第03講 3.3拋物線解析

第03講3.3拋物線目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查拋物線定義理解 1題型二：重點(diǎn)考查利用拋物線定義求軌跡方程 3題型三：重點(diǎn)考查拋物線上點(diǎn)到定點(diǎn)距離及最值 5題型四：重點(diǎn)考查拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和差最值 8題型五：重點(diǎn)考查拋物線焦半徑公式 11題型六：重點(diǎn)考查求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 15題型七：重點(diǎn)考查拋物線范圍 17題型八：重點(diǎn)考查拋物線對(duì)稱性 20題型一：重點(diǎn)考查拋物線定義理解典型例題1．（2023春·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）拋物線上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．0【答案】B【詳解】設(shè)，由拋物線方程化為，得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由拋物線定義可得，解得，故選：B.2．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線上有點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，為等邊三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，在等邊中，，因此長(zhǎng)等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即有與拋物線準(zhǔn)線垂直，

令拋物線準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)，則，由軸，得，于是，令，則，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京豐臺(tái)二中開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A2．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線C：的頂點(diǎn)為O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且F為拋物線C的焦點(diǎn)，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，所以，所以，所以，所以，解得.故選：C

題型二：重點(diǎn)考查利用拋物線定義求軌跡方程典型例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【詳解】由得，等式左邊表示點(diǎn)和點(diǎn)的距離，等式的右邊表示點(diǎn)到直線的距離，整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與y軸垂直的直線為，軸，交于點(diǎn)N，直線l垂直平分FN，交于點(diǎn)M.求點(diǎn)M的軌跡方程；【答案】【詳解】由題意得，即動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)M的軌跡方程為；3．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，兩個(gè)動(dòng)圓均過(guò)A且與l相切，若圓心分別為?，則的軌跡方程為；若動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M的軌跡方程為.【答案】【詳解】解：由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，所以的軌跡方程為，設(shè)，，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以，即，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即的軌跡方程為.故答案為：；.精練核心考點(diǎn)1．（2023·江西·校聯(lián)考三模）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過(guò)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^(guò)作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.2．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)的距離與其到直線的距離相等.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)求點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值，并指出此時(shí)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)，或【詳解】（1）解：由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）解：設(shè)，由兩點(diǎn)間的距離公式得：，當(dāng)，即時(shí)，，即當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，最小值為.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）已知拋物線定點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線x－y＋2＝0上，則拋物線方程為.（2）動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，且與直線x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.【答案】y2＝－8x或x2＝8yy2＝4x【詳解】（1）易得直線x－y＋2＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(－2，0)和(0，2)，當(dāng)焦點(diǎn)為(－2，0)時(shí)，拋物線焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且p＝4，則拋物線方程為y2＝－8x；當(dāng)焦點(diǎn)為(0，2)時(shí)，拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且p＝4，則拋物線方程為x2＝8y；綜上：拋物線方程為y2＝－8x或x2＝8y.（2）設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡為拋物線，其中，故軌跡方程為y2＝4x.故答案為：y2＝－8x或x2＝8y；y2＝4x.題型三：重點(diǎn)考查拋物線上點(diǎn)到定點(diǎn)距離及最值典型例題1．（2023春·甘肅蘭州·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（5，3），M為拋物線上一點(diǎn)，且M不在直線AF上，則周長(zhǎng)的最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【詳解】由題意知，焦點(diǎn)為,當(dāng)|MA|＋|MF|的值最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小.設(shè)點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義，可知，因此的最小值即的最小值.根據(jù)平面幾何的知識(shí)可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即可作準(zhǔn)線于,與拋物線交于,此時(shí)三點(diǎn)共線，此時(shí).又，所以周長(zhǎng)的最小值為故選：B2．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，圓心為，半徑，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和最小值可結(jié)合拋物線的定義，到軸距離為到焦點(diǎn)距離減去，則最小值為拋物線的焦點(diǎn)到圓心的距離減去半徑和，故最小值為=.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知點(diǎn)P在拋物線上，且，求的最小值．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，而且，又因?yàn)椋詴r(shí)，．因此所求最小值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【詳解】由題意知，，設(shè)，則，所以，

故當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B.2．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知拋物線：，，為上一點(diǎn)，則取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn).故答案為：.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，距離＝，【答案】【詳解】設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，則，因?yàn)?，且在此區(qū)間上隨著x的增大而增大，所以當(dāng)x＝0時(shí)，取得最小值，最小值為，則的最小值為.故距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，距離是.故答案為：，題型四：重點(diǎn)考查拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和差最值典型例題1．（2023春·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由拋物線可知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為記拋物線的焦點(diǎn)為，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3．故選：A．2．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為：．由拋物線的定義知：點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可知，的最小值是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為7．故選：C.

