2023屆河南省豫北中原名校大聯(lián)考高三年級上冊10月份大聯(lián)考數(shù)學（理）試題（解析版）

2023屆河南省豫北中原名校大聯(lián)考高三上學期10月份大聯(lián)

考數(shù)學(理)試題

一、單選題

1.已知集合4={力=2向琲,B=?+x-240},則Au5=()

A.[-2,2]B.[-2,1]C.[0,1]D.[0,2]

【答案】A

【分析】先將兩個集合化簡，用區(qū)間表示法表示，然后求并集即可.

【詳解】因為—IWsinxWl,所以0卦山工區(qū)1,得042忖M42,所以集合

A={y|y=2卜inx|}=[0,2]；因為父+》_240,得(了+2乂萬一1)40,解得—2MxS,

所以集合8={n爐+。一240}=[—2,1],所以AUB=[-2,2].

故選：A

2.已知平面向量￡與坂的夾角為弓，若W=3,B+B卜屈，則同=()

A.2B.3C.2百D.4

【答案】D

【分析】由+B卜而兩邊平方化簡可求得答案

【詳解】由B+耳=至平方可得|?|2+區(qū)1+2d出=13,

因為W=3,平面向量￡與B的夾角為夸，

所以用+|t|2+2|a|-|S|cos-^=|?|2+9-3同=13即同--3同一4=0,

解得同=4或同=-1(舍去)，

故選：D

3.#sin(tz+—)=-,則sin(2a+2)=()

656

7「16-7-16

AA.-----B.-----C.—D.—

25252525

【答案】C

【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式和誘導公式即可求解.

【詳解】sin(a+^)=|,.,.cos[2(a+當]=1-2sirP(a+￡)=三，

656625

sin(2a+—)=sin(2a+—+—)=cos(2tz+—)=—

632325

故選：c

4.已知虛數(shù)z滿足z2-z+l=0,則|z|=()

A.0B.1C.0或1D.2

【答案】B

【分析】設虛數(shù)Z=4+以將Z代入，得出“力,計算回即可.

【詳解】解油題知,設虛數(shù)z=a+bi,a,bwR,代入z?_z+1=0可得

a2-a+l-h2)+(2ab-b)i=0

a2-a+\-b2=0

2ab-b=0

b=±——

/-Q+1=0人2

可得2

b=。商或

a=-

2

故Z=；±—i,.-.|z|=l,

22

故選:B.

5.已知｛%｝為等比數(shù)列，其公比為g,設〃：夕>1,廣。2022<。2023，則〃是〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】取％）22<0,利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.

【詳解】當4>1時,右。2022<。，則。2023=。20224<”2022，即P*

另一方面,?。ィ?2<0，由外022<出023="2022<7，可得”1且即夕斐廠.

因此，。是r的既不充分也不必要條件.

故選：D.

6.我們知道二氧化碳是溫室性氣體，是全球變暖的主要元兇.在室內(nèi)二氧化碳含量的

多少也會對人體健康帶來影響.下表是室內(nèi)二氧化碳濃度與人體生理反應的關系：

室內(nèi)二氧化碳濃度（單位：PPm）人體生理反應

不高于1000空氣清新，呼吸順暢

1000-2000空氣渾濁，覺得昏昏欲睡

2000?5000感覺頭痛，嗜睡，呆滯，注意力無法集中

大于5(XX)可能導致缺氧，造成永久性腦損傷，昏迷甚至死亡

《室內(nèi)空氣質量標準》和《公共場所衛(wèi)生檢驗辦法》給出了室內(nèi)二氧化碳濃度的國家標

準為：室內(nèi)二氧化碳濃度不大于0.1%（0.1%即為lOOOppm）,所以室內(nèi)要經(jīng)常通風換

氣，保持二氧化碳濃度水平不高于標準值.經(jīng)測定，某中學剛下課時，一個教室內(nèi)二氧

化碳濃度為2000ppm,若開窗通風后二氧化碳濃度＞%與經(jīng)過時間，（單位：分鐘）的

關系式為y=0.05+/le＜（/leR），則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要開窗通

風時間至少約為（參考數(shù)據(jù)：ln3=1.099,ln5-1.609）（）A.10分鐘B.11分鐘

C.12分鐘D.20分鐘

【答案】A

【分析】由r=0,y=0.2可求得2的值，然后解不等式＞40］，可得結果.

【詳解】由題意可知，當r=o時，y=0.05+4=0.2,可得4=0.15,則y=0.05+0.15/；，

由y=0.05+0.15eF40.1，可得fN91n3*9.891,

故該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要開窗通風時間至少約為10分鐘.

