立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)完整版

師大教育,助你成功立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)完整版【2013考綱解讀】1、平面的概念及平面的表示法，理解三個(gè)公理及三個(gè)推論的內(nèi)容及作用，初步掌握性質(zhì)與推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用。2、空間兩條直線的三種位置關(guān)系，并會(huì)判定。3、平行公理、等角定理及其推論，了解它們的作用，會(huì)用它們來(lái)證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，掌握證明空間兩直線平行及角相等的方法。4、異面直線所成角的定義，異面直線垂直的概念，會(huì)用圖形來(lái)表示兩條異面直線，掌握異面直線所成角的范圍，會(huì)求異面直線的所成角。5.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘;了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算;掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積公式.6.了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、球的概念.掌握棱柱,棱錐的性質(zhì),并會(huì)靈活應(yīng)用,掌握球的表面積、體積公式;能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖.7.空間平行與垂直關(guān)系的論證.8.掌握直線與平面所成角、二面角的計(jì)算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關(guān)問(wèn)題,進(jìn)一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關(guān)問(wèn)題.9.理解點(diǎn)到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念會(huì)用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法）.對(duì)異面直線的距離只要求學(xué)生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計(jì)算距離?！局R(shí)絡(luò)構(gòu)建】【重點(diǎn)知識(shí)整合】1．空間幾何體的三視圖(1)正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；(2)側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；(3)俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖．幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱(chēng)為幾何體的三視圖．2．斜二測(cè)畫(huà)水平放置的平面圖形的基本步驟(1)建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標(biāo)系；(2)畫(huà)出斜坐標(biāo)系，在畫(huà)直觀圖的紙上(平面上)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的Ox′，Oy′，使∠x(chóng)′Oy′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于x′軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于y′軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；(4)擦去輔助線，圖畫(huà)好后，要擦去x軸、y軸及為畫(huà)圖添加的輔助線(虛線)．3.體積與表面積公式:(1)柱體的體積公式:;錐體的體積公式:;臺(tái)體的體積公式:;球的體積公式:..【高頻考點(diǎn)突破】3．求不規(guī)則幾何體的體積常用分割或補(bǔ)形的思想將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解．4．對(duì)于組合體的表面積要注意其銜接部分的處理.考點(diǎn)三球與空間幾何體的“切”“接”問(wèn)題1．長(zhǎng)方體、正方體的外接球其體對(duì)角線長(zhǎng)為該球的直徑．2．正方體的內(nèi)切球其棱長(zhǎng)為球的直徑．3．正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點(diǎn)、球心及底面正三角形中心共線．4．正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.例3、一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．【方法技巧】1．涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題．2．若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，則4R2＝a2＋b2＋c2(R為球半徑)．可采用“補(bǔ)形”法，構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體的外接球去處理．考點(diǎn)四空間線線、線面位置關(guān)系(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(4)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.例4、如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由．解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PC.又因?yàn)镈E?平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形．又因?yàn)镻C⊥AB，所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形．(3)存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝eq\f(1,2)EG.分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM＝QN＝eq\f(1,2)EG，所以Q為滿足條件的點(diǎn)．【方法技巧】1．證明線線平行常用的兩種方法：(1)構(gòu)造平行四邊形；(2)構(gòu)造三角形的中位線．2．證明線面平行常用的兩種方法：(1)轉(zhuǎn)化為線線平行；(2)轉(zhuǎn)化為面面平行．3．證明直線與平面垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直線與直線垂直．而證明直線與直線垂直又需要轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直.考點(diǎn)五空間面面位置關(guān)系1．面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.2．面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.3．面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝A，a∥α，b∥α?α∥β.4．面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.5．面面平行的證明還有其它方法：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a、b?