勾股定理的發(fā)現(xiàn)

勾股定理目錄［隱藏］勾股定理最早的勾股定理《周髀算經(jīng)》簡介伽菲爾德證明勾股定理的故事勾股定理部分習題勾股定理的別名證明勾股定理最早的勾股定理《周髀算經(jīng)》簡介伽菲爾德證明勾股定理的故事勾股定理部分習題勾股定理的別名證明勾股定理［編輯本段］勾股定理勾股定理:在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定古埃及人利用打結作RT三角形理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理(PythagorasTheorem)。定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么aA平方+bA平方=cA平方;即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果三角形的三條邊a，b，c滿足aA2+bA2=cA2，如：一條直角邊是3,一條直角邊是四，斜邊就是3*3+4*4=X*X，X=5。那么這個三角形是直角三角形。(稱勾股定理的逆定理)來源：畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統(tǒng)上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據(jù)說畢達哥拉斯證明了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的一個特例，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，作為一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短得直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。有關勾股定理書籍《數(shù)學原理》人民教育出版社《探究勾股定理》同濟大學出版社《優(yōu)因培教數(shù)學》北京大學出版社《勾股模型》新世紀出版社《九章算術一書》《優(yōu)因培揭秘勾股定理》江西教育出版社［編輯本段］最早的勾股定理從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發(fā)現(xiàn)“勾股定理”的，這里只舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為“有一根長為5米的木梁（AB）豎直靠在墻上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離墻根（B）多遠？”他們解此題就是用了勾股定理，如圖設AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，貝0BD=l-h=5-1米=4米a=＜［l-（l-h）］=＜［5-（5-1）］=3米，..?三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股形。［編輯本段］《周髀算經(jīng)》簡介青朱出入圖《周髀算經(jīng)》算經(jīng)十書之一。約成書于公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規(guī)定它為國子監(jiān)明算科的教材之一，故改名《周髀算經(jīng)》?！吨荀滤憬?jīng)》在數(shù)學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。 《周髀算經(jīng)》使用了相當繁復的分數(shù)算法和開平方法。對于勾股定理，記曰： “數(shù)之法，出于圓方，方出于矩，距出于九九八十一，故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五.”三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青放并成玹方。依其面積關系有aA+bA=cA.由于朱方、青方各有一部分在玄方內(nèi)，那一部分就不動了。以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補虛，只要把圖中朱方（a2）的I移至I'，青方的II移至II，，III移至III'，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c2）.由此便可證得a2+b2=c2［編輯本段］伽菲爾德證明勾股定理的故事1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個 直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？那個小男孩頭也不抬地說： “請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7,那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。如下：解：在網(wǎng)格內(nèi)，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等于以斜邊為邊長的的正方形面積。勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，aA2;+bA2;=cA2;說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理成為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊cA2=aA2+bA2=9+16=25即c=5則說明斜邊為5。勾股定理的種證明方法（部分）【證法1】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點P.D、E、F在一條直線上，且RtAGEF絲RtAEBD,/EGF=/BED,?//EGF+/GEF=90°,/BED+/GEF=90°,「?/BEG=180º—90º=90º.又AB=BE=EG=GA=c,???ABEG是一個邊長為c的正方形..../ABC+/CBE=90º.?/RtAABC絲RtAEBD,/ABC=/EBD..../EBD+/CBE=90º.即/CBD=90º.又：/BDE=90º，/BCP=90º,BC=BD=a.?.?BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S,則【證法6】(項明達證明)做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP〃BC，交AC于點P.過點B作BM±PQ，垂足為M；再過點F作FN±PQ，垂足為N.?//BCA=90º,QP〃BC,「./MPC=90º,?/BM±PQ,「./BMP=90º,...BCPM是一個矩形，即/MBC=90º.?//QBM+/MBA=/QBA=90º,/ABC+/MBA=/MBC=90º,/QBM=/ABC,又.../BMP=90º，/BCA=90º,BQ=BA=c,...RtABMQ絲RtABCA.同理可證RtAQNF絲RtAAEF.