初中數(shù)學(xué)競賽幾何強(qiáng)化練習(xí)5

初中數(shù)學(xué)競賽幾何強(qiáng)化練習(xí)5

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，平行四邊形43c。中，E為邊AD上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），EF//AB交AC

于點(diǎn)凡要求AFBC的面積，只需知道下列哪個(gè)三角形的面積即可（）

2.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC^BC,AB=4cm,CO是中線，點(diǎn)E、尸同時(shí)

從點(diǎn)。出發(fā)，以相同的速度分別沿OC、方向移動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動停

止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H,則在點(diǎn)E、尸移動過程中，點(diǎn)G移動路線

的長度為（）

A.2B.7tC.2兀D.——兀

2

3.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”，圖1是由四個(gè)全等的

直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形.連接圖1中相應(yīng)的頂點(diǎn)得到

圖2,記陰影部分的面積為酬，空白部分的面積為巨，若大正方形的邊長為遙，

S\=2’,則小正方形的邊長為

野

圖I圖2

A.x/5-1B.75D.V2-1

4.點(diǎn)D、E、尸分別在A45C的三邊BC、AB.AC上，且A。、BF、CE相交于一

5.銳角AABC中，BC邊的中垂線和NA8C的角平分線相交于點(diǎn)尸.若4=72。,

?ACP24?,則()

A.24°B.28°D.36°

6.已知點(diǎn)E,F分別在正方形A8C￡>的邊CO,AO上，C3=4CE=4,

NEFB=NFBC,則E/=()

A.26B.回

7.設(shè)A是以BC為直徑的圓上的一點(diǎn)，49,8c于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段0c上，點(diǎn)F在

C8延長線上，滿足N8A/=NC4E.已知BC=15,BF=6,80=3,則AE=

()

A.4百B.2V13

C.2>/14D.2715

8.在一個(gè)由8x8個(gè)方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個(gè)半徑為4的圓，若把圓

周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為5/,把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓外

s

部分的面積之和記為S2,則多的整數(shù)部分是().

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

9.如圖，在直線上擺放著三個(gè)等邊三角形："BC、XHFG、ADCE,已知

BC；CE,F、G分別是BC、CE的中點(diǎn)，F(xiàn)M//AC,GN//DC,設(shè)圖中三個(gè)平行四

2

邊形的面積依S/、％、S3,若S/+Sj=10,則S2=.

作交BD的延長線于點(diǎn)E,則—的最小值為

11.如圖，在平行四邊形A8CD中，BC=2AB,于E,尸為的中點(diǎn)，若

ZA￡F=48°,則NB=.

12.某廣場地面鋪滿了邊長為36cm的正六邊形地磚，現(xiàn)向上拋擲半徑為66cm的圓

碟，圓碟落地后與地面不相交的概率大約是.

13.如圖，點(diǎn)尸是），軸正半軸上一點(diǎn)，以P為圓心的圓與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4、

B、C、D,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-l),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

14.如圖，△ABC中，ZC=90°,A。平分/BAC,AB=10,AC=6,則的長是

15.如圖，長方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，尸是8C上的一點(diǎn)，且CF=：8C,則長

方形ABC。的面積是陰影部分面積的倍.

16.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)。是對角線BO的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段0。上，連接

AP并延長交8于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作尸F(xiàn)LAP交8c于點(diǎn)F,連接AF、EF,AF交8。于

G,以下三個(gè)結(jié)論：①針="；②DE+BF=EF；③醺.砰為定值.其中正確的結(jié)論

有.(填入正確的序號即可).

三、解答題

17.數(shù)學(xué)中，常對同一圖形的面積用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，這是

一種重要的數(shù)學(xué)方法.如圖1，兩個(gè)直角邊分別為氏斜邊長為c的直角三角形和

一個(gè)兩條直角邊都是C的直角三角形拼成一個(gè)梯形.

解：有三個(gè)直角三角形其面積分別為《必，g必和;

直角梯形的面積為:(“+b)(a+6).