3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在此拋物線上移動(dòng)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】；【詳解】根據(jù)題意，作圖如下，設(shè)點(diǎn)在其準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義得，欲使取得最小值，就是使最小，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.所以取得最小值，此時(shí)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，為拋物線上的點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

精練核心考點(diǎn)1．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，過(guò)作于，由拋物線定義可知，所以，則當(dāng)共線時(shí)取得最小值，所以最小值為．故選：B．2．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖所示：

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為可知圓心，半徑為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離滿足，即；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為．故答案為：3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則，若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，可得，即，拋物線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)作直線的垂線，垂足為，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為（即到準(zhǔn)線的距離）.故答案為：；

題型五：重點(diǎn)考查拋物線焦半徑公式典型例題1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知的頂點(diǎn)在拋物線上，若拋物線的焦點(diǎn)恰好是的重心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，由重心的性質(zhì)有，又由拋物線的定義知，同理可得，又因?yàn)?，所以，故選：C．2．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知,所以有，帶入得，整理得，判別式恒成立，設(shè)，則易知，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為.故選：B3．（2023春·上海金山·高二上海市金山中學(xué)校考期末）已知拋物線(其中)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，且的最小值為，則點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為【答案】【詳解】設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，則①，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以②，由①②解得或，因?yàn)椋裕吹綊佄锞€的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湘府中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，過(guò)P作的垂線，垂足為A，若AF的傾斜角為，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【詳解】由題意，得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)K，，則，如圖，因?yàn)锳F的傾斜角為150°，所以，故，所以，故，解得，所以.故選：A.2．（2023秋·江西·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，為上的三點(diǎn)，若，則.【答案】【詳解】由題意知，設(shè)，，的橫坐標(biāo)分別為，，，由，得，所以，由拋物線的定義得.故答案為：

3．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┤鐖D，是拋物線上的一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，則.

【答案】10【詳解】依題意，過(guò)向軸作垂線，記垂足為，如下圖所示，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，.因?yàn)?，所?由，得，故.故答案為：

題型六：重點(diǎn)考查求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訏佄锞€的準(zhǔn)線為y軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【詳解】由題可知，動(dòng)拋物線的準(zhǔn)線為y軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,則,則,綜上所述,拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程為.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上；(4)焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【詳解】（1）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，可知拋物線焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則拋物線焦點(diǎn)可能在y軸正半軸或x軸負(fù)半軸上，則設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（3）由于直線與x軸的交點(diǎn)為，由題意可知拋物線焦點(diǎn)為，則，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為；（4）由題意拋物線焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，故，故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3，而且焦點(diǎn)在軸的正半軸上；(2)拋物線的焦點(diǎn)是.【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，而且，因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為.（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，而且因此，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，準(zhǔn)線方程為.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為；(2)準(zhǔn)線方程為.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)為在y軸的負(fù)半軸上，設(shè)焦準(zhǔn)距為p，則，即.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由拋物線準(zhǔn)線方程為知，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，并且，即，因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.題型七：重點(diǎn)考查拋物線范圍典型例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1，則p的取值范圍是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【詳解】∵設(shè)P為拋物線的任意一點(diǎn)，則P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線：x的距離，顯然當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值．∴，即p＞2．故選：D．2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知拋物線和所圍成的封閉曲線如圖所示,給定點(diǎn),若在此封閉曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn),滿足每一對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：顯然，過(guò)點(diǎn)與軸平行的直線與封閉曲線的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且這兩個(gè)點(diǎn)在同一曲線上．當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)分屬兩段曲線時(shí)，設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)為，，其中，且，則其關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，，所以這個(gè)點(diǎn)在曲線上，所以，即，所以，即，此方程的的解必須剛好有且只有兩個(gè)，當(dāng)時(shí)，其對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)剛好為，故，于是，且，，即，故選：．3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是．【答案】【詳解】由已知，，.如圖，設(shè)點(diǎn)，則，，在中，有，易知，則，則，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范圍是.故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【詳解】由題意知,設(shè)，則,所以當(dāng)時(shí),，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以.故選：B.

2．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，且為焦點(diǎn)，若為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為.【答案】【詳解】解：已知點(diǎn)在拋物線上，且為焦點(diǎn)，由定義知，，拋物線.設(shè)，由題意知，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值8，則的最小值為.故答案為：.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，是拋物線：上一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】5【詳解】設(shè)，則，，從而．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：5題型八：重點(diǎn)考查拋物線對(duì)稱性典型例題1．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，拋物線中時(shí)可得，且則，?。ㄈ鐖D）

，,又對(duì)稱性可知.故選；C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過(guò)2022的直線的條數(shù)是（

）A．4037 B．4044 C．2019 D．2022【答案】A【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物