“量”源于“度”“感”源于“悟”-談小學(xué)數(shù)學(xué)“量感”的培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》相較于2011年版，新增了一個(gè)數(shù)學(xué)核心概念——“量感”。那什么是量感呢？新課標(biāo)對(duì)此進(jìn)行了說明：主要是指對(duì)事物的可測量屬性以及大小關(guān)系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會(huì)對(duì)真實(shí)的情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會(huì)在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算；初步感受度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果。量感可以從兩個(gè)不同的角度進(jìn)行解釋：一是從心理學(xué)角度來看，量感是人類對(duì)于物體的一種心理感受，并沒有具體的標(biāo)準(zhǔn)；二是從數(shù)學(xué)角度來看，量感是多感官接觸物體后所形成的一種感性認(rèn)知，具有直觀化的特征。一、培養(yǎng)量感的作用課標(biāo)中既然已經(jīng)有了核心概念“數(shù)感”，為什么又需要新增“量感”呢？它們有什么聯(lián)系？又有什么區(qū)別呢？史寧中教授說：“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)量是度量的結(jié)果，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于度量?！薄皵?shù)感”可以去掉后綴名詞，然后抽象出數(shù)；而“量感”是不可以去掉后綴名詞的，如，1米、1厘米、1小時(shí)、1秒、1千克、1平方米等這樣的后綴名詞是不可以去掉的，如果去掉了，就讓人不明白所表達(dá)的意思，這就是量感對(duì)精準(zhǔn)表達(dá)的重要性。在觀察現(xiàn)實(shí)世界時(shí)知道度量的意義，理解統(tǒng)一度量單位的必要性，并針對(duì)真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，能用度量單位表達(dá)出事物的可測量屬性，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。在感知事物大小關(guān)系時(shí)，學(xué)會(huì)不同單位之間的換算，感知度量工具和方法引起的誤差，能合理估計(jì)度量結(jié)果。所以，“量感”培養(yǎng)的重要載體是“度量單位”?！傲扛小币恢必灤┯跀?shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)之中。而小學(xué)生對(duì)“量”的生活經(jīng)驗(yàn)比較欠缺，對(duì)于“量”的感知更是個(gè)抽象的概念存在?！傲扛小睔w根結(jié)底是一種心理感受，教師的“教”無法替代學(xué)生自己的“感”。因此，量感的培養(yǎng)，首要任務(wù)是讓學(xué)生在多層次的體驗(yàn)中深度感知實(shí)實(shí)在在的“量”，這樣才能有效地促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)量感的最終目標(biāo)是讓學(xué)生能夠用定量的方法審視和思考世界，能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。比如在面對(duì)一棟建筑物時(shí)，有很好的語文素養(yǎng)的人會(huì)認(rèn)為建筑十分宏偉；有很好的藝術(shù)素養(yǎng)的人會(huì)體會(huì)到建筑就是凝固的音樂；而對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)較好的人而言，會(huì)從建筑的高度、占地面積等方面用定量的方式來認(rèn)識(shí)建筑物，這就是量化思維。尤其是在小學(xué)階段，是孩子們接觸數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候孩子們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)正在逐漸形成。通過培養(yǎng)量感，孩子們可以更好地理解數(shù)學(xué)概念，提升對(duì)數(shù)量和空間關(guān)系的敏感度和判斷力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，這能夠幫助他們培養(yǎng)觀察力和思維能力，對(duì)于他們的整個(gè)學(xué)習(xí)過程都是非常有益的?！傲扛小庇兄谔岣邔W(xué)生的估測能力，有助于拓展和鍛煉學(xué)生的思維能力。在教學(xué)中，教師要將“量感”的培養(yǎng)貫穿教學(xué)活動(dòng)的始終，豐富數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生多估測、多對(duì)比，在實(shí)踐活動(dòng)中溝通數(shù)學(xué)知識(shí)和質(zhì)量單位的關(guān)聯(lián)，把培養(yǎng)學(xué)生量感落到實(shí)處。二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“量感”的培養(yǎng)策略（一）知識(shí)建構(gòu)，讓量感內(nèi)化量感是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要的一部分，它是指人們對(duì)數(shù)量和空間關(guān)系的敏感度和判斷力。在小學(xué)階段，學(xué)生“量感”的建立，需要通過多種感官的協(xié)同活動(dòng)，在具體的“量”的多維感知中，形成清晰的“量”的表象，即需要通過知識(shí)建構(gòu)來逐步內(nèi)化數(shù)學(xué)量感。