高三數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)的求法1

2010屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)強(qiáng)化雙基系列課件

34《數(shù)列通項(xiàng)的求法》一、公式法二、迭加法若

an+1=an+f(n),則:若

an+1=f(n)an,則:三、疊乘法an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2).an=a1+

(ak-ak-1)=a1+

f(k-1)=a1+

f(k).

n-1k=1nk=2nk=2an=a1

…

=a1f(1)f(2)…f(n-1)(n≥2).

anan-1a2a1a3a2四、化歸法

通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃?

如配方、因式分解、取對數(shù)、取倒數(shù)等,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列.(1)若

an+1=pan+q,則:an+1-

=p(an-

).(3)若

an+1=pan+q(n),則:(2)若

an+1=

,則:panr+qan

an+11an

1=

·

+.prpq(4)若

an+1=panq,則:lgan+1=qlgan+lgp.五、歸納法

先計(jì)算數(shù)列的前若干項(xiàng),通過觀察規(guī)律,猜想通項(xiàng)公式,進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法證之.

例已知數(shù)列

{an}

滿足:a1=1,an+1=2an+3×2n-1,求

{an}

的通項(xiàng)公式.an=(3n-1)×2n-2an+1pn+1anpn=+

.q(n)pn+11.在數(shù)列

{an}

中,a1=1,

Sn=(n≥2),求

an.Sn-12Sn-1+1Sn-12Sn-1+1解:

由

Sn=知:1Sn1Sn-1-

=2.1Sn∴{}是以==1

為首項(xiàng),公差為

2

的等差數(shù)列.1S11a11Sn∴=1+2(n-1)=2n-1.∴Sn=.2n-11∵a1=1,當(dāng)

n≥2

時,an=Sn-Sn-1=-.(2n-1)(2n-3)2∴an=-

,n≥2.

1,n=1,(2n-1)(2n-3)2典型例題2.數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和

Sn=n2-7n-8,(1)求

{an}

的通項(xiàng)公式;(2)求

{|an|}

的前

n

項(xiàng)和

Tn.解:(1)當(dāng)

n=1

時,a1=S1=-14;當(dāng)

n≥2

時,an=Sn-Sn-1=2n-8,(2)由

(1)

知,當(dāng)

n≤4

時,an≤0;當(dāng)

n≥5

時,an>0;當(dāng)

n≥5

時,Tn=-S4+Sn-S4=Sn-2S4故

an=2n-8,n≥2.-14,n=1,=n2-7n-8-2(-20)∴當(dāng)

n≤4

時,Tn=-Sn=-n2+7n+8,=n2-7n+32.故

Tn=n2-7n+32,n≥5.-n2+7n+8,n≤4,

3.已知數(shù)列

{an}

中,a1=1,an+1=

an+1(n

N*),求

an.12解法一

∵an+1=

an+1(n

N*),12∴an=

an-1+1,an-1=

an-2+1.1212兩式相減得:an-an-1=

(an-1-an-2)

12∴{an-an-1}

是以

a2-a1=

為首項(xiàng),

公比為的等比數(shù)列.1212∴an-an-1=

(

)n-2=(

)n-1.

121212∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+

+()2+…+()n-1

121212=2-21-n.即

an=2-21-n.解法二

由解法一知

an-an-1=21-n,又

an=

an-1+1,12消去

an-1得

an=2-21-n.解法三

∵

an=

an-1+1,12令

an+

=

(an-1+

),12則

=-2.

∴

an-2=

(an-1-2).12∴{an-2}

是以

a1-2=-1

為首項(xiàng),

公比為的等比數(shù)列.1212∴an-2=-(

)n-1.即

an=2-21-n.3.已知數(shù)列

{an}

中,a1=1,an+1=

an+1(n

N*),求

an.124.數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和

Sn

滿足條件

lgSn+(n-1)lgb=lg(bn+1+n-2),其中,b>0

且

b

1.(1)求數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式;(2)若對n

N*,n≥4

時,恒有

an+1>an,試求

b

的取值范圍.解:(1)由已知得

lgSnbn-1=lg(bn+1+n-2),∴Snbn-1=bn+1+n-2(b>1).∴Sn=b2+(b>1).bn-1n-2當(dāng)

n=1

時,a1=S1=b2-1;當(dāng)

n≥2

時,an=Sn-Sn-1=b2+-b2-

bn-1n-2bn-2n-3bn-1(1-b)n+3b-2=.bn-1(1-b)n+3b-2,n≥2.b2-1,n=1,故

an=(2)由已知>對

n≥4

恒成立.bn-1(1-b)n+3b-2bn

(1-b)(n+1)+3b-2即

(n-3)b2-2(n-2)b+(n-1)>0

對

n≥4

恒成立.亦即

(b-1)[(n-3)b-(n-1)]>0

對

n≥4

恒成立.∵b>1,∴b>對

n≥4

恒成立.n-3n-1n-3n-1而當(dāng)

n=4

時有最大值

3,∴b>3.