由圖形可知：—(a+b)(a+b)-—ab+-ab+—c2.

2222

整理得(a+》)2—2ab+c2,a2+b2+2ab=c2+2ab.

'.a2+b2=c2.

故結(jié)論為：直角邊長分別為〃、b斜邊為c的直角三角形中。2+乂=,2.

如圖2,在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)4、B、C都在格點(diǎn)

上，若是△ABC的邊AC上的高，求:

①△ABC的面積；

②80的長.

(2)［拓展探究］

如圖3坐標(biāo)系中，直線/”y=：x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和從直線/2經(jīng)過坐

標(biāo)原點(diǎn)，且垂足為C.求：

①寫IB點(diǎn)A和點(diǎn)3的坐標(biāo).

②點(diǎn)C到x軸的距離.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ox2+/>x+ca#))與x軸交于點(diǎn)A(-2,

33

0)、B(4,0),與直線)=-不戶3交于y軸上的點(diǎn)C,直線)=-：x+3與x軸交于點(diǎn)

D.

(1)求該拋物線的解析式：

(2)點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，連接PC、PD,當(dāng)APC。的面積最大時(shí),

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)：

(3)將拋物線的對稱軸向左平移3個(gè)長度單位得到直線/,點(diǎn)E是直線/上一點(diǎn)，連接

OE、BE,若直線/上存在使sin/BEO最大的點(diǎn)E,請直接寫出滿足條件的點(diǎn)E的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

19.在AABC中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(0,-2),8(2,-3),C(4,0),

J

Ji

r1""r1T1"T"11T

1i-1-111-L_l_1-1

-1i"T1111

1+111J_1

n11111土11

1J1-d-J1L

1--1-1111-1-

1111

r--T-r--L-k——T--k-1-」-T-1

11iId1111I

11i111111

L-_l_LJL-+JLJ

--11-1-111-1-

1+1_L1__l_J_1J

1-n-1111111

1_L-L1-L-L_L_L

r-1-1111111l

-11J_1-+1J-11J

rT1111111

i111-L1_LI-L1J

(1)在直角坐標(biāo)系描出A、B、C三點(diǎn).

(2)將AABC沿x軸負(fù)方向平移5個(gè)單位長度，再沿y軸在正方向平移3個(gè)單位長度得

到AEFG,求4EFG的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo).

(3)設(shè)點(diǎn)戶在坐標(biāo)軸上，且aABP與的面積相等，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)

20.如圖，正方形ABCO中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC邊上一點(diǎn)，連接EF,

設(shè)NEDF=a,

(1)如圖1,若a=45。，E為A3的中點(diǎn)，則中的值為

(2)如圖2,若a=30。,過點(diǎn)E作EM//BC交DF于M點(diǎn)"問AE+CF與EM有何數(shù)量

關(guān)系？請說明理由.

(3汝U圖3,若a=60。，AD=4,直接寫出尸的最大值:

21.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AH1BC,H為垂足,將△AB"繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得△AQE,連接8,F為CD的中點(diǎn)，連接FH,FE.

備用圖

(1)求證：FH=FE且FHLFE；

(2)若A8=4,a=180°,直接寫出點(diǎn)尸經(jīng)過的路徑長.

22.如圖，A/WC中，NACB=90。，CB=CA,CEJ_■于E,點(diǎn)尸是CE上一點(diǎn)，連

接質(zhì)并延長交BC于點(diǎn)Q,CGLAD于點(diǎn)G,連接EG.

圖1圖2

(1)求證：/\DCG^/\DAC

(2)如圖1,若CF=2EF,求證：點(diǎn)。是BC中點(diǎn);

(3)如圖2,若GC=4,GE=4應(yīng)，求GO.