又如，在學(xué)習(xí)“體積單位”時(shí)，以常用的“立方厘米”和“立方米”為例，我們可以先通過度量小正方體的棱長，再尋找大約1立方厘米的物體，最后通過數(shù)找到的幾何體中有幾個(gè)1立方厘米進(jìn)行體積單位的深度體驗(yàn)，以此來增強(qiáng)對(duì)“立方厘米”的感知。而在探究立方米時(shí)，可以先讓學(xué)生思考“什么樣的正方體體積是1立方米”，再通過感知經(jīng)驗(yàn)搭一個(gè)1立方米的正方體，最后估測教室有多少立方米。通過這樣一系列多維度的漸進(jìn)式活動(dòng)，幫助學(xué)生深化對(duì)計(jì)量單位的理解與內(nèi)化。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該通過各種教學(xué)方法來引導(dǎo)孩子們逐漸建立對(duì)數(shù)量和空間關(guān)系的敏感度和判斷力。如教師可以通過教具、模型、圖表等方式來讓孩子們更加直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。此外，教師還應(yīng)該讓孩子們通過實(shí)踐、思考、探究等方式來不斷積累數(shù)學(xué)知識(shí)，內(nèi)化數(shù)學(xué)量感，使之成為他們數(shù)學(xué)思維的自然體現(xiàn)?？傊?，知識(shí)建構(gòu)是培養(yǎng)孩子們數(shù)學(xué)量感的重要方法之一。通過課堂教學(xué)和個(gè)人實(shí)踐兩個(gè)方面的知識(shí)建構(gòu)，孩子們可以逐步建立對(duì)數(shù)量和空間關(guān)系的敏感度和判斷力，從而使自己的數(shù)學(xué)量感得到內(nèi)化和升華。（二）活動(dòng)體驗(yàn)，促量感外顯小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)量感的建立，更多的是依賴于經(jīng)驗(yàn)積累。心理學(xué)研究表明：學(xué)生感知的素材越豐富，活動(dòng)的體驗(yàn)越充分，建立的知識(shí)表象就越清晰、越深刻。形式多樣的活動(dòng)體驗(yàn)可以讓學(xué)生對(duì)“量”的認(rèn)知更深刻，也比較容易理解“量”的意義，積累自己對(duì)“量”的感知，使“量感”由抽象到形象。新課標(biāo)倡導(dǎo)經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索的過程性目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的活動(dòng)理念。在實(shí)際教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過“看、摸、量、畫、比、說”等活動(dòng)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生多維度親身體驗(yàn)，有層次、有梯度、循序漸進(jìn)地調(diào)動(dòng)多感官參與、親歷“量”的形成過程，從而促使數(shù)學(xué)量感得以外顯。例如，“面積的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)，教師可設(shè)計(jì)如下活動(dòng)環(huán)節(jié)：首先引導(dǎo)學(xué)生用眼觀察、動(dòng)手摸一摸、動(dòng)口說一說身邊熟悉的素材，感知“面”及其大小，初步感知面積；其次基于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)物體“表面”、不規(guī)則圖形進(jìn)行充分觀察、比較，突出面積本質(zhì)；然后基于圖形變化的觀察、操作和比較，體會(huì)面積的運(yùn)動(dòng)不變性；最后環(huán)節(jié)基于學(xué)生對(duì)長度和面積兩個(gè)概念的邊界混淆，引導(dǎo)學(xué)生“描一描圖形的一周”，“涂一涂圖形的面積”，再次在操作和對(duì)比中加深對(duì)面積的理解。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的長度、面積、體積、質(zhì)量等度量，因其本質(zhì)結(jié)構(gòu)是一致的，都具有可測性，則“量感”的外顯也具有一致性。如人教版五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”大單元結(jié)構(gòu)教學(xué)時(shí)，教師立足單元整合，以面積的概念理解為基礎(chǔ)，以度量的本質(zhì)感悟?yàn)楹诵模龑?dǎo)學(xué)生通過以下多環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，體會(huì)度量意義，發(fā)展度量意識(shí)。教師可以組織孩子們進(jìn)行幾何圖形的剪、拼、轉(zhuǎn)化等活動(dòng)，讓他們親身體驗(yàn)幾何圖形的特征和本質(zhì)，從而提高他們對(duì)幾何圖形的敏感度和判斷力，順利實(shí)現(xiàn)“平行四邊形的面積——三角形的面積——梯形的面積——多邊形的面積”的單元多維結(jié)構(gòu)化有機(jī)融合，讓孩子們更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們的數(shù)學(xué)量感，使之得以外顯。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，教師應(yīng)該注重活動(dòng)體驗(yàn)的作用，組織豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓孩子們?cè)趯?shí)踐中多維度感受數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們的數(shù)學(xué)量感，使之更好地服務(wù)于他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活。