，根據(jù)函數(shù)概念中出現(xiàn)的實際需要再引入常量或變量的概念，這樣就會讓學(xué)生感覺到，所有知識的產(chǎn)生都是油然而生的。比如:在初中函數(shù)概念的引入時，可以從函數(shù)概念產(chǎn)生的歷史背景進(jìn)行引入，十六、十七世紀(jì)，歐洲資本主義國家先后興起，為了爭奪霸權(quán)，迫切需要發(fā)展航海和軍火工業(yè)。為了發(fā)展航海事業(yè)，就需要確定船只在大海中的位置，在地球上的經(jīng)緯度；要打仗，也需知道如何使炮彈打的準(zhǔn)確無誤等問題。這就，必然促使人們想知道，在某一時刻船在海上的位置，因為，每給出一個時刻就對應(yīng)一個船在海上的位置，如果用算術(shù)的方法，需要列出無數(shù)個式子，這樣表示太不簡潔。因此，就必然引領(lǐng)人們用字母表示數(shù)來進(jìn)行表達(dá)，這樣，在船速固定的情況下，船航行的時間和距離就可以用字母來表示，要想求每個時刻船的位置，只要代入船航行的具體時間，就可以算出船航行的位置。因為，給出一個時間的值，就可以算出一個船的位置。時間和船航行的距離是可以變化的。這時再引入常量和變量的概念就顯得順理成章了。因為，我們要經(jīng)常解決，由一個變量的值的確定來確定另一個變量的值的情況，我們就定義了一種新的數(shù)學(xué)定義。就是初中教材中函數(shù)的定義：在某個變化過程中，有兩個變量

x和

y。如果對于變量

x的每一個確定的值，變量

y都有唯一確定值和它對應(yīng)x稱為自變量，y稱為因變量，則

y稱為

x的函數(shù)。當(dāng)學(xué)生第一次接觸到因變量和自變量這個詞時，不少同學(xué)會因為，對這兩個名字的意義不理解，而產(chǎn)生困難，因此，教師要用深入淺出的例子給學(xué)生講明白，為什么叫自變量，為什么叫因變量。在教學(xué)實踐中，教師常常對變量概念的理解困難估計不足，造成后續(xù)學(xué)習(xí)的困難，有的老師甚至從來就沒有考慮過這個問題，實際做法是教師僅僅給出變量（因變量、自變量等）這個詞匯，僅此而已，至于學(xué)生腦子中的變量概念會是怎樣的，通過定義能否使變量概念得到發(fā)展，這些很少顧及。大家不妨以“你認(rèn)為什么叫變量”為題，問問學(xué)生。實際上，變量概念的學(xué)習(xí)并不象我們在黑板上寫定義這么簡單?！皩W(xué)生考慮作概念的例子的一組數(shù)學(xué)對象未必和由定義確定的一組數(shù)學(xué)對象一樣”，更加嚴(yán)重的問題是，對“變量”這樣抽象的概念如果得不到恰當(dāng)?shù)木唧w例子的支持，學(xué)生將無法真正理解它。對于這一點，已經(jīng)理解了變量概念的老師似乎很少注意它。

