黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

佳一中2022－2023學(xué)年度高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意得，拋物線可化為，則，所以準(zhǔn)線方程為，故選C．考點：拋物線的幾何性質(zhì)．2.已知A，B，C，D，E是空間中的五個點，其中點A，B，C不共線，則“存在實數(shù)x，y，使得是“平面ABC”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用存在實數(shù)x，y，使得平面ABC或平面ABC，結(jié)合充分必要條件定義即可求解.【詳解】若平面ABC，則共面，故存在實數(shù)x，y，使得，所以必要性成立；若存在實數(shù)x，y，使得，則共面，則平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立；所以“存在實數(shù)x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分條件，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查空間向量共面的問題，理清存在實數(shù)x，y，使得平面ABC或平面ABC是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3.已知直線，若，則與之間的距離為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行求出，再由平行線間的距離公式求解即可.【詳解】因為，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意；所以，所以與之間的距離，故選：A4.中國古人所使用的音階是“五聲音階”，即“宮徵（zhǐ）商羽角（jué）”五個音，中國古代關(guān)于這五個音階的律學(xué)理論，叫做“三分損益法”，相關(guān)記載最早見于春秋時期《管子·地緣篇》．“三分損益”包含“三分損一”和“三分益一”兩層含義，“三分損一”是指將原有長度作三等分而減去其一份生得長度，“三分益一”是指將原有長度作三等分而增添其一份生得長度．具體來說，以一段圓徑絕對均勻的發(fā)聲管為基數(shù)——宮（稱為“基本音”），宮管的“三分損一”為徵管，徵管發(fā)出的聲音即為徵，徵管的“三分益一”為商管，商管發(fā)出的聲音即為商，商管的“三分損一”為羽管，羽管的“三分益一”為角管，由此“宮、徵、商、羽、角”五個音階就生成了．關(guān)于五音，下列說法中不正確的是（）A.五音管中最短的音管是羽管B.假設(shè)基本音的管長為81，則角管的長度為64C.五音管中最長的音管是商管D.類比題中的“三分損益”可推算：商的“四分損一”為徵【答案】C【解析】【分析】設(shè)宮管的長為a，即可表示出徵、商、羽、角的管長，即可判斷A，B，C；根據(jù)“三分損益”的含義可求得商的“四分損一”為徵，判斷D.【詳解】不妨設(shè)宮管的長為a，則徵管的長為，商管的長為，羽管的長為，角管的長為，而，故最長的音管是宮管，最短的音管是羽管，故選項A正確，選項C錯誤；令，即基本音的管長為81，則，即角管的長度為64，故選項B正確；商的“四分損一”為，即為徵，選項D正確，故選︰C．5.如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取AC的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點到線距離的向量求法和投影的定義計算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長度為，故點C到直線的距離為：.故選：D6.已知過點的直線與圓心為的圓相交于，兩點，當(dāng)面積最大時，直線的方程為（）A. B.或C. D.或【答案】A【解析】【分析】由三角形面積公式結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)時面積最大，設(shè)出直線的方程，確定圓心到直線的距離，列出方程，求解得出直線的方程.【詳解】的面積，當(dāng)僅當(dāng)時“”成立，此時點到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率不存在時，即：，此時圓心到直線的距離為，不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，則，解得，所以方程為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是由三角形面積公式得出當(dāng)時面積最大，進(jìn)而由距離公式得出方程.7.已知等差數(shù)列的前項和為，若，且，則使成立的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可解得，再利用等差數(shù)列的前項和公式并結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】由又，所以公差所以使成立的最大值為故選：C8.已知，是雙曲線：的左，右焦點，過點傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，據(jù)雙曲線的定義可用表示，作，構(gòu)造直角三角形可計算得，并用勾股定理列出了，進(jìn)而可求.【詳解】設(shè)，則，從而，進(jìn)而.過作，則.如圖：在中，，；在中，，即，所以.故選：A【點睛】（1）焦點三角形為條件求圓錐曲線的離心率，常利用圓錐曲線的定義；（2）求圓錐曲線的離心率，常利用有關(guān)三角形建立關(guān)于的齊次等式，再化為的等式可求；（3）此題的關(guān)鍵是作得直角三角形，即可求出邊長，又可用來建立的齊次等式.