故選：A.

7.在中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,2acos2^=a+c,則AABC為（）

A.鈍角三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角

形

【答案】C

【分析】利用二倍角公式和正弦定理進行化簡，結合三角形內(nèi)角的范圍即可得到答案

【詳解】由24cos2O=a+c結合正弦定理可得2sinA?匕90=sinA+sinC,

22

即sinA+sinAcos8=sinA+sinC,

所以sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

所以cosAsin3=0,

因為sin8＞0,所以cosA=0,

7T

因為所以A=/,故AMC為直角三角形，

故選：c

8.已矢口函數(shù)/（x）=3"+2：inx+"C°〃x的最大值與最小值之和為6,則實數(shù)a的值為（）

3+cosx

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)g(x)=；^二,X€R為奇函數(shù)，f(x)=r+.,2sg求解即可.

34-cosX3+COSX

■、斗”、3〃+2sinx+〃cosx〃(3+cosx)+2sinx2sinx』、、，2二八

【詳解】解：/(x)=----------------=---------------=a+-------，定乂域為R,

3+cosx3+cosx3+cosx

2sinx

令g(x)=,xeR

3+cosx

因為g(-x)=-；sm"=-g(x),所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù),

J)IVVo人

設g（x）的最大值為M,最小值為m,

所以M+m=O,

因為/,（X）max=a+MJ（X）min=。+"1，函數(shù)/⑴的最大值與最小值之和為6,

所以/(冷皿+/(x)mM=2a+M+m=2a=6,解得4=3.

故選：B

9.已知等差數(shù)列｛q｝的公差不為0,設S*為其前〃項和，若Sg=0,則集合

｛小=S*,左=1,2,…,2023｝中元素的個數(shù)為（）

A.2022B.2021C.2015D.2019

【答案】D

【分析】根據(jù)S,=o可得出4、d的等量關系，求出集的表達式，利用二次函數(shù)的對稱

性和單調(diào)性可得出集合｛也=&?=1,2,…,2023｝中元素的個數(shù).

8x9

【詳解】因為59=94+;一”=94+36〃=0,可得q=-4d,且dwO,

81

T

且數(shù)列｛耳｝（425）單調(diào)遞增,

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知5=$8，S2=S7,其=$6，S4=S5,

故集合3|x=1,%=1,2,…,2023｝中元素個數(shù)為2023-4=2019.

故選：D.

jr

10.已知函數(shù)/(x)=sin@x-cos3x(3>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為彳，則

下列結論錯誤的是()

A./(x)的圖象關于點卜署,。)對稱

B.“X)在《號上單調(diào)遞增

C.在0,y上的值域為

D.將/(x)的圖象向右平移9個單位長度，得到的函數(shù)圖象關于y軸對稱

O

【答案】C

【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出0,即可得到函數(shù)

的解析式，由正弦函數(shù)的對稱性可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性通過解不等式可判斷B；

根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的性質直接求解可判斷C；由函數(shù)圖象的平移變換，結合余弦

函數(shù)的性質可判斷D

【詳解】解:/(x)=sin(ox-coscox

TT

???函數(shù)/(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為T,

TT2才

?二函數(shù)的最小正周期是Wx2=),，7="二'，

2co

?*.69=2,/(x)=5/2sin^2x——'j,

/[一所>,in1一,一J卜sin(—%)=0,，f(力關于(一對稱，故A正確;

由一]+2EW2工一?+eZ,解得一2+E<x<+kn,kGZ,

冗37r7TTTTT37r

所以/(x)的一個單調(diào)增區(qū)間為一^，丁，而一V，

ooJ[_124J[_00

jrjr

在-正,了上單調(diào)遞增，故B正確；

-TT則—工42x-%4。乃，所以—也〈sinjzx—

當04XJ時，<0<2X<TT,

4442I4J

故C錯誤;

將/(x)的圖象向右平移！個單位長度得到

O

y=&sin2卜-小-2=J^sin12》一M=-Jicos2x關于》軸對稱，故D正確.

故選：C

11.在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛q｝中，4、的、4構成公比不為1的等比數(shù)列，S“是

\--—|的前"項和.若WweN*,5?<—,則4的最小值為()

A.-B.-C.1D.2

【答案】A

【分析】設等差數(shù)列｛q｝的公差為d,則卬>。且d>0,根據(jù)已知條件可得出d與卬的

關系式，求出數(shù)列｛%｝的通項公式，再利用裂項相消法求出S,,,根據(jù)題意可得出關于q,

解之即可.