教師常常被“自動化”阻塞了頓悟的通道，“掌握一種活動如此完善以至如何和為什么的問題（學(xué)生尚不理解它們）不再問，不再把它理解為有意義和有關(guān)系的問題了”。三、站在數(shù)學(xué)發(fā)展史的高度看待函數(shù)概念和坐標(biāo)系結(jié)合對將來研究解析幾何和數(shù)形結(jié)合思想形成的的關(guān)鍵性和重要性在數(shù)學(xué)知識發(fā)展過程中，代數(shù)與幾何的結(jié)合，或者說代數(shù)與幾何相互轉(zhuǎn)化的研究方法，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一次重大飛躍。因此，數(shù)形結(jié)合的思想的建立，對一個人的數(shù)學(xué)發(fā)展來說尤為重要。笛卡爾建立了平面直角坐標(biāo)系，是數(shù)學(xué)史上的一個重大事件，是一個里程碑式的創(chuàng)造。許多數(shù)學(xué)家普遍認(rèn)為笛卡兒的直角坐標(biāo)系不同于一個一般的定理，更不同于一般的數(shù)學(xué)理論，它是一種數(shù)學(xué)思想方法和技藝,它使整個數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)生了巨大的、嶄新的變化，它使笛卡兒成為了當(dāng)之無愧的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一。有了直角坐標(biāo)系以后，人們才得以用代數(shù)的方法研究幾何問題，才建立并完善了解析幾何學(xué)，以及后來的微積分。有了平面直角坐標(biāo)系，就可以非常方便地確定平面上點的位置．反過來，選擇恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，平面上的點就可以用有序數(shù)對（a，b）來表示。而借助函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，是研究各種函數(shù)的最重要的方法。笛卡兒引用“變量”這個概念并建立平面上的坐標(biāo)系。他是在解決作圖問題時，把坐標(biāo)平面上的“點”與作為坐標(biāo)的有序“數(shù)對”對應(yīng)起來，再把平面上的“曲線”與含有兩個未知量的“方程”對應(yīng)起來。最重要的是點與坐標(biāo)的對應(yīng)，流動的坐標(biāo)就是變量，方程既表示已知量與未知量之間的關(guān)系，又確定了變量之間的關(guān)系。所有這些都依賴于建立平面上的坐標(biāo)系。因此，平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)的結(jié)合的初始教學(xué)，要非常重視，不但要從意義上重視，還要從每一個細(xì)節(jié)上，讓學(xué)生都有所理解。在直角坐標(biāo)系產(chǎn)生之前，數(shù)與形一直是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)相對比較孤立甚至是對立的兩個方面，一直沒能做到很好的相融。而直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生使數(shù)與形達(dá)到了完美的結(jié)合和相互轉(zhuǎn)化。因此數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)知識體系中的一個重要思想，可廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的解題環(huán)節(jié)，以便于在數(shù)量關(guān)系與圖形的轉(zhuǎn)化中深入發(fā)掘數(shù)學(xué)的直觀性與細(xì)微性，從而提高學(xué)生分析問題的敏銳性與解題效率。教師教學(xué)中應(yīng)充分認(rèn)識到函數(shù)概念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用．時刻注意函數(shù)概念的滲透。其實從數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系開始，就蘊含了函數(shù)的概念。而在學(xué)習(xí)函數(shù)概念后，這種表現(xiàn)的明朗化將函數(shù)與方程的解、不等式的解緊密聯(lián)系在一起?？梢哉f七年級學(xué)習(xí)的實數(shù)絕對值的意義、八年級學(xué)習(xí)一元一次不等式解集的幾何表示對于研究函數(shù)的圖象及其性質(zhì)起著重要的奠基作用。函數(shù)關(guān)系可用“形”這一特殊方法來表現(xiàn)，一次函數(shù)的圖象是一條直線，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，其變化的趨勢有升也有降，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它可以無限接近x軸，也可以無限接近y軸。通過形的直觀性，很容易掌握不同函數(shù)的特殊性質(zhì)。數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！靶巍钡囊氩粌H給研究函數(shù)問題帶來了直觀上的感受，更重要的是深化了學(xué)生最直接的理性認(rèn)識。因為坐標(biāo)系對函數(shù)學(xué)習(xí)的重要性，因此在函數(shù)圖像的教學(xué)上要舍得花功夫，要緊緊圍繞對函數(shù)概念的深刻理解來進(jìn)行圖像教學(xué)，千萬不能脫離對函數(shù)概念的深刻理解而孤立的看待函數(shù)圖像和相關(guān)性質(zhì)。在畫函數(shù)圖像和觀察圖像的過程中引導(dǎo)學(xué)生深刻理解各種對應(yīng)關(guān)系。如果，在畫函數(shù)圖像的過程中沒能使學(xué)生很好的建立起圖像的形和式子中的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，就會出現(xiàn)雖然大多數(shù)學(xué)生能夠作簡單的圖象，但是他們常常把函數(shù)圖象看成為函數(shù)之外的東西，沒有把它當(dāng)成函數(shù)的一個有機組成部分來對待的現(xiàn)象。這樣他們就不能很好地觀察和理解圖像信息，使得圖像的價值難以產(chǎn)生，也不能很好的建立起數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)量關(guān)系與空間圖形往往有機結(jié)合在一起，相互映襯相互解釋，這便是“數(shù)形結(jié)合”的思想。