從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法7】（趙浩杰證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為 a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF,AE為邊長做正方形FCJI和AEIG,EF=DF-DE=b-a,EI=b,FI=a,G,I,J在同一直線上，?.?CJ=CF=a,CB=CD=c,/CJB=/CFD=90º,RtACJB絲RtACFD,同理，RtAABG絲RtAADE,...RtACJB絲RtACFD絲RtAABG絲RtAADE.?./ABG=/BCJ,/BCJ+/CBJ=90º,/.ZABG+/CBJ=90º,/ABC=90º,?.?G,B,I,J在同一直線上，從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.【證法8】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結BF、CD.過C作CL±DE,交AB于點M,交DE于點L.AF=AC,AB=AD,ZFAB=ZGAD,AFAB絲AGAD,AFAB的面積等于，△GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，..?矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=..??正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積?..，即.［編輯本段］勾股定理部分習題第一章勾股定理一、勾股定理的內(nèi)容，勾股定理是怎樣得到的，從定理的證明過程中你得到了什么啟示？練習：1、 在左ABC中,/C=90°.(1)若a=2,b=3則以c為邊的正方形面積是多少？(2)若a=5,c=13.則b是多少？.(3)若c=61,b=11.則a是多少？(4)若a:c=3:5且c=20貝0b是多少？(5)若/A=60°且AC=7cm則AB=_cm,BC=_cm.2、 直角三角形一條直角邊與斜邊分別為8cm和10cm.則斜邊上的高等于—cm.3、 等腰三角形的周長是20cm,底邊上的高是6cm,則底邊的長為—cm.4、 △ABC中,AB=AC,/BAC=120°,AB=12cm,則BC邊上的高AD=_cm.5、 已知：△ABC中，/ACB=90°,CD±AB于D,BC=,DB=2cm，則BC=_cm,AB=_cm,AC=_cm.6、如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點 C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際游了520m，求該河流的寬度為。7、在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹 20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米。8、 已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是( )A、25B、14C、7D、7或259、 小豐媽媽買了一部29英寸(74cm)電視機，下列對29英寸的說法中正確的是A.小豐認為指的是屏幕的長度；B.小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度；C.小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長；D.售貨員認為指的是屏幕對角線的長度二、你有幾種證明一個三角形是直角三角形的方法？練習：(X經(jīng)典練習X)據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連結得一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括為“勾三，股四，弦五”。觀察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，..….發(fā)現(xiàn)這幾組勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過。計算0.5(9+1)與0.5(25—1)、0.5(25+1)，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出能表示7、24、25這一組數(shù)的股與弦的算式。根據(jù)(1)的規(guī)律，若用n(n為奇數(shù)且n>3)來表示所有這些勾股數(shù)的勾，請你直接用含n的代數(shù)式來表示它們的股和弦。答案：0.5(9+1)A2+0.5(25-1)A2=169=0.5(25+1)A20.5(13+1)A2+0.5(49-1)A2=0.5(49+1)A2股：0.5(nA2-1)弦：0.5(nA2+1)三角形的三邊長為(a+b)2=c2+2ab,則這個三角形是()A.等邊三角形；B.鈍角三角形；C.直角三角形；D.銳角三角形.1、 在AABC中，若AB2+BC2=AC2,則/A+/C=°。2、 如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1,則左ABC是()(A)直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)以上答案都不對已知三角形的三邊長分別是2n+1,2n+2n,2n+2n+1(n為正整數(shù))則最大角等于度.三角形三個內(nèi)角度數(shù)比為1:2:3，它的最大邊為M,那么它的最小邊是.斜邊上的高為M的等腰直角三角形的面積等于.3、 已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且/A=90°，求四邊形ABCD的面積。美國總統(tǒng)的證明方法圖各具特色的證明方法三角學里有一個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經(jīng)》提到，商高說過”勾三股四弦五”的話。下面介紹其中的幾種證明。最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由于八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等于兩個直角邊上的正方形之和。這里B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內(nèi)角和等于兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經(jīng)》中的“弦圖”。下圖是H.珀里加爾(Perigal)在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法。其實這種證明是重新發(fā)現(xiàn)的，因為這種劃分方法， labitibnQorra(826?901)已經(jīng)知道。(如：右圖)下面的一種證法，是H-E-杜登尼(Dudeney)在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等于邊長為c的正方形面積。下圖的證明方法，據(jù)說是L-達?芬奇(daVinci,1452?1519)設計的，用的是相減全等的證明法。歐幾里得(Euclid)在他的《原本》第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由于圖形很美，有人稱其為 “修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發(fā)往宇宙，和 “外星人”去交流。其證明的梗概是：(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。