廣西河池、來賓、百色、南寧2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）試題（含解析）

2023年高考河池?來賓?百色?南寧市聯(lián)合調(diào)研考試2023.01注意事項：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡指定位置上.3.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.4.請按題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則A∩B=（）A.∪[2，+∞） B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得集合，然后由交集定義計算．【詳解】由已知，∴．故選：C．2.在區(qū)間[－2,2]內(nèi)隨機取一個數(shù)x，使得不等式成立的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得,再根據(jù)幾何概型的計算方法求解即可.【詳解】解：由可得，由幾何概型的定義可得使不等式成立的概率為：.故選：B.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得，該幾何體是以個正方體內(nèi)挖去一個底面直徑為正方體棱長且等高的圓錐，代入體積計算公式即可求解.【詳解】由三視圖可知：該幾何體是一個棱長為的正方體內(nèi)挖去一個底面半徑為，高為的圓錐，由正方體和圓錐的體積計算公式可得：，故選：.4.已知雙曲線的右焦點為，過F和兩點的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線方程可得其漸近線為，再求得直線的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦點坐標得，從而求得，則該雙曲線的方程可求.【詳解】因為雙曲線，所以它的漸近線為，又因為，，所以直線的斜率為，因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，所以，故，又因為雙曲線的右焦點為，所以，故，所以該雙曲線的方程為.故選：A.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.40 B. C.80 D.【答案】A【解析】【分析】首先寫出展開式的通項，再代入計算可得；【詳解】的展開式的通項，令，解得，所以，所以項的系數(shù)為，故選：A6.已知正項等比數(shù)列}滿足為與的等比中項，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比中項定義和等比數(shù)列通項公式得，解得，化簡.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，即，，，，故選：B.7.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一條對稱軸為B.的一個對稱中心為C.在上的值域為D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到【答案】C【解析】【分析】化簡可得，利用代入檢驗法可判斷AB的正誤，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷C的正誤，求出平移后的解析式可判斷D的正誤.【詳解】，因為，故不是對稱軸，故A錯誤.，不是的一個對稱中心，故B錯誤.當時，，故，所以，即在上的值域為，故C正確.的圖象向右平移后對應(yīng)的解析式為，當時，此時函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，而，故與不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：C.8.已知拋物線）的焦點為，準線為l，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線l交于點D，若，則p=（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】利用拋物線的定義，以及幾何關(guān)系可知，再利用數(shù)形結(jié)合可求的值.【詳解】如圖，設(shè)準線與軸的交點為，作，，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知,,又，所以，設(shè)，因為，所以，則.所以,，又,可得,所以，所以可得,即.故選：.9.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度.若，現(xiàn)有一杯80°C的熱水降至75°C大約用時1分鐘，那么此杯熱水水溫從75°C降至45°C大約還需要（參考數(shù)據(jù)：）（）A.10分鐘 B.9分鐘 C.8分鐘 D.7分鐘【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目所給的函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)可計算得出的值，利用參考數(shù)據(jù)即可計算得出結(jié)果.【詳解】將所給數(shù)據(jù)代入得，，即，所以當水溫從75°C降至45°C時，滿足，可得，即分鐘.故選：A.10.是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A.－1 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由奇函數(shù)定義得，及即可求值【詳解】是定義在R上的函數(shù)，為奇函數(shù)，則.∴.故選：A11.如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點，G為線段AM上一點且，過點G的直線分別交直線AB、AC于P、Q兩點，，，則的最小值為（）A. B.1 C. D.4【答案】B【解析】【分析】由可得，根據(jù)三點共線向量性質(zhì)可得，再結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果．【詳解】由于M為線段BC的中點，則又，所以，又，所以，則因為三點共線，則，化得由當且僅當時，即時，等號成立，的最小值為1故選：B12.已知、、，，，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由題中條件可得出，，，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小，再結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為、、，由可得，由可得，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，；當時，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，因為，所以，，即，即，因為、、，則、、，所以，，因此，.故選：A.二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知i為虛數(shù)單位，若，則___________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)相等即可求出的值，進而求解即可.【詳解】因為，所以，所以，，則，故答案為：.14.若鈍角△ABC中，，則△ABC的面積為___________．【答案】##【解析】【分析】由正弦定理求得三角形的內(nèi)角，然后再由面積公式計算．【詳解】由正弦定理得，是三角形內(nèi)角，則或，若，則不合題意，舍去，故，，．故答案為：．15.近年來，“考研熱”持續(xù)升溫，2022年考研報考人數(shù)官方公布數(shù)據(jù)為457萬，相比于2021年增長了80萬之多，增長率達到21%以上.考研人數(shù)急劇攀升原因較多，其中，本科畢業(yè)生人數(shù)增多、在職人士考研比例增大，是兩大主要因素.