參考答案:

1.c

【解析】

【分析】

根據(jù)瓦7/45可證S“"=S,ABE，根據(jù)平行四邊形可得8C〃AD,ABUCD,進(jìn)而可分別

證得S.BCE=TS平行四邊形ABC。，S"ABC=2S平行四邊脛ABB1由此即可證得2,BCF=S.CDE-

【詳解】

解：vEF//AB,

設(shè)E廠與A8之間的距離為/?,

則山所=品84,S.ABE=；AB-II,

?q=q

??。4ABF-u“ABE，

???在平行四邊形4?C￡）中，BC//AD,ABUCD,

???設(shè)8。與AO之間的距離為m,

則S平行四邊形AS。=BC?m,SWE=BC.tn,

**S.BCE=QS平行四邊形Asa），

,?S^ABE+S.CDE=S平行四邊形ASCO-5S平行四邊形458=萬S平行四邊形八成刀，

又〈ABHCD,

??.設(shè)A3與C。之間的距離為〃，

則S平行四邊形A3C。=48?〃,S^ABC=-AB-n,

?*,S4ABe=2S平行四邊形A5CD，

?q_waq

,?~0&ABE丁0cjCDE，

?,SAABP+$JiCF=SqABE+S/DE，

又,:SjBF=SsBE，

?q-q

?,。&BCF_*QE，

???要求△FBC的面積，只需知道△ECD的面積即可,

故選：C.

答案第1頁，共27頁

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形和三角形的面積的計(jì)算公式，關(guān)鍵是證明

△48￡和小CQE的面積之和等于△ABC的面積.

2.D

【解析】

【分析】

【詳解】

解：如圖,

'：CA=CB,/ACB=90。，AD=DB,

：.CD±AB,

NAO￡=NC￡>F=90°,CD=AD=DB,

在^ADE^i^CDF中,

AD=CD

-NADE=NCDF,

DE=DF

:.△ADE￡/\CDF(SAS),

，NDAE=2DCF,

'：NAED=NCEG,

：.NADE=NCGE=9。。,

.?.A、C、G、。四點(diǎn)共圓，

二點(diǎn)、G的運(yùn)動軌跡為弧CD,

"：AB=4,AB=?AC,

.,.AC=2y/2,

二OA=OC=y/2,

'：DA=DC,OA=OC,

答案第2頁，共27頁

：.DO.LACf

???NOOC=90。，

...點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡的長為90”*夜="兀.

1802

故選：D.

3.A

【解析】

【分析】

如圖2,由題意可設(shè)鉆=C￡>=x,BD=y,則可以用x表示出邑，又由于大正方形的邊

長為木，可得51+邑=("『，與￡=2$2構(gòu)成方程組，可求出邑，從而得到x的值，然后

在HAABC中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，然后解方程即可.

【詳解】

解：如圖2,設(shè)A3=8=x,BD=y,

S&A8=2=—v2,

S?=4s△△co=2x?,

???大正方形的邊長為幾，S,=2S2>

/?SI+S,==6>

/.2S2+S2=6,

解得：52=2,

；?2x2=2,

解得：斗=1，工2=-1(舍去)，

在中，AB2+BC2=AC2,

Al2+(y+l)2=(V6)\

解得：乂=石一1,%=-6一1(舍去)，

小正方形的邊長為百-1.

故選：A.

答案第3頁，共27頁

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，正方形的面積，二元一

次方程組，一元二次方程等知識.設(shè)出參數(shù)，用參數(shù)表示出線段或者面積，利用勾股定理

列方程，是解決本題的關(guān)鍵.

4.B

【解析】

【分析】

【詳解】

、幾AMnK'FL—I-ZF>AE—-4DMC4/_S/\A.」CD

設(shè)——=t由題設(shè)可得俞--------------

MD匕“、ABMC'&BMCFCS^BMCS^BMC

ABACAEAFtS^DMc?iS/必〃)J2

---------1--------------------1HZ---------------q

BECFEBFC------SAawc°ABMC

(S&DMC+S^BMD)?2=,SABA忙

q-q+2=t+2

0^BMCD^BMC

An\cAM

又已知至+彳=5,所以心5,所以T,即加=3.

5.B

【解析】

【分析】

【詳解】

B

M

答案第4頁，共27頁

,/直線BP為ZABC的角平分線，，ZABP=NCBP.

