河南省洛陽市孟津區(qū)重點中學2023-2024學年高三上學期12月月考數(shù)學試題（含答案）

高三上期數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、已知集合，，則()A. B. C.R D.2、設z是復數(shù)且，則的最小值為()A.1 B. C. D.3、設a，b，c均為正數(shù)，且，則()A. B.C. D.4、函數(shù)的圖象在點處的切線方程為()A. B. C. D.5、設，是雙曲線的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且，則的面積為()A. B.3 C. D.26、如圖，為了測量某濕地A，B兩點間的距離，觀察者找到在同一條直線上的三點C，D，E.從D點測得，從C點測得，，從E點測得.若測得，（單位：百米），則A，B兩點間的距離為()A. B. C.3 D.7、近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元.由前期市場調研可知：甲城市收益P(單位：萬元與投入a(單位：萬元滿足，乙城市收益Q(單位：萬元與投入A(單位：萬元滿足，則投資這兩座城市收益的最大值為()A.26萬元 B.44萬元 C.48萬元 D.72萬元8、已知冪函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)，任意，存在，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是().A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9、已知向量，，則下列命題正確的是()A.若，則B.若，則C.設，則當取得最大值時，D.的最大值為10、在公比為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，若，則下列說法正確的是()A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.11、已知函數(shù)，則下列結論正確的是()A.的最小正周期為B.的圖象關于點成中心對稱C.的圖象關于直線對稱D.的單調遞增區(qū)間是12、2020年上半年，中國養(yǎng)豬企業(yè)受豬價高位的利好影響，大多收獲史上最佳半年報業(yè)績，部分企業(yè)半年報營業(yè)收入同比增長超過1倍.某養(yǎng)豬場抓住機遇，加大了生豬養(yǎng)殖規(guī)模，為了檢測生豬的養(yǎng)殖情況，該養(yǎng)豬場對2000頭生豬的體重（單位：kg）進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是()A.這2000頭生豬體重的眾數(shù)為160kgB.這2000頭生豬中體重不低于200kg的有80頭C.這2000頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內D.這2000頭生豬體重的平均數(shù)為152.8kg三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、已知，則的值是___________.14、若復數(shù)在復平面上對應的點位于第二象限，則m的取值范圍是_______.15、已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則___________；若M，N是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為_________________.16、某大學選拔新生進“籃球”“電子競技”“國學”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計，新生是否通過考核選拔進入這三個社團相互獨立．某新生參加社團時，假設他通過考核選拔進入該校的“籃球”“電子競技”“國學”三個社團的概率依次為m，，n，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，則__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（10分）記的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.（1）求角A的大??；（2）若點D在邊BC上，AD平分，，且，求a.18、（12分）已知數(shù)列，，滿足，，，，.（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，證明：.19、（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面ABC，，，，E，F(xiàn)分別是AC，的中點.(1)證明:;(2)求直線EF與平面所成角的余弦值.20、（12分）如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，點M，A，B均在C上，點M位于第一象限，且三點共線，三點共線，C的離心率為的周長為.(1)求C的標準方程；(2)若的內切圓面積分別為，試求的最大值.21、（12分）某職稱晉級評定機構對參加某次專業(yè)技術考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定成績?yōu)?0分及以上者晉級成功，否則晉級失?。M分為100分）.