據(jù)統(tǒng)計，某市各大高校近幾年的考研報考總?cè)藬?shù)如下表：年份20182019202020212022年份序號x12345報考人數(shù)y（萬人）1.11.622.5m根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可求得y關(guān)于x的線性回歸方程為，則m的值為___________.【答案】2.8【解析】【分析】求出的值，以及用表示出，代入線性回歸方程得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】，，，，解得.故答案為：2.8.16.已知棱長為8的正方體中，平面ABCD內(nèi)一點E滿足，點P為正方體表面一動點，且滿足，則動點P運動的軌跡周長為___________．【答案】【解析】【分析】由向量的線性運算知在的延長線上，且，由此可確定點在以為頂點的三個面內(nèi)．然后在三個面（正方形）內(nèi)分別確定軌跡，求得軌跡長度得結(jié)論．【詳解】，則在的延長線上，且，由正方體性質(zhì)知平面，當在平面上時，平面，，由得，因此點軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分即圓周的，弧長為，從而知點在以為頂點的三個面內(nèi)．當在棱上時，，，因此點在面時，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，圓弧的圓心角為，弧長為，同理點在面內(nèi)的軌跡長度也為，所以所求軌跡長度為．故答案為：．三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.4月23日是“世界讀書日”．讀書可以陶冶情操，提高人的思想境界，豐富人的精神世界．為了豐富校園生活，展示學(xué)生風(fēng)采，某中學(xué)在全校學(xué)生中開展了“閱讀半馬比賽”活動．活動要求每位學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)閱讀給定書目，并完成在線閱讀檢測．通過隨機抽樣得到100名學(xué)生的檢測得分（滿分：100分）如下表：[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男生235151812女生051010713（1）若檢測得分不低于70分的學(xué)生稱為“閱讀愛好者”①完成下列2×2列聯(lián)表閱讀愛好者非閱讀愛好者總計男生女生總計②請根據(jù)所學(xué)知識判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為“閱讀愛好者”與性別有關(guān)；（2）若檢測得分不低于80分的人稱為“閱讀達人”．現(xiàn)從這100名學(xué)生中的男生“閱讀達人’中，按分層抽樣的方式抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人，記這三人中得分在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）①填表見解析；②不能（2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成表格，再計算的值，即可得結(jié)論；(2)由題意可得100名學(xué)生中的男生“閱讀達人”共30人，按分層抽樣得[80，90）內(nèi)應(yīng)抽取3人，[90，100]內(nèi)應(yīng)抽取2人，從而得X的取值為0，1，2，計算出對應(yīng)的概論，列出分布列即可求得期望.【小問1詳解】解：由題中表格可得2×2列聯(lián)表如下閱讀愛好者非閱讀愛好者合計男生451055女生301545合計7525100由題意得,所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認為“閱讀愛好者”與性別有關(guān)．【小問2詳解】解：根據(jù)檢測得分不低于80分的人稱為“閱讀達人”，則這100名學(xué)生中的男生“閱讀達人”中，按分層抽樣的方式抽?。甗80，90）內(nèi)應(yīng)抽取3人，[90，100]內(nèi)應(yīng)抽取2人，所以，X的取值為0，1，2，所以X的分布列為；X012P所以X的數(shù)學(xué)期望是．18.已知數(shù)列的前n項和為（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2），求λ的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由得的遞推關(guān)系，變形后由等差數(shù)列的定義得證；（2）由（1）求得，從而代入已知等式后求得得，然后化簡不等式并分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得結(jié)論．【小問1詳解】，∴，∴，∴，又∵，∴，所以數(shù)列是以為首項和公差的等差數(shù)；【小問2詳解】由(1)知：，所以，∴，∴，又滿足上式，∴，因為，所以，所以，記，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以，所以的最大值為．19.在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形，點在底面上的射影為棱的中點，且與底面所成角為，點為線段上一動點．（1）求證：；（2）是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，且點為的中點【解析】【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)點，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：連接，為等邊三角形，為的中點，則，因為點在底面上的射影為點，則平面，平面，，，、平面，平面，平面，.小問2詳解】解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為平面，所以，與底面所成的角為，則、、，設(shè)點，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由已知可得，可得，，解得，即點.因此，當點為的中點時，二面角的余弦值為．20.已知橢圓過兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點，直線l交橢圓C于P，Q（均不與點A重合）兩點，記直線AP，AQ，l的斜率分別為k1，，，若，求△FPQ的周長．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）已知兩點坐標代入橢圓方程聯(lián)立解得得橢圓方程；（2）設(shè)直線，直線方程代入橢圓方程應(yīng)用韋達定理得，代入求得的關(guān)系，確定直線過焦點，從而可得焦點三角形的周長．【小問1詳解】將，B（，）代入橢圓C：中，，解得，故橢圓C方程為；【小問2詳解】設(shè)直線，由，得，又，故由k，得，得，故或．①當時，直線l，過定點，與已知不符，舍去；②當時，直線l，過定點，即直線l過左焦點，此時，符合題意．所以△FPO的周長為．【點睛】方法點睛：直線與橢圓相交問題，一般設(shè)出交點坐標，設(shè)出直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達定理得，再把這個結(jié)果代入題中其它條件，從而得出相應(yīng)的結(jié)論．21.已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）若關(guān)于x的方程有兩個不同的實根，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號分析；（2）根據(jù)結(jié)論反向推導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)證明即可.【小問1詳解】由題知：，其定義域為（0，+∞），∴，令，則，∴．在上單調(diào)遞增，∴，∴，設(shè)，得，，得，所以h(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，；【小問2詳解】設(shè)，設(shè)，則，易知在R上單調(diào)遞增，要使方程有兩個不同的實根，而函數(shù)只存在1個零點，設(shè)為，所以方程在上存在2個根，設(shè)為，且，則且