專題3.7直線與圓錐曲線的綜合問題

專題3.7直線與圓錐曲線的綜合問題題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題型二弦長問題題型三中點弦問題題型四定點問題題型五定值問題題型六定直線問題題型七三角形（四邊形）問題題型八求參數(shù)范圍問題題型九雙切線問題題型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定2．若直線與橢圓總有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．直線與雙曲線的交點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值為.5．直線與雙曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)．6．已知直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)a的值為.7．如圖，已知直線和橢圓．m為何值時，直線l與橢圓C：

(1)有兩個公共點？(2)有且只有一個公共點？(3)沒有公共點？題型二 弦長問題8．已知橢圓的長軸長為，焦點是、，點到直線的距離為，過點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)求線段的長．9．直線與橢圓交于兩點，記的面積為.(1)當，時，求的取值范圍；(2)當，時，求直線的方程.10．已知雙曲線經(jīng)過點，且其兩條漸近線相互垂直．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的直線與雙曲線相交于不同的兩點，若的面積為（為坐標原點），求直線的方程．11．已知雙曲線，焦點到漸近線的距離為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點，若，求的值．12．已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實軸長的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點，求.13．已知拋物線：，坐標原點為，焦點為，直線：.(1)若直線與拋物線只有一個公共點，求的值；(2)過點作斜率為的直線交拋物線于,兩點，求的面積．題型三 中點弦問題14．直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，線段中點的縱坐標為1，O為坐標原點，則O到直線的距離為（

）A． B． C． D．15．設(shè)，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（

）A． B．C． D．16．（多選）已知橢圓的焦點分別為，，設(shè)直線l與橢圓C交于M，N兩點，且點為線段的中點，則下列說法正確的是（

）A． B．橢圓C的離心率為C．直線l的方程為 D．的周長為17．已知橢圓的長軸長為，是上一點.(1)求E的方程；(2)若是上兩點，且線段的中點坐標為，求的值.18．在平面直角坐標系中，已知橢圓：，直線：（為實數(shù)且）與橢圓交于，兩點.(1)若直線過橢圓的右焦點，求的面積；(2)線段的中點為，求直線的斜率.19．已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為.20．已知雙曲線E：的左、右焦點分別為，，斜率為2的直線l與E的一條漸近線垂直，且交E于A，B兩點，.(1)求E的方程；(2)設(shè)點P為線段AB的中點，求直線OP的方程.題型四 定點問題21．橢圓的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，點在上.已知面積的最大值為，且與的面積之比為.(1)求的方程；(2)不垂直于坐標軸的直線交于兩點，與不重合，直線與的斜率之積為.證明：過定點.22．已知為橢圓：上一點，長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點，并求出這個定點坐標.23．已知圓，為圓內(nèi)一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點，當點在圓上運動時.(1)求點的軌跡的方程；(2)已知圓：在的內(nèi)部，是上不同的兩點，且直線與圓相切.求證：以為直徑的圓過定點.24．已知點在雙曲線上．(1)點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；(2)點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．25．已知雙曲線的左右焦點分別為，點在雙曲線上，若，且雙曲線焦距為4．(1)求雙曲線的方程；(2)如果為雙曲線右支上的動點，在軸負半軸上是否存在定點使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．26．在平面直角坐標系中，頂點在原點，以坐標軸為對稱軸的拋物線經(jīng)過點.(1)求的方程；(2)若關(guān)于軸對稱，焦點為，過點且與軸不垂直的直線交于，兩點，直線交于另一點，直線交于另一點，求證：直線過定點.27．已知過點的直線與拋物線交于兩點，過線段的中點作直線軸，垂足為，且.(1)求拋物線的方程；(2)若為上異于點的任意一點，且直線與直線交于點，證明：以為直徑的圓過定點.題型五 定值問題28．已知A，B為橢圓的左、右頂點，過其焦點的直線與橢圓交于C，D兩點，并與軸交于點(異于A，B)，直線，交于點，求證：為定值.29．已知橢圓離心率等于且橢圓C經(jīng)過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標原點，直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．30．已知橢圓C：過點，且．(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l交C于點M，N，直線分別交直線于點P，Q．求證：為定值．31．已知F為拋物線C的焦點，過F的直線交C于A，B兩點，點D在C上，使得的重心G在x軸的正半軸上，直線，分別交軸于Q，P兩點.O為坐標原點，當時，.(1)求C的標準方程.(2)記P，G，Q的橫坐標分別為，，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請說明理由.32．在平面直角坐標系中，已知圓心為的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)已知及曲線上的兩點和，直線經(jīng)過定點，直線的斜率分別為，求證：為定值．33．已知雙曲線：的右焦點為，離心率.(1)求的方程；(2)若直線過點且與的右支交于M，N兩點，記的左、右頂點分別為，，直線，的斜率分別為，，證明：為定值.34．已知雙曲線過點和點．(1)求雙曲線的離心率；(2)過的直線與雙曲線交于，兩點，過雙曲線的右焦點且與平行的直線交雙曲線于，兩點，試問是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請說明理由．題型六 定直線問題35．已知橢圓：，為橢圓的右焦點，三點，，中恰有兩點在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)點為橢圓的左右端點，過點作直線交橢圓于，兩點（不同于），求證：直線與直線的交點在定直線上運動，并求出該直線的方程.36．已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．37．已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．38．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線交于兩點，直線與相交于．求證：點在定直線上．39．在平面直角坐標系中，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標原點，對稱軸是坐標軸，右支與x軸的交點為，其中一條漸近線的傾斜角為.(1)求C的標準方程；(2)過點作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，在線段上取一點E滿足，證明：點E在一條定直線上.40．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線的焦點分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF．