【詳解】設等差數(shù)列｛q｝的公差為d,則4>。且d>(),

由已知可得W=a1a6,即(q+d)~=q(q+5d),可得d=3q,

所以，4,=4+(〃-1”=(3〃一2)4,

,]=I=_J______

a“a“+i(3〃-2)(3〃+l)a：3a；13"-23n+1J'

所以，S?=-^-[l--+---+--+--------=一一[<工，

1"3。鼠4473n-23n+lJ3a；(3n+1)3a：

c11、11

V/7eN",S“<一,貝|J一可得q2；,

443q3

因此，6的最小值為;.

故選：A.

12.已知a,h,ce(O,l),且e"ln2=2a,391n2=8"2ec-2=c,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>h

【答案】B

【分析】將e"ln2=2a轉化為《=2、3e'Tn2=8b轉化為且=』-,2e"2=c轉化為

aIn2h3In2

c2e”

上e=上e，作出/。)=^的圖像，根據(jù)%>%>%，可得a>c>b.

c2x

【詳解】構造函數(shù)/1)=《(0<%<1),f'(x)=(X~')eX<0,

XX

???函數(shù)/(x)=《在(0,1)上單調(diào)遞減，f(l)=e,

X

e"ln2=2a可轉化為f=2,3苫1：12=86可轉化為或=—§—,

aIn2b3ln2

2ei=c可轉化為三=更，

c2

下面比較乂=吃%=上,％=3的大小關系，

In231n22

顯然:y2>yt,

2e24-e21n2ln(e2)2-ln2e：

y-y=-------=---------=-------------，

13In2221n221n2

設g(f)=〃—2',由丫=產(chǎn)和丫=2，的圖像可知：

當f>4時，2'>『,Fije2>4,所以21>(e?)2,

所以-%<0，即)4<%.

8e216-3e2In2ln(e2)8-ln8c；

>2-y,=--------=-----------=-------------

2331n2261n26In2

設/2。)=/-8',y=/"和y=8'的圖像如圖所示:

因為2$>82,所以于0e(0,2),使得曜=8"，

所以當2<f<8時，產(chǎn)>8、而2《2<8,所以@)8>81，

所以、2-%>。，即%>為，

綜上：%>%>/,

則a,6,c分別函數(shù)/(x)=J與直線必=工，必=」一，%=又的交點橫坐標，

xIn23In22

如圖所示:

【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之

中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，

抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對

函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.

根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.

許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

二、填空題

13.已知“eR,若復數(shù)2=/一。-2+(/+3〃+2)為純虛數(shù)，則〃=

【答案】2

【分析】利用純虛數(shù)的概念，實部為零且虛部不為零，解出。即可

【詳解】因為z=6-a-2+(〃+3a+2)i為純虛數(shù)，

CT—a—2=0

所以解得a=2

a2+3a+2w0

故答案為：2

14.已知/(x)=e、-#,若曲線y=〃x)在處的切線方程為y=fer+e,則

bn

cos——=.

a

【答案】-1

【分析】由導數(shù)的幾何意義列方程即可求解.

【詳解】當％=1時,y=b+e9所以/6=e-“="e,

即。+。=0①，

又((x)=e*-2or,可得/'⑴=e-2a=匕②,

由①②可得：a=e,b=-e,

hir

所以COS—=COS(-7C)=-1.

故答案為：-1.

15.己知/(x)=e"-；?x2-x-l(a>0),若VxNO,/(x)20恒成立，則實數(shù)。的取值范

圍為.

【答案】{?1?>1}

【分析】首先確定/(0)=0,確定/(x)在［0,y)最初單調(diào)性應該是單調(diào)遞增，在求出/(x)

的一次導數(shù)和二次導數(shù)，分類/(X)在〃的不同范圍下，x)的單調(diào)性，最后得出答案.

【詳解】由/(x)=e"—(奴?—x—1可知/(x)=ae'-ax-X,

設〃(x)=ae'"-or-1,則h\x)=a2^-a

令h\x)-a2etix-a=0,解得x=，ln，,

aa

當xe0,-ln-時，hXx)<0；當xe時，h\x)>0,

aaaa)

即/(幻在單調(diào)遞減，在LnL+s］單調(diào)遞增

aa)aa)

即小訃In-1

ae-In——l=\na

mina

若lna<0,則,f(x)則在［0內(nèi))單調(diào)遞減，其中

aa

因為/(0)=0,則VxNO,.f(x)20不能恒成立;

故InaNO,使得/'(x)min20,f(x)在［0,+8)單調(diào)遞增，此時f(x)的取值范圍滿足題意,,

解出“21

故答案為：

【點睛】思路點睛：

高中考查函數(shù)求導的題型中，給出的函數(shù)類型一般是有限單調(diào)型，故求函數(shù)恒成立問題

時，可先判斷端點值，根據(jù)端點值預測函數(shù)單調(diào)性的走向，再求出導數(shù)，證明自己的預

測.