'：直線PM為BC的中垂線，BP=CP,：.NCBP=ZBCP,二ZABP=NCBP=NBCP.

在AABC中，三內(nèi)角之和為180。，3ZABP+ZA+ZACP=180°,

BP3ZABP+72°+24°=180°,解得ZABP=28°.

6.D

【解析】

【分析】

【詳解】

由題意可得C￡=l,DE=3.ViDF=x>則—EF=《￡+9?

作3“，所于點(diǎn)因?yàn)?EFB=NFBC=ZAFB,/BAF=90°=NBHF,BF公共,所以

ABAF"ABHF,所以BH=3A=4.

由S四邊形A8CD=^AA/JF+S^BEF+S^DEF+^^BCE得

42=--4-(4-X)+--4.7A：2+9+--3-X+--41,

2222

解得X=|,所以EF=J)+9=*

7.B

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖，因?yàn)镹8AF=NC4E,所以NBAF+N84E=NC4￡+ZfiAE,即

ZE4￡=NC4￡=90。.

又因?yàn)锳OL8C,AD2=DE-DF=DBDC.

]mDF=BF+BD=6+3=9,DC=BC-BD=15-3=12,

所以AD?=￡)￡；.9=3.12,所以A￡>=6,DE=4.

從而AE=ylAD^+DE2=762+42=2屈■

答案第5頁，共27頁

8.B

【解析】

【分析】

SS

根據(jù)正方形和圓的面積公式，計(jì)算出，和邑的值，然后再計(jì)算出消的值，即可知道”的

**

整數(shù)部分.

【詳解】

22

解：由題意知：E=)X42—32=16〃—32,S2=8-^X4-4=60-16^

5116^-32

■:—=-------?1.869

S260-16^-

.??會的整數(shù)部分是1

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了面積和等積變換，正方形的面積和圓的面積計(jì)算等知識點(diǎn)，能夠根據(jù)題意計(jì)算

出相關(guān)的面積是解題的關(guān)鍵.

9.4

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可以證明S/與S2兩個(gè)平行四邊形的高相等，S2長是S/的2倍，S3與S2的長相

等，高亂的一半，這樣就可以把5/和S3用S2來表示，從而計(jì)算出S2的值.

【詳解】

解：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，NABC=NHFG=NDCE=60。,

：.AB//HF//DC//GN,

設(shè)AC與交于P,CD與HG交于Q,

答案第6頁，共27頁

D

：./\PFC.△0。6和4NGE是正三角形，

,:F、G分別是BC、CE的中點(diǎn)，

.,.MF=3AC=JBC,PF^AB=^BC,

又?:BC彩CE=CG=GE,

:.CP=MF,CQ=BC,QG=GC=CQ=AB,

，S/=gS2,Sj=2S2>

,.?S/+S3=10,

；S2+2S2=10,

.3=4；

故答案為：4；

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了面積及等積變換，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，平行四

邊形的判定與性質(zhì)，掌握面積及等積變換，三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

10.3

【解析】

【分析】

連接OE,作EFLAC,垂足為點(diǎn)F,先證明△EDFS^BQC,得出當(dāng)點(diǎn)E是AC中點(diǎn)時(shí)，

EF的值最大，則當(dāng)值的最小，此時(shí)E,F,O共線.再進(jìn)行計(jì)算即可.

DE

【詳解】

解：如圖，設(shè)A8的中點(diǎn)為O,連接OE,作E尸，AC,垂足為點(diǎn)凡

答案第7頁，共27頁

VZC=90°,AE上BE,

：.ZC=ZAEB=90°f

?"，B,E,。四點(diǎn)共圓，

VZC=Z/4EB=90°,/EDF=/BDC,

:./\EDFs/\BDC,

.BDBC

.?---=---,

DEEF

當(dāng)點(diǎn)E是AC中點(diǎn)時(shí)，EF的值最大，則照值的最小，此時(shí)E,F,。共線.

