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文檔簡介
山東省新泰二中、泰安三中、寧陽二中2024屆高三2月復(fù)習(xí)檢測試題數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知實(shí)數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.2.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.年部分省市將實(shí)行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B.C. D.4.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.5.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.把滿足條件(1),,(2),,使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”,下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為()①②③④⑤A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(1)對(duì)于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.49.已知拋物線的焦點(diǎn)為,若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好在射線上,則直線被截得的弦長為()A. B. C. D.10.過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線,,,為切點(diǎn),當(dāng)直線,關(guān)于直線對(duì)稱時(shí),()A. B. C. D.11.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.12.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若x,y均為正數(shù),且,則的最小值為________.14.假設(shè)10公里長跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________.15.已知向量,且向量與的夾角為_______.16.如圖,在矩形中,為邊的中點(diǎn),,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)(含邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)若數(shù)列的前項(xiàng)和,,求證:數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.20.(12分)已知,其中.(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.21.(12分)如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,,,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,上、下頂點(diǎn)分別為,,為其右焦點(diǎn),,且該橢圓的離心率為;(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點(diǎn),交直線于點(diǎn),直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,直線與直線交于點(diǎn).若,求取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】
根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【題目詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】
分別判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分必要條件,屬于簡單題.3、B【解題分析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.4、B【解題分析】
選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)5、D【解題分析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).6、A【解題分析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,若有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為有且僅有3個(gè)根,即與有三個(gè)不同的交點(diǎn),作出函數(shù)和的圖象如圖,當(dāng)a=1時(shí),與有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),即,時(shí),與有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),即時(shí),與有三個(gè)交點(diǎn),要使與有三個(gè)不同的交點(diǎn),則直線處在過和之間,即,故選:A.【題目點(diǎn)撥】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.7、B【解題分析】
滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【題目詳解】滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①不滿足(2);②不滿足(1);③不滿足(2);④⑤均滿足(1)(2).故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義函數(shù)的問題,涉及到函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.8、C【解題分析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【題目詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯(cuò)誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對(duì)稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當(dāng)時(shí),可得成立,當(dāng)時(shí),只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】
由焦點(diǎn)得拋物線方程,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo),寫出直線方程,聯(lián)立拋物線求交點(diǎn),計(jì)算弦長即可.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,則,即,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖:∴,解得,或(舍去),∴∴直線的方程為,設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為,由,解得或,∴,∴,故直線被截得的弦長為.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,屬于中檔題.10、C【解題分析】
判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【題目詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點(diǎn)不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對(duì)稱,則必垂直于直線,∴,設(shè),則,,∴,.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對(duì)稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.11、C【解題分析】
令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【題目詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.12、A【解題分析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因?yàn)榈街本€的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解題分析】
由基本不等式可得,則,即可解得.【題目詳解】方法一:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二:因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)基本不等式的靈活使用,難度較易.14、【解題分析】
分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【題目詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可.【題目詳解】解:∵向量,且向量與的夾角為,∴||;所以:?()2cos2﹣2=1,故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長為2;體積為;兩個(gè)半球的半徑都為1,則兩個(gè)半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體的組合體.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解題分析】
(1)由已知條件得到方程組,解得即可;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達(dá)定理,由得到的范圍,設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為則,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,得到不等式組,解得即可;【題目詳解】解:(1)由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率為,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為聯(lián)立,消元整理得,,由,解得設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,即,解得或【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解題分析】試題分析:將,求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明,求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式,利用當(dāng)時(shí),得,下面證明:解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以,,切點(diǎn)為.由,所以,所以曲線在處的切線方程為,即(Ⅱ)由,令,則(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)).故在上為增函數(shù).①當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),所以恒成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),由于,,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,必存在,使得,由于在上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,故在上不恒成立,所以不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為(III)證明:由由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),,故,故.下面證明:因?yàn)槎?,,即:點(diǎn)睛:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立,借助第二問的證明過程,利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式,在求解的過程中還要求出數(shù)列的和,計(jì)算較為復(fù)雜,本題屬于難題.19、(1);(2);(3)【解題分析】
(1)依題意,得,,由此能求出橢圓C的方程.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,故,由,知,由此能求出圓T的方程.(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:,由此能證明為定值.【題目詳解】(1)依題意,得,,,故橢圓C的方程為.(2)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,設(shè),,設(shè),由于點(diǎn)在橢圓C上,所以,由,則,.由于,故當(dāng)時(shí),的最小值為,所以,故,又點(diǎn)在圓T上,代入圓的方程得到.故圓T的方程為:(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:.故又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上,故,代入上式得:,所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1)極大值,無極小值;(2).(3)見解析【解題分析】
(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出;(2)先求導(dǎo),再函數(shù)在區(qū)間上遞增,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值,問題得以解決;(3)取得到,取,可得,累加和根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.【題目詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),則令,解得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,即極大值為,無極小值;(2)因?yàn)?,所以,因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增,所以在上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立.當(dāng)時(shí),在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),,設(shè),則在區(qū)間上恒成立.所以在單調(diào)遞增,則,所以,即綜上所述.(3)由(2)可知當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上遞增,所以,即,取,則.所以所以【題目點(diǎn)撥】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題,以及不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,屬于較難題.21、(1)詳見解析;(2).【解題分析】
(1)由直徑所對(duì)的圓周角為,可知,通過計(jì)算,利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形,所以有.由已知可以證明出,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平
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