以此題為例：先判斷出.f(0)=0,可預測Ax)的單調(diào)性應該是單增型或者先增后減再增

型，以此判斷其導數(shù)應該是恒大于等于0或者先大于0,討論情況證明即可.

三、雙空題

16.如圖為矩形ABCQ與半圓。的組合圖形，其中他=24）=2,E為半圓弧上一點,

EFVAB,垂足為F,點P在線段AZ）上，且PE=PP,設NCOE=。（04。＜］），則！PEF

的面積S與。的關系式為S=；S的最大值為.

【分析】設斯與C。交于點G,根據(jù)題意可得到EE3G,通過三角形面積公式以及

三角函數(shù)的化簡即可得到S與。的關系式，利用三角函數(shù)的性質即可求得最值

【詳解】設EF與CD交于點G,

根據(jù)題意可得EF=EG+GF=QEsin6+1=l+sin6?,

DG=DO+OG=1+OEcos0=1+cos0,

因為跖_LAB,ADJ.AB,所以AD//EF,

所以！PEF的面積

S=SJ*=；EF.DG=；(1+sin0)(1+cos。)=g(sin0+cos0+sinSeos6+1)

2

1「.A,(sin0+cos6?)-l/I(sin?+cose)2\.n八、1

=-sine+cos6+---------------------+1---------------—+-(sin0+cos61)+-

22424

=—（sin0+cos0+l）2=~>/2sin|+―|+1,其中046〈1，

441I4j

因為OKdv萬，所以￡<，+￡<斗，

444

所以-*sin]吒卜1,

所以當且僅當。=5時，sin[+?）取最大值為1,

所以S的最大值為[（及+1）2=土逑，

44

故答案為:斗夜sin/e+A+l]（046<%）；3+2近

414/4

四、解答題

2

17.已知S“為數(shù)列｛為｝的前〃項和，且4=1,Sn=nan.

⑴求。2，。3；

（2）求｛%｝的通項公式.

【答案】（1）〃2=7，%=二,

3o

【分析】（1）將〃=2和〃=3代入即可求值；

（2）根據(jù)g和S“的關系，結合累乘法即可求解.

【詳解】（1）當〃=2時，S2=4a2,即4+42=442,

又4=1,所以%=g,

當〃=3時，有q+%+%=9%，解得

(2)因為S.=〃2?！?，所以=(”+1)24+],

兩式相減得：S?+l-S?=(〃+1)2〃用一〃2%,

即4+1=("+1)2%-〃%.，

2

化簡得：n(n+2)a?+l=nan,

a?^n

所以5+2Mm=na?,BP-=—r,

an〃+,

W%an12n-\

/.an=a}xix-x???x—=Ix-x—x…x-----

a}a2a〃_]34〃+1

化簡得：％==八?

〃("+1)

2

故{4}的通項公式4=“(“+[).

sin(2;r-0)cos(萬+0)cosl^+0Icos弩-0

18.(1)已知2,求cos10；

cos(4-ff)sin(3^-6)sin(一乃一6)sin[半+0

V10

(2)已知a,4且sina=V，sin[}=—>求a+尸的值.

510

【答案】（1）I;⑵；

【分析】（1）利用誘導公式可得tan6=-2,然后利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的基

本關系即可求解;

（2）先利用同角三角函數(shù)的基本關系求出cose,cos尸，再利用兩角和的余弦公式結合

范圍進行求解

1\71j=cosf^-0j=-sin0,sin[9半萬+O：=sin[7g1+e)=cose,

【詳解因為cos

22

所以

sin(2^--6)cos(;r+6)cos(g。Icos

cos(笈-6)sin(3^--0)sin(一左一6)sin(半+6

-sin^(-cos^)(-sin^)(-sin^=_sin￡=_ta^=2>即1ali”一2

-cos8sin。sin8cos0cos0

cos20-sin201-tan203

litcos20=cos2^-sin20=

cos2^+sin2^1+tan265

,Ksina=—,sin〃=@^,

(2)因為a,

510

所以cosa=V1-sin2a=~~，cos/3=-y/l-sin2/7=~~~，

所以儂—閉心…”…叱竽^嚕一去嚕呼,

（0，1）所以。+/€（0,兀）,

因為。，Bw

兀

所以a+y

19.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且asin（3—C）=〃sin（A-C）.