在初中函數(shù)中，函數(shù)變量關(guān)系與繪制圖像同樣密切聯(lián)系起來，變量關(guān)系中彰顯出隱含的圖像信息，圖像之中也能反映出函數(shù)的變量關(guān)系。在解答函數(shù)題目時，往往需要結(jié)合繪制圖像，在較為直觀的圖形中把握函數(shù)關(guān)系，為分析、解答提供了一個方便的視角。初中數(shù)學(xué)教師在教授函數(shù)知識時，若能充分利用“數(shù)形結(jié)合”觀念，將會更好地引導(dǎo)學(xué)生們探索、歸納函數(shù)基本要義，開拓解題思路。在初中函數(shù)的教學(xué)實踐中，教師利用圖像、坐標(biāo)來闡明變量關(guān)系，將“數(shù)”與“形”兩者靈活轉(zhuǎn)化，使學(xué)生理解函數(shù)變量與圖像的對應(yīng)聯(lián)系，從而更好地理解初中函數(shù)知識。利用圖形的直觀性來討論函數(shù)的值域(或最值)，求解變量的取值范圍，運用數(shù)形結(jié)合思想考查化歸轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力，是函數(shù)教學(xué)中的一項重要內(nèi)容，利用數(shù)形結(jié)合，巧妙的把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，往往能夠化腐朽為神奇。中學(xué)的函數(shù)概念發(fā)展需要形象化的支持，發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力是發(fā)展函數(shù)概念、獲得對函數(shù)概念的深刻理解的重要途徑，作為代數(shù)的函數(shù)概念與作為幾何的函數(shù)圖像的緊密結(jié)合也是發(fā)展關(guān)于函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主要途徑。通過強調(diào)函數(shù)的形象表示可以減少函數(shù)概念的學(xué)習(xí)困難。另外，直觀和形象化技能也是可以訓(xùn)練的。四、全方位整體認(rèn)識高中函數(shù)概念的困難所在，從多角度突破概念理解的難點。對于，初中函數(shù)概念的教學(xué)來說，雖然也屬于學(xué)生理解相對困難的內(nèi)容，但這些年來，通過教材的調(diào)整，教師教學(xué)方法的改進(jìn)等多種形式，已經(jīng)使學(xué)生理解的難度大大降低。但對高中函數(shù)概念教學(xué)來說，仍然是相當(dāng)一部分學(xué)生難以克服的困難。作為教師要站在數(shù)學(xué)知識發(fā)展歷程的角度，用心去理解學(xué)生產(chǎn)生理解困難的原因，努力找到學(xué)生能夠理解的語言和方式進(jìn)行教學(xué)。通過回顧自己上高中時的感覺，以及在初中的函數(shù)教學(xué)經(jīng)歷，再在結(jié)合數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史，使我們認(rèn)識到，高中函數(shù)概念學(xué)生難以理解主要有以下幾方面的原因：（一）要讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)集合和用集合定義函數(shù)的現(xiàn)實意義，增強學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力數(shù)學(xué)課上高中的第一學(xué)習(xí)內(nèi)容就是集合，雖然在初中學(xué)數(shù)的分類、不等式的解集時，也接觸到了一些集合的知識，但高中所講的集合知識對學(xué)生來說幾乎是完全陌生的，學(xué)生會產(chǎn)生為什么要學(xué)習(xí)集合知識，他到底有什么用處的疑問，這個疑惑不給學(xué)生打消就會嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識的動力。因此，教師要縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，通過舉例深入淺出的讓學(xué)生明白集合學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義，對后面的學(xué)習(xí)會有相當(dāng)大的幫助。對于為什么要學(xué)習(xí)集合，學(xué)習(xí)集合的意義到底在哪里，查了不少資料，但很少能夠找到，讓學(xué)生通俗易懂，資料豐富可以深入淺出的理解的相關(guān)知識?？戳撕芏嗬蠋煹慕虒W(xué)設(shè)計，基本上也都是按照教材的安排，直接講集合的概念和相關(guān)的知識，基本看不到對集合的用處和意義的設(shè)計。這就為學(xué)生學(xué)學(xué)習(xí)集合帶來了潛在的心理困難。在許多數(shù)學(xué)教材上都會見到這樣一種說法：集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，集合概念是數(shù)學(xué)的基本概念。那么為什么會有這種說法呢？這種說法的依據(jù)是什么呢？現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也就是代數(shù)、幾何和解析幾何，以及其他所有數(shù)學(xué)分支，都建立在集合的基礎(chǔ)上。可能有點夸張地說，就像喜歡計算機的人，想到在“OS原始概念（集合）”的基礎(chǔ)上會產(chǎn)生各種可能（微積分、概率）的變化那樣。我們普通人，大概沒有想到過把集合與數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)聯(lián)系起來。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候，學(xué)到二次函數(shù)、三角函數(shù)或者復(fù)數(shù)等，對于這些基礎(chǔ)方面并沒有接觸，就突然進(jìn)入數(shù)學(xué)的正題，有點不知所措。初中、高中學(xué)到的數(shù)學(xué)，有代數(shù)、幾何、微分、積分等，“名稱各異，感覺像不同的數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)是一個個內(nèi)容分散的部分”。之所以有這種印象，原因之一就在于不知道數(shù)學(xué)的各個部類有“集合”這個共同的基礎(chǔ)。