白酒作為中國傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)的重要組成部分，在中國擴(kuò)大對(duì)外開放的進(jìn)程中，一定會(huì)大有作為。茅臺(tái)的國際市場，也必將迎來一個(gè)新的發(fā)展機(jī)遇期。（三）精準(zhǔn)訓(xùn)練，使量感豐富“量感是在長時(shí)間使用量的過程中形成的”，正如俞正強(qiáng)教授所說的：“穩(wěn)定的、精確的關(guān)于量的把握能力，如同一個(gè)相馬者，看見一匹馬時(shí)能估計(jì)到這匹馬的奔跑速度。因此量感的培養(yǎng)是學(xué)生們?cè)跀?shù)學(xué)思考中從無到有，再到熟練的成果?！币虼?，精準(zhǔn)訓(xùn)練是培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)量感的另一個(gè)重要策略。通過精準(zhǔn)的訓(xùn)練，可以持續(xù)性地幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)和規(guī)律，提升對(duì)量感的認(rèn)知，從而使他們的數(shù)學(xué)量感得以豐富。首先，精準(zhǔn)訓(xùn)練應(yīng)該針對(duì)孩子們的數(shù)學(xué)水平和能力進(jìn)行。在小學(xué)階段，孩子們的數(shù)學(xué)水平和能力不同，因此，教師在設(shè)計(jì)精準(zhǔn)訓(xùn)練時(shí)應(yīng)該根據(jù)孩子們的實(shí)際情況，針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練，讓他們逐漸掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律和特點(diǎn)。例如，在認(rèn)識(shí)1克和1千克兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量后，再進(jìn)一步學(xué)習(xí)1噸有多重，顯然再用稱的活動(dòng)已經(jīng)不太方便，那么可以借助對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。在認(rèn)識(shí)“噸”時(shí)，學(xué)生可以先體驗(yàn)100千克，再根據(jù)倍數(shù)關(guān)系運(yùn)算推想到1噸，即100個(gè)100千克物體的疊加，從而有效把握計(jì)量大物體的質(zhì)量單位“噸”。這樣我們將標(biāo)準(zhǔn)量和運(yùn)算知識(shí)相結(jié)合，溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系，有助于學(xué)生對(duì)“量”的內(nèi)化。在訓(xùn)練數(shù)學(xué)計(jì)算能力時(shí)，還應(yīng)該根據(jù)孩子們的實(shí)際水平進(jìn)行分層教學(xué)，讓他們?cè)谶m當(dāng)?shù)碾y度下進(jìn)行訓(xùn)練，從而提高他們的計(jì)算速度和準(zhǔn)確度，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)量感。其次，精準(zhǔn)訓(xùn)練應(yīng)該注重細(xì)節(jié)和反饋。在進(jìn)行精準(zhǔn)訓(xùn)練時(shí)，教師應(yīng)該注重訓(xùn)練過程中的細(xì)節(jié)和反饋，及時(shí)糾正孩子們的錯(cuò)誤，讓他們逐漸掌握正確的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法。例如，在訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維能力時(shí)，教師應(yīng)該及時(shí)給予孩子們反饋和指導(dǎo)，讓他們逐漸掌握解題的方法和技巧，從而提高他們的數(shù)學(xué)量感。最后，精準(zhǔn)訓(xùn)練應(yīng)該有計(jì)劃和系統(tǒng)。在進(jìn)行精準(zhǔn)訓(xùn)練時(shí)，教師應(yīng)該制定合理的訓(xùn)練計(jì)劃和系統(tǒng)，讓孩子們逐步掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的規(guī)律和特點(diǎn)，從而提高他們的數(shù)學(xué)量感。例如，在訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維能力時(shí)，教師可以采用游戲的形式來進(jìn)行訓(xùn)練，讓孩子們?cè)谟鋹偟姆諊袑W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而提高他們的數(shù)學(xué)量感。此外，教師還可以讓孩子們參加數(shù)學(xué)競賽和奧數(shù)培訓(xùn)等活動(dòng)，通過比賽和交流的形式來提高孩子們的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)量感。（四）反思辨析，助量感沉淀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反思辨析是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行反思和總結(jié)，從而形成自己的思維方式和認(rèn)識(shí)方式。通過反思辨析，可以幫助小學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和特點(diǎn)，提高他們的理解和運(yùn)用能力，同時(shí)也可以幫助他們將所學(xué)的知識(shí)內(nèi)化為自己的量感，讓量感沉淀。