同理，(BC)2=KEBL所以(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2印度數(shù)學家兼天文學家婆什迦羅(Bhaskara，活躍于1150年前后)對勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；一部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有c/b=b/m，c/a=a/n,cm=b2cn=a2兩邊相加得a2+b2=c(m+n)=c2這個證明，在十七世紀又由英國數(shù)學家J.沃利斯(Wallis,1616?1703)重新發(fā)現(xiàn)。有幾位美國總統(tǒng)與數(shù)學有著微妙聯(lián)系。 G?華盛頓曾經(jīng)是一個著名的測量員。T?杰弗遜曾大力促進美國高等數(shù)學教育。 A.林肯是通過研究歐幾里得的《原本》來學習邏輯的。更有創(chuàng)造性的是第十七任總統(tǒng)J.A.加菲爾德(Garfield,1831?1888)，他在學生時代對初等數(shù)學就具有強烈的興趣和高超的才能。在 1876年，(當時他是眾議院議員，五年后當選為美國總統(tǒng))給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發(fā)表于《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得即a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。關于這個定理，有許多巧妙的證法(據(jù)說有近400種)，下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。證法1如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等于兩個小正方形面積之和即可。過C引CMIIBD,交AB于L,連接BC,CE。因為AB=AE,AC=AG/CAE=/BAG,所以△ACE^AAGBSAEML=SACFG（1）同法可證SBLMD=SBKHC（2）（1）+（2）得SABDE=SACFG+SBKHC,即c2=a2+b2證法2如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成一個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內(nèi)部有一個內(nèi)接正方形ABED，它的邊長為c,由圖可知。SCFGH=SABED+4xSABC,所以a2+b2=c2證法3如圖26-4（梅文鼎圖）。在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF?？梢宰C明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD,作DH±CF于H，貝0DHCK是邊長為a的正方形。設五邊形ACKDE的面積=S一方面，S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積=c2+ab（1）另一方面，S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積+2倍△ABC面積=b2+a2+ab.⑵由⑴，（2）得c2=a2+b2證法4如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA,CB為基礎完成一個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）?？梢宰C明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K,使GK=a,又作EH±GF于H，則EKGH必為邊長等于a的正方形。設五邊形EKJBD的面積為S。一方面S=SABDE+2SABC=c2+ab（1）另一方面，S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK=b2+ab+a2由⑴，（2）得出論證都是用面積來進行驗證：一個大的面積等于幾個小面積的和。利用同一個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見 /21010000ZvcmZ0720ggdl.doc勾股定理是數(shù)學上證明方法最多的定理之一一有四百多種證法！但有記載的第一個證明一畢達哥拉斯的證明方法已經(jīng)失傳。目前所能見到的最早的一種證法，屬于古希臘數(shù)學家歐幾里得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數(shù)學巨著《幾何原本》里。在中國古代的數(shù)學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。 每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4x（ab/2）+（b-a）2=c2化簡后便可得：a2+b2=c2亦即：c=（a2+b2）（1/2）趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。 以下網(wǎng)址為趙爽的“勾股圓方圖”：/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且有發(fā)展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來（出），移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)（入），結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。以下網(wǎng)址為劉徽的“青朱出入圖”:http://cimg.163.cOm/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif勾股定理應用非常廣泛。我國戰(zhàn)國時期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載：“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也?！边@段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據(jù)地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。勾股定理在我們生活中有很大范圍的運用.。勾股定理的16種驗證方法（帶圖）：http:/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc練習題：一個等腰三角形，三個內(nèi)角的比為1：1：10，腰長為10cm。則這個三角形的面積為解：由題意得此三角形各角角度為15度15的150度設底邊上的高為h底邊長為2t。易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10解得h=5(<6-<2)/2又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(<6-<2)/2t解得t=5(<6+<2)故面積s=th=50</CN>［編輯本段］勾股定理的別名勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為 “幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他學