α且a∩b＝A,c、d?β且c∩d＝B,a∥c，b∥d))?α∥β，(2)a⊥α、a⊥β?α∥β.例5、如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【證明】(1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，【方法技巧】1．垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方向面面垂直?線面垂直?線線垂直．主要依據(jù)有關(guān)定義及判定定理和性質(zhì)定理證明．具體如下：(1)證明線線垂直：①線線垂直的定義；②線面垂直的定義；③勾股定理等平面幾何中的有關(guān)定理．(2)證明線面垂直：①線面垂直的判定定理；②線面垂直的性質(zhì)定理；③面面垂直的性質(zhì)定理．(3)證明面面垂直：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理．2．證明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其關(guān)鍵是結(jié)合圖形與條件在平面內(nèi)尋找兩相交直線分別平行于另一平面.例6、如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.【證明】(1)如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．【方法技巧】1．用向量法來(lái)證明平行與垂直，避免了繁雜的推理論證而直接計(jì)算就行了．把幾何問(wèn)題代數(shù)化．尤其是正方體、長(zhǎng)方體、直四棱柱中相關(guān)問(wèn)題證明用向量法更簡(jiǎn)捷．但是向量法要求計(jì)算必須準(zhǔn)確無(wú)誤．2．利用向量法的關(guān)鍵是正確求平面的法向量．賦值時(shí)注意其靈活性．注意(0,0,0)不能作為法向量.考點(diǎn)七利用空間向量求角1．向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).2．向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝eq\f(|n·a|,|n||a|).3．向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).例7、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．(3)由(2)知＝(－1，eq\r(3)，0)設(shè)P(0，－eq\r(3)，t)(t＞0)，則＝(－1，－eq\r(3)，t)，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量m＝(x，y，z)，考點(diǎn)八利用空間向量解決探索性問(wèn)題利用空間向量解決探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只須通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，可以使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法．例8、如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A－MC－B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,z1＝\f(2＋3λ,4－4λ)y1，))可取n1＝(0,1，eq\f(2＋3λ,4－4λ))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(·n2＝0，,·n2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3y2＋4z2＝0，,－4x2＋5y2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(5,4)y2，,z2＝－\f(3,4)y2，))可取n2＝(5,4，－3)．由n1·n2＝0，得4－3·eq\f(2＋3λ,4－4λ)＝0，解得λ＝eq\f(2,5)，故AM＝3.綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM＝3.【難點(diǎn)探究】難點(diǎn)一空間幾何體的表面積和體積例1、（1）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(9,2)π＋12B．eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42D．36π＋18【答案】（1）C(2)B【解析】(1)由三視圖可知本題所給的是一個(gè)底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱(如圖所示)，所以該直四棱柱的表面積為S＝2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×eq\r(1＋16)×4＝48＋8eq\r(17).(2)由三視圖可得這個(gè)幾何體是由上面是一個(gè)直徑為3的球，下面是一個(gè)長(zhǎng)、寬都為3、高為2的長(zhǎng)方體所構(gòu)成的幾何體，則其體積為：V＝V1＋V2＝eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18，故選B.難點(diǎn)二球與多面體例2、已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為()A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D．1【解題規(guī)律與技巧】1．真實(shí)圖形中和兩坐標(biāo)軸平行的線段在直觀圖中仍然和兩坐標(biāo)軸平行，在真實(shí)圖形中與x軸平行的線段在直觀圖中長(zhǎng)度不變，在真實(shí)圖形中和y軸平行的線段在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．這種畫(huà)法蘊(yùn)含著一個(gè)一般的規(guī)律，在斜二測(cè)畫(huà)法中，真實(shí)圖形的面積和直觀圖的面積之比是2eq\r(2).2．空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分“是側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．3．實(shí)際問(wèn)題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺(tái)、球，往往是由柱、錐、臺(tái)、球或其一部分組成的組合體，解決這類(lèi)組合體體積的基本方法就是“分解”，將組合體“分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺(tái)、球或其一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積”，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)的體積轉(zhuǎn)化為這些“部分體積”的和或差．【歷屆高考真題】【2012年高考試題】一、選擇題1.【2012高考真題新課標(biāo)理7】如圖，格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）2.【2012高考真題浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將△沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中。A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直.B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直.C.存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直.D.