(1)證明：a=h；

12

(2)若c=5,cosC=—,求△ABC的面積.

【答案】(1)證明見解析

小、125

⑵工

【分析】(1)利用正弦定理結合兩角差的正弦公式化簡可得出sin(A-8)=0,分析可得

出A=3,即可證得結論成立；

(2)利用余弦定理可求得標的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系求出sinC的值，再利

用三角形的面積公式可求得結果.

【詳解】⑴解：由asin(8-C)=Asin(A-C)及正弦定理可得

sinAsin(B-C)=sinBsin(A-C),

即sinAsinBcosC—sinAcosBsinC=sinAsinBcosC-cosAsinSsinC，

BPsinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinCsin(4—B)=0,

?.?A、B、CG(0,7T),則sinC>0,所以，sin(A-B)=0,

則A-3=(),所以，A=Bf故a=A.

(2)解：由余弦定理可得C2=25=a2+b2-2abcosC=2a2——a2=—a2,

12s

COSC=—>0,則。為銳角，故sinC==j,

1313

m。1,.「113x255125

因此,5AA8C=-^sinC=-x—x—.

TT

20.在平面四邊形48co中，AB=4)=20,ZBAD=-NBCD號.

(1)若=求BC的長;

(2)求四邊形A6co周長的最大值.

【答案】⑴心吟

（2）40+^^.

3

【分析】(1)分析可知為等邊三角形，求出BD的長，以及NBDC,利用正弦定

理可求得8c的長;

(2)利用余弦定理結合基本不等式可求得BC+8的最大值，進而可求得四邊形

周長的最大值.

【詳解】⑴解：連接B。,

因為AB=A￡>=20,ZBAD=,故△ABO為等邊三角形，:.BD=20,

^CBD=ZABC-AABD=,則ZBOC=兀一/BCD—NC3O=巴，

123124

，

百?十一BDBCg、i叱B￡>Sn420A/6

由正弦7E.理得-———~?所以，BC=------

sinZBCDsinZBDCsin—3

.T

2TE

（2）解：由余弦定理可得400=BD?=BC2+CD2-2BC-CDcos—=BC2+CD2+BCCD

=（叱+8"皿（叱+8）2.%8）、3（?。?,

所以，BC+CO4處8,當且僅當8C=C￡>=^^?時，等號成立.

33

因此，四邊形48co周長的最大值為40+竺如.

3

21.在數(shù)列｛4｝中，4=1,%=3,%=7,且數(shù)列｛q+「4｝為等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

(2)令〃,=(2n-l)a?,求也｝的前n項和5?.

【答案】⑴怎=2"-1

⑵S“=（2n-3）x2n+1-M2+6

【分析】（1）由題知〃向-4,=2",進而判斷［會是首項為公比為g的等比數(shù)列

即可求得答案；

（2）根據(jù)題意d=（2w—1）%=（2〃—1）2"-（2〃-1）,進而根據(jù)分組求和和錯位相減法求

和求解即可.

【詳解】⑴解:因為4=1,%=3,%=7

所以。2-％=2嗎一。2=4,

因為數(shù)列｛。用-4｝為等比數(shù)列，以*=2,

&一囚

所以，數(shù)列｛，?-q｝為等比數(shù)列，首項、公比均為2,

所以—-4=2"

所以，%-4=2"兩邊同除以2向得翳［?果+；,

所以爵-1=；住-1），

又因為g-l=」NO,

22

所以仔-11是首項為公比為g的等比數(shù)列，

所以±1=-卜（y=+，

所以%=2"-1.

（2）解：因為q=2*7,

所以仇=（2"-1）%=（2〃—1）2"-（2"-1）

記數(shù)列｛（2〃-1）2"｝的前〃項和乙，

貝I」7；,=1x21+3x22+5x2,+?..+（2〃一3）x2"T+（2〃-1）x2",

27；,=lx22+3x23+5x24+.--+（2n-3）x2）,+（2n-l）x2,,+',

所以-7；=lx2i+2x（22+23+...+2"T+2"）-（2"—l）x2"M

22（1-2H-'）

=2'+2x-（2/j-l）x2n+,=（3-2n）x2,,+1-