5.設(shè)

Sn

是等差數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和.已知

S3與

S4的等比中項(xiàng)為

S5,

S3與

S4的等差中項(xiàng)為

1,求等差數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)

an.1513141314解法1:

設(shè)等差數(shù)列

{an}

的首項(xiàng)

a1=a,公差為

d,則通項(xiàng)公式為

an=a+(n-1)d,前

n

項(xiàng)和為

Sn=na+.n(n-1)d

21314依題意有S3

S4=(S5)2,(S5

0)15S3+

S4=2,1314由此可得:

1314(3a+3d)

(4a+6d)=

(5a+10d)2,14(3a+3d

)+

(4a+6d)=2.13251整理得3ad+5d2=0,4a+5d=4.解得d=0,a=1,或a=4.d=-

,512∴an=1

或

an=-

n+

.512532經(jīng)驗(yàn)證知

an=1

時,Sn=5;另一種情況時,Sn=-4,均合題意.∴an=1

或

an=-

n+

即為所求數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式.512532解法2:

∵Sn

是等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和,故可設(shè)

Sn=an2+bn,依題意得:1314(a

32+b

3)

(a

42+b

4)=(a

52+b

5)2,14(a

32+b

3)+

(a

42+b

4)=2.13251解得a=0,b=1,或b=.a=-,52665∴Sn=n

或

Sn=-n2+n.52665在等差數(shù)列中,n≥2

時,an=Sn-Sn-1,a1亦適合公式.∴an=1

或

an=-

n+

.512532整理得13a2+3ab=0,7a+2b=2.

5.設(shè)

Sn

是等差數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和.已知

S3與

S4的等比中項(xiàng)為

S5,

S3與

S4的等差中項(xiàng)為

1,求等差數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)

an.1513141314解法3:

∵Sn

是等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和,∴數(shù)列

{}

是等差數(shù)列.Snn+=2,S33S55S44依題意得:

=()2,

S55S33S44+=2,S33S44解得:S4=4,S3=3,S5=5,或S4=,S3=,S5=-4,85524∴a4=S4-S3=1,a5=S5-S4=1

或

a4=-,a5=-.528516∴an=1

或

an=-

n+

.512532

5.設(shè)

Sn

是等差數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和.已知

S3與

S4的等比中項(xiàng)為

S5,

S3與

S4的等差中項(xiàng)為

1,求等差數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)

an.1513141314解法4:

依題意

S3=3a2,S4=2(a2+a3),S5=5a3,整理得:3a2+a3=4,a2(a2+a3)=2a32,代入S55S33S44+=2,S33S44

=()2,

45解得a2=1,a3=1,或a3=-.a2=

,85∴an=1

或

an=-

n+

.512532

5.設(shè)

Sn

是等差數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和.已知

S3與

S4的等比中項(xiàng)為

S5,

S3與

S4的等差中項(xiàng)為

1,求等差數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)

an已知

an+1=2+

an(n∈N+),且

a1=a,求

an.12解:

a1=a

a2=2+a

12=4-21+2-1a,故猜想:an=4-23-n+21-na,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:a5=2+a4

12a3=2+a2=3+a

1214=4-20+2-2a,a4=2+a3=+a

127218=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,證明從略.

故an=4-23-n+21-na.

解法二:

構(gòu)造等比數(shù)列求解(略).

7.設(shè)數(shù)列

{an}

是公差不為

0

的等差數(shù)列,Sn

是數(shù)列

{an}

的前

n

項(xiàng)和,且

S32=9S2,S4=4S2,求數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式.解:設(shè)等差數(shù)列

{an}

的公差為

d,由

Sn=na1+及已知條件得:n(n-1)d

2(3a1+3d)2=9(2a1+d),①4a1+6d=4(2a1+d),

②由

②

得:d=2a1,代入

①

有:9a12=4a1.解得:a1=0

或

a1=.49當(dāng)

a1=0

時,d=0,與已知條件矛盾,舍去;當(dāng)

a1=時,d=.4989∴an=+(n-1)=n-.

49894989故數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式為an=n-.

4989

8.已知數(shù)列

{an}

是等差數(shù)列,且

a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式;(2)令

bn=an

3n,求數(shù)列

{bn}

前

n

項(xiàng)和的公式.解:(1)設(shè)數(shù)列

{an}

的公差為

d,則由已知得

3a1+3d=12,∴d=2.∴an=2+(n-1)

2=2n.故數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)公式為

an=2n.(2)由

bn=an

3n=2n

3n

得數(shù)列

{bn}

前

n

項(xiàng)和Sn=2

3+4

32+…+(2n-2)

3n-1+2n

3n

①∴3Sn=2

32+4

33+…+(2n-2)

3n+2n

3n+1②將

①

式減

②

式得:-2Sn=2(3+32+…+3n)-2n

3n+1=3(3n-1)-2n

3n+1.

∴Sn=+n

3n+1.3(1-3n)2又

a1=2,再見；

刀片刺繩uxd30vzu后退著擺著手說：“小青姐，你，你聽我說，這，這絕對不可以的！”一瞬間，小青徹底呆了！耿正眼看著小青遞手帕的手就好像凝固了一樣一動不動地伸著，而兩行熱淚卻撲簌簌滾落下來，嘴里夢囈般地念叨著：“這是為什么？這是為什么?。俊贝饲榇司?，原本非常善良正直的耿正實(shí)在是于心不忍