對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直【答案】C【解析】最簡(jiǎn)單的方法是取一長(zhǎng)方形動(dòng)手按照其要求進(jìn)行翻著，觀察在翻著過(guò)程，即可知選項(xiàng)C是正確的．3.【2012高考真題新課標(biāo)理11】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（）4.【2012高考真題四川理6】下列命題正確的是（）A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行5.【2012高考真題四川理10】如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交半球面于點(diǎn)，過(guò)圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（）B、C、D、6.【2012高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】設(shè)，則，，，，故選A.7.【2012高考真題湖南理3】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）9.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為A．12πB.45πC.57πD.81π【答案】C【解析】該幾何體的上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)量關(guān)系，可得．故選C．10.【2012高考真題福建理4】一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是（）A.球B.三棱柱C.正方形D.圓柱11.【2012高考真題重慶理9】設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因?yàn)閯t，，選A，12.【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（）A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過(guò)勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。13.【2012高考真題全國(guó)卷理4】已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為（）A2BCD1二、填空14.【2012高考真題浙江理11】已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于________cm3.【答案】1【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側(cè)面也是一直角三角形．故體積等于．15.【2012高考真題四川理14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是____________。16.【2012高考真題遼寧理13】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)_____________?！敬鸢浮?8【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為17.【2012高考真題山東理14】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為線段上的點(diǎn)，則三棱錐的體積為_(kāi)___________.18.【2012高考真題遼寧理16】已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_(kāi)_______?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為19.【2012高考真題上海理8】若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為。20.【2012高考真題上海理14】如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是?！敬鸢浮?。【解析】過(guò)點(diǎn)A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以=，當(dāng)AB=BD=AC=DC=a時(shí)，四面體ABCD的體積最大。過(guò)E做EF⊥DA，垂足為點(diǎn)F，已知EA=ED，所以△ADE為等腰三角形，所以點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，又，∴EF=，∴==，∴四面體ABCD體積的最大值=。21.【2012高考江蘇7】（5分），，則四棱錐的體積為▲cm3．22.【2012高考真題安徽理12】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是．【答案】92【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱，幾何體的表面積是．23.【2012高考真題天津理10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_(kāi)________m3.24.【2012高考真題全國(guó)卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)___________.【答案】【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，且所以，所以，，，設(shè)異面直線的夾角為，所以.三、解答題27.【2012高考真題湖北理19】（本小題滿分12分）如圖1，，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．（Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小．DDABCACDB圖2圖1ME.·第19題圖解法2：同解法1，得．令，由，且，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．故當(dāng)時(shí),三棱錐的體積最大．CADCADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN圖cBDPCFNEBGMNEH圖d第19題解答圖N故與平面所成角的大小為解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥.由（Ⅰ）知平面，所以平面.如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形，所以.取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥，所以.因?yàn)槠矫?，又面，所?又，所以面.又面，所以.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)），．連接，，由計(jì)算得，所以△與△是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，，則平面．在平面中，過(guò)點(diǎn)作于，則平面．故是與平面所成的角．在△中，易得，所以△是正三角形，故，即與平面所成角的大小為28.【2012高考真題新課標(biāo)理19】（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求二面角的大小.29.【2012高考江蘇16】（14分）不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)．求證：（1）平面平面；（2）直線平面．【解析】（1）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知證得。（2）要證直線平面，只要證∥平面上的即可。32.