DE

VAC=4,BC=3,

22

：,AB=y/3+4=5>

：.OE=-AB^~,

22

"JOELAC,

：.AF=^AC^2,

0F=-JOA2-AF2=J(|j-22=|,

：.EF=OE-OF=---=\,

22

.BDBC3、

??==—=3,

DEEF1

???器的最小值為3.

DE

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，知道當(dāng)OEJ_8c時(shí)，EF有

最大值是解題的關(guān)鍵.

答案第8頁，共27頁

11.84°

【解析】

【詳解】

設(shè)8c的中點(diǎn)為G,連接尸G交CE于H,由題設(shè)條件知FGC。為菱形.

由ABHFGHDC及F為AD的中點(diǎn)，知H為CE的中點(diǎn).

又CELAB,所以CELFG,所以F”垂直平分CE,

故ADFC=ZGFC=ZEFG=ZAEF=48°.

所以N3=NFGC=180°—2x48°=84°.

12.-

9

【解析】

【分析】

【詳解】

解要使圓碟與地磚的邊緣不相交的條件是落地后圓碟的中心到正六邊形地磚ABCDEF的

任何一邊的距離不小于圓的半徑6j§cm,也就是圓碟的中心必落在與地磚ABC”廣同中心

且邊與地磚邊彼此平行、距離為的小正六邊形ARCQE透內(nèi)（圖6—1）.

圖67

作OG_LAB于G,交于G［且GGJ=6辰m,所以

OG=BOA=2AB=—X36=18^3,OG.^OG-GG.=1873-673=12^.

222

而OG產(chǎn)且。A，所以。4=專。5=專X126=24,故44=04=24.

設(shè)正六邊形ABCDEF和的面積分別為S和S,,則所求概率為

224

St2424故應(yīng)填］.

不一^5'一殘一？一5

答案第9頁，共27頁

13.(0,9)

【解析】

【分析】

首先根據(jù)點(diǎn)A,C的坐標(biāo)得出AO=3,OC=1,然后在RtZXAOP中利用勾股定理求出半徑,

從而可得出。。的長度，進(jìn)而可得出答案.

【詳解】

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—3,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-1),

AO=3,OC=1.

設(shè)半徑為r,\)]\\AP=PC=DP=r,

AO2+OP1=AP-,

32+(r-l)2=r2,

解得r=5,

.\OP=PC-OC=4,

.\OD=OP+DP=9,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,9),

故答案為：(0,9).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓與平面直角坐標(biāo)系，求出半徑是解題的關(guān)鍵.

14.5

答案第10頁，共27頁

【解析】

【分析】

過點(diǎn)D作DE±AB于點(diǎn)E,利用角平分線的性質(zhì)得CD=DE,再利用面積法求出CD的

長，從而解決問題.

【詳解】

解：如圖：過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

BC=>/AB2-AC2=>/102-62=8，

'：AD^^ZBAC,AC1DC,DELAB,

：.CD=DE,

：.S=-ACCD+-AB-DE^-ACBC,

AAKBC222

，6CO+10C￡>=48,

.'.CD=3,

：.BD=BC-CD^-3-5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識，運(yùn)用面積法求出CO

的長是解題的關(guān)鍵.

15.3

【解析】

略

16.①②

【解析】

【分析】

①證明A,B,F,P四點(diǎn)共圓，推出NB4G=NPBF=45。，可得結(jié)論；②將△AQE繞點(diǎn)A順

答案第11頁，共27頁

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A8M,利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；③由△AE/WZMMR推出

S^AEF=S^AMF=^FM-AB,因?yàn)槲錗的長度是變化的，所以△AE尸的面積不是定值.

【詳解】

取A尸的中點(diǎn)T,連接PT,BT.