就拿“實數(shù)”的集合來說吧。這個集合中的數(shù)，如果以加減乘除的運算為中心來看，這些數(shù)就是代數(shù)研究的對象。如果數(shù)是數(shù)軸上的點來看，將實數(shù)用于定義數(shù)軸上點與點之間的距離（如，表示為兩個實數(shù)之差的絕對值），那么，這個實數(shù)集合上相關(guān)的數(shù)都是連續(xù)的，能夠進(jìn)行微分、也可以成為解析幾何的研究對象。此外，考慮到由實數(shù)構(gòu)成的直線或曲線、或在別的空間中的其他什么形態(tài)，則實數(shù)全體構(gòu)成的集合又成為幾何學(xué)研究對象。這樣，集合就成為數(shù)學(xué)全體看不見的支柱?？梢?，全部自然數(shù)、全部整數(shù)、全部有理數(shù)和全部復(fù)數(shù)等全都成了集合。（二）改變教學(xué)方法舍身處地的站在學(xué)生的視角考慮問題新課程改革已經(jīng)進(jìn)行了有些年，初中教師經(jīng)過不斷的培訓(xùn)和教學(xué)實踐，再加上考試的引導(dǎo)，已經(jīng)逐漸的轉(zhuǎn)變了觀念，大部分老師都能自覺不自覺的經(jīng)常站在學(xué)生的視角考慮問題。教學(xué)趕進(jìn)度，節(jié)約出時間進(jìn)行中考總復(fù)習(xí)的情況在初中已經(jīng)很少見。而高中課改進(jìn)行的相對較晚，高考改革近一兩年才力度加大，致使很多高中教師，還沒有從思想觀念上轉(zhuǎn)變過來，大部分教師的思路，還是趕進(jìn)度，留出大量時間進(jìn)行高考復(fù)習(xí)。并且，大部分老師還是把很大的精力放在基礎(chǔ)好的學(xué)生身上，經(jīng)常用考上清華、北大的人數(shù)、一類本的人數(shù)等作為評價教學(xué)效果的重要指標(biāo)，而基礎(chǔ)弱的學(xué)生的成績較少有人關(guān)注。所以，在教學(xué)中對一般學(xué)生學(xué)習(xí)困難的原因研究的明顯不夠。而高中教師還經(jīng)常責(zé)備初中教師把學(xué)生教的太死，認(rèn)為在授課時強調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，注重舉一反三，在嚴(yán)格的論證和推理上下功夫，這才是高中教師的特點。實際上，我們還沒有跳出以教師為中心的圈子，沒有根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和條件進(jìn)行因材施教，這才是高中數(shù)學(xué)知識感到難的最關(guān)鍵因素。以集合概念為例：剛上高中數(shù)學(xué)一開始給出的第一個集合概念，就體現(xiàn)出概念抽象，符號繁多，邏輯性強，表述形式多樣，習(xí)題類型多，運算形式化減少的特點。在初中學(xué)習(xí)時，每見到一個概念，學(xué)生大腦基本都能直接反映出概念所包含的本質(zhì)內(nèi)容，也就是在概念和內(nèi)容的轉(zhuǎn)化上學(xué)生總體來說轉(zhuǎn)化的非常順利。而在集合的概念中，符號運用的比較多，一些常見數(shù)集的字母表示，初中階段學(xué)生運用的很少。集合的運算符號新穎，集合內(nèi)容表達(dá)方式又多種多樣。一下子給出很多新概念、新符號，