【2012高考真題北京理16】（本小題共14分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖(I)求證：A1C⊥平面BCDE(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，，，∴,設(shè)平面法向量為則∴∴∴又∵∴∴，∴與平面所成角的大小。33.【2012高考真題浙江理20】(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)如圖連接BD．∵M(jìn)，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如圖建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，N(，0，0)，C(，3，0)．設(shè)Q(x，y，z)，則．∵，∴．由，得：．即：．40.【2012高考真題湖南理18】（本小題滿分12分）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.由知，為直線與平面所成的角.由題意，知因?yàn)樗杂伤运倪呅问瞧叫兴倪呅危视谑窃谥?，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：由（Ⅰ）知，由故解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為.【2011年高考試題】一、選擇題:1.(2011年高考山東卷理科11)下圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A【解析】對(duì)于①,可以是放倒的三棱柱；容易判斷②③可以.4.(2011年高考安徽卷理科6)一個(gè)空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（A）48(B)32+8(C)48+8(D)80【答案】C【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，。故5.(2011年高考遼寧卷理科8)如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（）(A)AC⊥SB(B)AB∥平面SCD(C)SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角(D)AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角8．(2011年高考江西卷理科8)已知，，是三個(gè)相互平行的平面．平面，之間的距離為，平面，之間的距離為．直線與，，分別相交于，，，那么“=”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作平面的垂線g,交平面，分別于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知∥,所以,故選C.332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖19.332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1A.B.C.D.答案：B解析：由三視圖可以還原為一個(gè)底面為邊長(zhǎng)是3的正方形，高為2的長(zhǎng)方體以及一個(gè)直徑為3的球組成的簡(jiǎn)單幾何體，其體積等于。故選B10.(2011年高考廣東卷理科7)如圖l—3．某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【解析】B.由題得三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖是如圖所示的直四棱柱，。所以選B11.(2011年高考陜西卷理科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 （A）（B）（C）（D）【答案】A12.(2011年高考重慶卷理科9)高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（A）（B）（C）1（D）解析：選C.設(shè)底面中心為G，球心為O，則易得，于是，用一個(gè)與ABCD所在平面距離等于的平面去截球，S便為其中一個(gè)交點(diǎn)，此平面的中心設(shè)為H，則，故，故15.(2011年高考全國(guó)卷理科11)已知平面截一球面得圓M，過(guò)圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為(A)(B)(c)(D)【答案】D【解析】由圓的面積為得，，在故選D二、填空題:1.(2011年高考遼寧卷理科15)一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是____________.2.(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科15)已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為。答案:解析：如圖，連接矩形對(duì)角線的交點(diǎn)和球心,則，,四棱錐的高為,所以，體積為3．(2011年高考天津卷理科10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則這個(gè)幾何體的體積為_(kāi)_________4.(2011年高考四川卷理科15)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是.答案：解析：時(shí)，，則三、解答題:1.(2011年高考山東卷理科19)（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠

ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ)若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．【解析】（Ⅰ)連結(jié)AF,因?yàn)镋F∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易證∽,所以,即,即,又M為AD的中點(diǎn),所以,又因?yàn)椋疲恰危拢谩危罝，所以ＦＧ∥ＡM,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故GM∥FA,又因?yàn)椋牵推矫妫粒拢疲?FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)CO,因?yàn)椋粒茫剑拢?所以CO⊥AB,又因?yàn)椋牛痢推矫妫粒拢茫?，CO平面ＡＢＣＤ,所以ＥＡ⊥CO,又ＥＡ∩AB=A,所以CO⊥平面ＡＢＦＥ,在平面ABEF內(nèi),過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BF于H,連結(jié)CH,由三垂線定理知:CH⊥BF,所以為二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的平面角.設(shè)ＡＢ=２ＥＦ=,因?yàn)椤?/p>

ACB=，ＡＣ＝ＢＣ=,CO=,,連結(jié)FO,容易證得FO∥EA且,所以,所以O(shè)H==,所以在中,tan∠

CHO=,故∠

CHO=,所以二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小為.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本題滿分15分）如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。平面的法向量由得即，可取由即得可取，由得解得，故綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，從而，所以綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，.5.(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