VAP1PF,四邊形A5c。是正方形，

AZABF=ZAPF=90°,ZABD=ZCBD=45°f

■:止TF、

：.BT=AT=TF=PT9

???A,B,F,P四點(diǎn)共圓,

：.ZPAF=ZPBF=45°f

.\ZB4F=ZPM=45°,

：.PA=PFf故①正確，

將ZkACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△/1&/

VZADE=ZABM=90°fZABC=90°,

工NA8C+NA8M=180°,

AC,B,M共線,

?/ZEAF=45°,

ZMAF=ZFAB+ZBAM=ZFAB+ZDAE=45°f

：.ZFAE=ZFAMf

在△"M和中，

FA=FA

<ZFAM=ZFAEf

AM=AE

：./\FAM^/\FAE(SAS),

:?FM=EF,

?/FM=BF+BM=BF+DE,

：.EF=DE+BF,故②正確,

AAEF^AAMF,

二SAAEF=SAAMF=-FM.AB,

2

答案第12頁，共27頁

的長度是變化的，

.??△AE尸的面積不是定值，故③錯(cuò)誤,

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，等腰直角三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填

空題中的壓軸題.

17.(1)07；②半

96

⑵①4(-8,0),B(0,6)；②毛

【解析】

【分析】

(1)①利用矩形面積減去周圍三個(gè)三角形面積即可得出答案；②利用面積法可求出80的

長；

(2)①令x=0時(shí)，y=6,令y=0時(shí)，x=-8,即可求出點(diǎn)4、8的坐標(biāo)；②由面積得

OC=絲罌=誓=§,再利用勾股定理求出AC的長，從而解決問題.

AB105

(1)

解：①△ABC的面積為4x4-yx2x4-gx2x3-^-x|x4=7；

②由勾股定理知AC=V22+42=2>/5，

：.^xAOBD=l,

,gx2石x8O=7,

解得BD=4&；

5

(2)

答案第13頁，共27頁

a

①由y=-x+6得，

4

當(dāng)x=0時(shí)，y=6,

當(dāng)y=0時(shí)，x=-8,

???A(-8,0),B(0,6)；

②由A(-8,0),B(0,6)得OA=8,03=6,

."3=yjo/r+OB2=VS2+62=10>

50C包OB8624

由面積得OC=----------=——=一,

AB105

在RdAOC中，由勾股定理得

AC=y/OA2-0C2=Js2-(―)2=芋,

j5o

設(shè)點(diǎn)C到X軸的距離為〃，

.,.ACxOC=OAxh,

?32,24,

??———8x/z,

55

解得力=9工6，

96

.??點(diǎn)C到x軸的距離為天.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)，圖形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握對同一圖形的面積用兩種不同的方法計(jì)算，從而得出等式.

33

18.(l)y=—x2H—x+3

84

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,爭)

O

(3)存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,2>/3)或(-2,-2后)

【解析】

【分析】

⑴設(shè)拋物線的解析式為產(chǎn)“(x+2)(xW),把點(diǎn)C(0,3)代入解析式，確定a值即可.

3c3

⑵連接PO,則S&PCD=SQPCO+-S.CDO，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，"，-丁"2+(〃+3),構(gòu)造

84

二次函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)最值計(jì)算即可.

(3)分點(diǎn)E在x軸的上方和下方，兩種情況求解.

答案第14頁，共27頁

⑴

3

?.?拋物線y=ox2+bx+c(存0)與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)、8(4,0),與直線y=-/x+3交

于y軸上的點(diǎn)C,

，設(shè)拋物線的解析式為)=a(x+2)(x-4),且點(diǎn)C(0,3),

.*.3=-8a,

3

解得

o

3

(x+2)(x-4),

o

aa

/.y=——x2+—x+3.

84

(2)

連接P。，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(限機(jī)+3),

84

33

???直線產(chǎn)-1I+3交于y軸上的點(diǎn)C,直線產(chǎn)-彳/3與x軸交于點(diǎn)D,

AC(0,3),D(2,0),

AOC=3,OD=2f

33

過點(diǎn)尸作PEJ_OC,垂足為區(qū)PFLOB,垂足為F,則PE=〃z,PF=——/+—加+3,

84

1]33i

+-=x2

S〉PCD=^'△PCO^ACDO~X3X^+—2x(--/n+—/n+3)--x3x2

22.o42

3,93/N27

=——m~+—m=——(ni-3Y4--,

8488

1315

故當(dāng)機(jī)=3時(shí)，面積有最大值，此時(shí)-]帆2+7m+3=7,

848

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,孕).