(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求的方程?2)過點A的直線l與交于P，Q兩點，，若點M滿足，證明：點M在一條定直線上．41．已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當?shù)男甭蕿闀r，．(1)求的標準方程；(2)設(shè)為直線與的交點，證明：點在定直線上．題型七 三角形（四邊形）問題42．已知分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上(頂點除外)任意一點，若的角平分線與以為直徑的圓交于點，則的面積的最大值為（

）A． B．C． D．43．已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標原點），則與面積之和的最小值是．44．已知橢圓的離心率為，點在C上，O為坐標原點.(1)求C的方程;(2)已知直線，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.①證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.②若，求△OAB面積的最大值，并求此時直線l的方程.45．設(shè)拋物線的焦點為上點滿足.(1)求拋物線的方程；(2)已知正方形有三個頂點在拋物線上，求該正方形面積的最小值.46．已知橢圓C：的左?右焦點分別為，，左頂點為D，離心率為，經(jīng)過的直線交橢圓于A，B兩點，的周長為8.(1)求橢圓C的方程；(2)過直線上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M，N，①證明：直線MN過定點；②求的最大值.47．在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足.記的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線交于，兩點，，為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.48．已知雙曲線：，雙曲線與共漸近線且經(jīng)過點

(1)求雙曲線的標準方程．(2)如圖所示，點是曲線上任意一動點（第一象限），直線軸于點，軸于點，直線交曲線于點（第一象限），過點作曲線的切線交于點，交軸于點，求的最小值．題型八 求參數(shù)范圍問題49．已知是拋物線上三個動點，且的重心為拋物線的焦點，若，兩點均在軸上方，若的斜率恒成立，則m的最大值為（

）A．1 B． C． D．50．已知橢圓C：的上、下頂點分別為A，B，左頂點為D，是面積為的正三角形．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓外一點的直線交橢圓于P，Q兩點，已知點P與點關(guān)于x軸對稱，直線與x軸交于點K；若是鈍角，求m的取值范圍．51．已知橢圓C：的左右焦點分別為、，若點在橢圓上，且為等邊三角形．(1)求橢圓C的標準方程？(2)過點且斜率為k的直線l與橢圓C交于A、B兩點，若為鈍角，求k的取值范圍．52．已知動點到定點的距離與動點到定直線的距離之比為．(1)求點的軌跡的方程；(2)對，曲線上是否始終存在兩點，關(guān)于直線對稱？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．53．已知雙曲線與直線有唯一的公共點．(1)點在直線l上，求直線l的方程；(2)設(shè)點分別為雙曲線C的左右焦點，E為右頂點，過點的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設(shè)M，N分別為的內(nèi)心．①點M的橫坐標是否為定值？若是，求出橫坐標的值；若不是，請說明理由．②求的取值范圍．54．已知雙曲線：（，）上一點到的兩條漸近線的距離之積為．(1)求的標準方程；(2)若直線與有兩個不同的交點，，且的內(nèi)心恒在直線上，求在軸上的截距的取值范圍．55．曲線，第一象限內(nèi)點在上，的縱坐標是．(1)若到準線距離為3，求；(2)若在軸上，中點在上，求點坐標和坐標原點到距離；(3)直線，令是第一象限上異于的一點，直線交于是在上的投影，若點滿足“對于任意都有”求的取值范圍．題型九 雙切線問題56．已知點到直線：的距離和它到定點的距離之比為常數(shù)．(1)求點的軌跡的方程；(2)若點是直線上一點，過作曲線的兩條切線分別切于點與點，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點處的切線為）57．在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的蒙日圓上一點，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點，若，存在，證明：為定值.58．已知橢圓的左右焦點分別為、，左右頂點分別為、，是橢圓上異于、的任意一點，、斜率之積為，且的面積最大值為.

(1)求橢圓的方程；(2)直線交橢圓于另一點，分別過、作橢圓的切線，這兩條切線交于點，證明：.59．已知圓，橢圓的左右焦點為，如圖為圓上任意一點，過分別作橢圓兩條切線切橢圓于兩點.(1)若直線的斜率為2，求直線的斜率；(2)作于點，判斷點在運動的過程中，的面積是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，說明理由.60．已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交直線于兩點，且的面積為8.問：在軸是否存在兩個定點，使得為定值.若存在，求的坐標；若不存在，說明理由.61．已知：若點是雙曲線上一點，則雙曲線在點