例如，“面積單位”一課在導(dǎo)入環(huán)節(jié)呈現(xiàn)了兩幅形狀不同的山水畫，它們不僅能用于欣賞，還有一定的價(jià)值，借助“我們有時(shí)會(huì)用版面的大小來衡量畫的價(jià)值，什么是版面的大小？哪一幅畫的價(jià)值更高？”等系列問題，引導(dǎo)學(xué)生比較兩個(gè)圖形面積的大小。除了重疊、剪拼等方法，度量也是重要的比較方法，同時(shí)進(jìn)一步感受這里的度量不再是對(duì)一維長度的度量，而是對(duì)二維面積的度量，用任務(wù)驅(qū)動(dòng)的形式感受度量的意義，樹立度量意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、應(yīng)用意識(shí)和幾何直觀。培養(yǎng)學(xué)生的“量感”是一個(gè)長期的過程，需要經(jīng)過長時(shí)間的積累和沉淀，而學(xué)生在完成長度單位有關(guān)的練習(xí)時(shí)，仍舊會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，甚至?xí)磸?fù)出錯(cuò)。這時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)充分利用這些學(xué)生生成的錯(cuò)題資源，通過辨析幫助學(xué)生聯(lián)系不同的度量單位，進(jìn)一步沉淀對(duì)度量單位的感知。如，在學(xué)習(xí)了長度單位“毫米、厘米、米”之后，對(duì)于練習(xí)“一塊橡皮的長度是5（）”，有學(xué)生填寫了分米。此時(shí)，教師可以讓學(xué)生先動(dòng)手比劃1分米的長度，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)1分米非常長，5分米與橡皮的長度不符，便會(huì)意識(shí)到自己的錯(cuò)誤并進(jìn)行改正。在這一過程中，充分容納學(xué)生的錯(cuò)誤并將其轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思辨析，比較聯(lián)系不同長度單位間的關(guān)系，沉淀學(xué)生的量感。小學(xué)階段的“毫米、厘米、米”是學(xué)生“長度單位”知識(shí)建立的基礎(chǔ)，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生對(duì)長度單位的感官認(rèn)知，結(jié)合實(shí)際，體驗(yàn)感知長度單位的表象，經(jīng)過對(duì)錯(cuò)題的辨析沉淀，強(qiáng)化對(duì)長度單位的認(rèn)知，最終從抽象轉(zhuǎn)化為具象，提高學(xué)習(xí)效率，發(fā)展核心素養(yǎng)，為以后的量感學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。（五）探尋本質(zhì)，助量感多維量感不是與生俱來的，也不是教出來的，而是一個(gè)需要學(xué)生不斷“悟”的過程。在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)量的生活經(jīng)驗(yàn)還比較薄弱，對(duì)于“量”的感知還比較抽象。因此對(duì)于量感的培養(yǎng)，首要任務(wù)是讓學(xué)生在多層次、多維度的體驗(yàn)中，去深度感知、探求本質(zhì)?？筛小⒖捎|、可視、可估到實(shí)實(shí)在在的“量”，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。正如曹培英教授所說：“數(shù)感是數(shù)出來的，同樣的，量感應(yīng)該是量出來的。”在量的概念教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生親歷過程，通過估測、對(duì)比、想象、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，深化體感，建立表象，提升量感的層次，拓寬量感的邊界。在教學(xué)實(shí)踐中，我們教師要做有心人，充分考慮學(xué)生的年齡心理特征，多層面開展數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)展量感，多方位幫助學(xué)生建立概念表象，在長期的、反復(fù)體驗(yàn)、不斷修正的過程中發(fā)展量化思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如主題項(xiàng)目活動(dòng)課《1千米有多長》，教師有機(jī)整合了眾多素材，有層次、有梯度的從四個(gè)維度展開，讓學(xué)生從不同角度去思考、探求和感受1千米到底有多長。維度一：學(xué)校操場1圈是200米，5圈，5個(gè)200米就是1千米；一位小朋友展開雙臂長1米，1000個(gè)小朋友手拉手，1000個(gè)1米就是1千米；一輛大巴車長10米，100輛大巴排隊(duì)，100個(gè)10米就是1千米；一幢樓房高度是100米，10幢樓房的高度和，10個(gè)100米就是1千米……先建立一個(gè)長度標(biāo)準(zhǔn)，再利用長度單位進(jìn)行疊加來感受1千米的長。維度二：課前操場上活動(dòng)體驗(yàn)，走100米用時(shí)約80秒，跑100米用時(shí)約22秒，走或跑1千米需要多久，利用時(shí)間來幫助學(xué)生感受1千米的長。維度三：課前操場上活動(dòng)體驗(yàn),走100米步數(shù)為80步，那么走1千米需要多少步數(shù)？用步數(shù)的多少來感受1千米的實(shí)際距離。維度四：展示電梯、電動(dòng)車、汽車、動(dòng)車等其他方式來感受1千米。基于量感培養(yǎng)，借助這種“多維度素材、多路徑體驗(yàn)”的主題項(xiàng)目活動(dòng)，從單位進(jìn)率的角度出發(fā)，梳理長度單位的關(guān)系，借助“以小推大”為核心