O

⑶

答案第15頁，共27頁

如圖，當(dāng)點(diǎn)E在x軸的上方時(shí)，

當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)0、8的圓。與直線/切于點(diǎn)E時(shí)，sin/BEO最大，

過點(diǎn)Q作軸，垂足為H,則0H=；0B=2=0A,0Q=0B=4,

故QH="2-22=2百=AE,

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)（-2,26）：

當(dāng)點(diǎn)E在x軸的下方時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)G2,-26）；

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2,26）或G2,-26）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的解析式，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，構(gòu)造圓求最值，熟練掌握待定系數(shù)

法，二次函數(shù)的最值，圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（1）見解析

⑵見解析，￡（-5,1）,*—3,0）,G（-l,3）

（3）（4,0）或（一12,0）或（0,2）或（0,-6）

【解析】

【分析】

（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義描點(diǎn)即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)E、F、G在直角坐標(biāo)系中的位置寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）先利用矩形的面積減去三個(gè)頂點(diǎn)上三角形的面積求出A/lfiC的面積，然后再根據(jù)同底

答案第16頁，共27頁

等高的三角形面積相等畫出兩條和線段A3平行且與線段AB距離相等的平行線，確定滿足

條件的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)，再分別設(shè)點(diǎn)尸在x軸和y軸上的坐標(biāo)分別為（凡0）、（0功），根據(jù)ABP

與AMC的面積相等的條件建立方程求解即可.

（1）

解：?.?4（0,-2）,5（2,-3）,C（4,0）

.??在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如下：

（2）

如圖：

將AABC沿X軸負(fù)方向平移5個(gè)單位長度，再沿y軸在正方向平移3個(gè)單位長度得到

AEFG,

即：將點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)橫坐標(biāo)減5,縱坐標(biāo)加3即可得到對應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)E、F、G的坐標(biāo),

/?￡（-5,1）,F（-3,0）,G（-l,3）.

答案第17頁，共27頁

(3)

如圖：

過點(diǎn)c作AB的平行線交y軸于點(diǎn)片，交》軸于點(diǎn)A，另一條平行線交y軸于點(diǎn)2,交刀軸

于點(diǎn)A，兩條平行線和線段A8的距離相等，

*??S八=3X4—x2x4—x1x2—x2x3=4,

ZA/IDL222

①當(dāng)點(diǎn)尸在y軸上時(shí)，設(shè)P(O,A),

一(一2),2,

整理得：SAABP=\b+?\,

AABP與的面積相等，

.?.帆+2|=4,

解得：b=2或b=-6,

.?.點(diǎn)P在N軸上時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(0,2)或(0,-6)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上時(shí),設(shè)尸(a,O),

當(dāng)點(diǎn)。在X軸的正半軸上時(shí)，a>4

c1C「

S&ABP=3?！猉QX2——xlx2-5x(4—2)x3

22

答案第18頁，共27頁

整理得：S△的=ga+2,

,/ZvlBP與AABC的面積相等，

：.-a+2=4

2

解得：h=4

，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4,0）,

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，a<0

=（2-a）x3-；x2x（2-a）-gx2x3-gx（2-q）x3,

整理得：S△謝=-；”2,

AABP與的面積相等，

--a-2=4,

2

解得：a=—12,

,這時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（-12,0）.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）或（-12,0）或（0,2）或（0,-6）.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是作圖一平移變換，考查了圖形平移及坐標(biāo)的性質(zhì)，三角形的面積，一元一次

答案第19頁，共27頁

方程等知識.掌握用割補(bǔ)法求三角形的面積是解答此題的關(guān)鍵.