（1）求圖中a的值；

（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為能否晉級成功與性別有關：晉級成功晉級失敗總計男16女50總計附：0.400.250.150.100.050.025k0.7801.3232.0722.7063.8415.024（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望.22、（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.參考答案1、答案：A解析：因為，或，所以或，故選A.2、答案：C解析：表示在復平面內，表示復數(shù)z的點Z在以為圓心，以1為半徑的圓上，表示點Z到點的距離，數(shù)形結合得，的最小值為.故選C.3、答案：A解析：因為a，b，c均為正數(shù)，所以由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性得，，，所以.故選A.4、答案：A解析：，因為，所以，所以切線方程為，即，故選A.5、答案：B解析：通解：設，分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知，，又，所以，所以是直角三角形，所以.不妨令點P在雙曲線C的右支上，則有，兩邊平方，得，又，所以，則，故選B.秒解：設分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知，，又，所以，所以是直角三角形，所以（其中），故選B.6、答案：C解析：在中，，，則，.在中，，，則，由正弦定理，得.則在中，，，，由余弦定理得，則.故選C.7、答案：B解析：由題意可知：，設投資這兩座城市收益為y，則有，令，則有，該二次函數(shù)的對稱軸為，且開口向下，所以，故選：B8、答案：A解析：因為冪函數(shù)在上單調遞增，所以解得，即，當時，的值域為，又因為函數(shù)在R上為增函數(shù)，所以當時，的值域為，因為任意，存在，使得成立，即，所以，解得.故選A.9、答案：ACD解析：A項，若，則，即，故A項正確；B項，若，則，所以，故B項錯誤；C項，，其中，，故當時，取得最大值，此時，故C項正確；D項，，所以，即的最大值為，故D項正確.10、答案：ACD解析：因為，，所以有，因此選項A正確；因為，所以，因為常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項B不正確；因為，所以選項C正確；，因為當時，，所以選項D正確.故選：ACD11、答案：BCD解析：，A.的最小正周期為，錯誤；B.，所以圖象關于點成中心對稱，正確；C.，所以圖象關于直線對稱，正確；D.的單調遞增區(qū)間是，，即，，正確.故選：BCD.12、答案：BCD解析：由頻率分布直方圖可知，這一組的數(shù)據(jù)對應的小長方形最高，所以這2000頭生豬的體重的眾數(shù)為150kg，A錯誤；這2000頭生豬中體重不低于200kg的有(頭)，B正確；因為生豬的體重在內的頻率為在內的頻率為，且，所以這2000頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間內，C正確；這2000頭生豬體重的平均數(shù)為，D正確.故選BCD.13、答案：解析：.所以.所以.14、答案：解析：復數(shù)在復平面上對應的點位于第二象限.可得解得.故答案為：.15、答案：；解析：如圖，設D為AB的中點，連接PD，由題意知PD為圓錐的高，且，易知球O的半徑，所以，，所以；設MN的中點為C，連接PC，DM，則，易知，，所以，所以.過O點作，垂足為E，易知，則，又，則.設平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r，則，所以截面的面積為.16、答案：解析：設該新生“進入籃球社團”為事件A，“進入電子競技社團”為事件B，“進入國學社團”為事件C，則：“三個社團他都能進入”的概率為，“至少進入一個社團”的概率為，整理得到，故，故答案為：.17、答案：（1）（2）3解析：（1）因為，即化簡可得，由余弦定理可得，所以，且，則（2）由（1）知，由余弦定理可得，將代入，化簡可得，又因為AD平分，由角平分線定理可得，即，且，所以，又因為，則，結合余弦定理可得，解得，所以，則.18、（1）答案：證明過程見解析，解析：，，，，即，，，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又，，，，，，，即.（2）答案：證明過程見解析解析：由(1)，當n為偶數(shù)時，，故.當n為奇數(shù)時，.當n為偶數(shù)時，.綜上，.19、答案：（1）證明見解析（2）解析：(1)方法一：連接，因為，E是的中點，所以.

又平面平面ABC，平面，平面平面，

所以平面，則.

又因為，，

故.

所以平面.

因此.

方法二：連接，因為，E是AC的中點，所以.

又平面平面ABC，平面，平面平面，所以平面ABC.

如圖，以點E為原點，分別以射線EC，為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.

不妨設，則，，，，.

因此，.

由得.

(2)方法一：取BC中點G，連接EG，GF，則是平行四邊形.

由于平，故，所以平行四邊形為矩形.

由(1)得平面，則平面平面，所以EF在平面上的射影在直線上.

連接交于O，則是直線EF與平面所成的角(或其補角).

不妨設，則在中，，.

由于O為的中點，故，

所以.

因此直線EF與平面所成角的余弦值是.

方法二：設直線與平面所成角為.

由(1)可得，.

設平面的法向量為.

由得取，

故.

因此直線與平面所成的角的余弦值為.20、答案：(1).(2)的最大值為.解析：(1)由橢圓定義得，所以的周長為，解得，又C的離心率為，解得，所以，所以C的標準方程為.(2)易知，設，由條件知，直線的方程為，將其代入橢圓方程并整理可得，則，得，故.當時，直線的方程為，將其代入橢圓方程并整理可得，同理，可得，設的內切圓半徑分別為，因為，所以，當且僅當時，等號成立.若軸時，易知，此時，綜上，的最大值為.所以，即的最大值為.21、答案：（1）由頻率分布直方圖中各小長方形的面積總和為1，

可知，

解得.

（2）由頻率分布直方圖，知晉級成功的頻率為，

所以晉級成功的人數(shù)為，

填表如下：晉級成功晉級失敗總計男163450女94150總計2575100所以，所以有85%的把握認為能否晉級成功與性別有關.

（3）由（2）知晉級失敗的頻率為，

將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，此人晉級失敗的概率為，

所以X可視為服從參數(shù)為4，的二項分布，即，

故，

，

，

，

.

所以X的分布列為X012