20.(1)1

Q)AE+CF=>5EM,理由見解析

(3)8

【解析】

【分析】

(1)如圖1,延長8c到“，使得CH=AE,利用全等三角形的性質(zhì)證明以三AE+C憶設(shè)

CF=x,利用勾股定理求出x即可解決問題；

(2)延長BA到G,使得AG=CF,由AD4G=AOCF(SAS)推出NGD4=FOC,繼而得到

ZGDF=ZGDA+ZADF=ZFDC+ZADF=90°,由G、E、M、。四點(diǎn)共圓，推出

乙EGM=ZEDM=30°,從而推出EG=拒EM；

(3)如圖3,過點(diǎn)E作EKLCD于K,交DF于J,作FH_LEK于H,由

S：=5皿+S.F=gEJDK+；EJFH=gEJ(DK+FH)=2EJ,推出當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C重

合時(shí)，EJ=EK=4的值最大，此時(shí)△/)￡/的面積最大.

(1)

解：如圖1,延長8c到“，使得CH=AE,

:.AD=DC,ZA=NDCB=NDCH=90。

:.AE=CH

“DAE*DCH(SAS)

??.DE=DH,ZADE=NCDH

ZEDH=ZADC=90°

?.Z￡DF=45°

答案第20頁，共27頁

:.ZFDH=ZFDE=45°

???DF=DF

.-.△FDE=AFD/7(SAS)

：.EF=FH

?：FH=CF+CH=CF+AE

:.EF=AE+CF

設(shè)C/=x,在R38EF

設(shè)

BF=2a-x,EF=x+a

:.BE2+BF2=EF2

/.a2+(2a-x)-=(?+%)-

2a

x=—

3

:.CF=—

3

2a

.CF=7J

故答案為：g

(2)

延長延長BA到G,使得AG=C尸,

圖2

同法可證ADAG=ADCF(SAS)

答案第21頁，共27頁

/.ZGDA=FDC

ZGDF=ZGZM+ZADF=ZFDC+ZADF=90°

-EM//BC

.\ZAEM=ZB=90°

??.ZAEM+ZMDC=180°

「.G、E、M、。四點(diǎn)共圓

.?./EGM=ZEDM=30°

...EG=6EM

AE+CF=AE+EG=EG=6EM

(3)

如圖3,過點(diǎn)E作石K，CO于K,交DF于J,作FH上EK于H,

圖3

???/FHK=ZHKC=ZC=90°

，四邊形CE"K是矩形，

/.FH=CK

:.DK+CK=DK+FH=4

?;S^UntFzrF=S△cJPLi)n+SPIF=-EJDK+2-EJ-FH=2-EJ('DK+FH)'=2EJ

二當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，EJ=EK=4的值最大，此時(shí)ADEF的面積最大，最大值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知

識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

21.(1)見解析；

⑵2乃

答案第22頁，共27頁

【解析】

【分析】

(1)連接AF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NACB=45。，BH=CH,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)

得到/AED+/AF￡>=180。，ZAHC+ZAFC=\S00,從而證得A、E、D、F四點(diǎn)共圓，A、

H、C、尸四點(diǎn)共圓，求出/AFE=/AOE=45。，ZAFH=ZACH=45°,得到/EFH=

ZAFE+ZAFH=90°,證得H/_LFE,再證明△凡得到HF=EE；

(2)取線段AC的中點(diǎn)。，連接。八OH,根據(jù)三角形中位線的定義得到。尸=gA￡>=g

AB=2,OF//AD,OH//AB,從而得到在△ABH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)尸從點(diǎn)”開

始，在以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓上移動，當(dāng)a=180。時(shí)，B、A、。三點(diǎn)共線，確定H、

0、/三點(diǎn)共線，根據(jù)公式求出點(diǎn)尸經(jīng)過的路徑長.

(1)

證明：連接AF,

"：AB=AC,ZBAC=90°,AHLBC,

：.ZB=ZACB=45°,BH=CH,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，AD=AB=ACfAE=AH,ZAED=ZAHB=90°fNADE=NB=45。,ZEAD

=N