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量不重合），并且直線均不在平面內(nèi)，那么下列說法中正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由空間向量的位置關(guān)系對選項逐一判斷，【詳解】已知直線不在平面內(nèi)，則，故A正確，D錯誤，由空間向量的位置關(guān)系得，，故B，C正確，故選：ABC10.已知等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，公比為q，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，則D.若，【答案】ABC【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，可判斷A、B、C、D的結(jié)論是否正確．【詳解】顯然.A：因，所以，因此本選項正確；B：由，而，顯然，因此本選項正確；C：由，，因此本選項正確；D：由，，因此本選項不正確.故選：ABC.11.以下關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中是真命題的有（）A.雙曲線與橢圓有相同的焦點B.過雙曲線的右焦點且被雙曲線截得的弦長為10的直線共有2條C.設(shè)A，B是兩個定點，k是非零常數(shù)，若，則動點P的軌跡是雙曲線的一支D.動圓P過定點且與定直線l：相切，則圓心P的軌跡方程是【答案】AD【解析】【分析】求出雙曲線與橢圓的焦點坐標(biāo)即可判斷A；求出雙曲線的實軸長及過右焦點的直線垂直x軸時所截弦長即可判斷B；由雙曲線的定義即可判斷C；根據(jù)拋物線的定義即可判斷D．【詳解】對于A，雙曲線的焦點為，橢圓的焦點為，故A正確；對于B，由雙曲線的方程知，右焦點，實軸長為10，所以過右焦點與雙曲線左右兩支各交于一點且滿足弦長為10的直線只有1條；過右焦點的直線垂直x軸時，得兩交點坐標(biāo)為、，此時弦長為，所以過右焦點與雙曲線右支相交于兩點且滿足弦長為10的直線有2條，綜上，過雙曲線的右焦點且被雙曲線截得的弦長為10的直線共有3條，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，動點P的軌跡是一條射線，當(dāng)時，動點P的軌跡是雙曲線的一支，故C錯誤；對于D，因為動圓P過定點且與定直線l：相切，即P點到的距離與到直線l：的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可得，P點的軌跡是為以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點P的軌跡方程為，故D正確．故選：AD．12.已知為橢圓：的左焦點，直線：與橢圓交于，兩點，軸，垂足為，與橢圓的另一個交點為，則（）A.的最小值為2 B.面積的最大值為C.直線的斜率為 D.為鈍角【答案】BC【解析】【分析】A項，先由橢圓與過原點直線的對稱性知，，再利用1的代換利用基本不等式可得最小值，A項錯誤；B項，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最值；C項，由對稱性，可設(shè)，則，，則可得直線的斜率與k的關(guān)系；D項，先由A、B對稱且與點P均在橢圓上，可得，又由C項可知，得，即，排除D項.【詳解】對于A，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，則四邊形為平行四邊形，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A錯誤；對于B，由得，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；對于C，設(shè)，則，，故直線的斜率，C正確；對于D，設(shè)，直線的斜率額為，直線的斜率為，則，又點和點在橢圓上，①，②，①②得，易知，則，得，，，D錯誤.故選：BC.【點睛】橢圓常用結(jié)論：已知橢圓，AB為橢圓經(jīng)過原點的一條弦，P是橢圓上異于A、B的任意一點，若都存在，則.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.以點為圓心，并且與y軸相切的圓的方程是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓與軸相切，圓的半徑等于點到軸的距離，求出半徑，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】設(shè)圓方程為，圓與軸相切，半徑等于圓心到軸的距離，即，因此，圓的方程為，故答案為：.14.在數(shù)列中，，，則______．【答案】665【解析】【分析】利用累加法求得，進(jìn)而求得【詳解】依題意，.所以.故答案為：15.在拋物線上任取一點(不為原點)，為拋物線的焦點，連接并延長交拋物線于另一點過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為記線段的中點為則面積的最小值為______．【答案】【解析】【分析】取的中點為，連接，可變形為用表示，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入，再由基本不等式可得最小值．【詳解】焦點為，設(shè)直線方程為，由取中點為，連接，則，，，故時面積最小為.故答案為：4．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線中與焦點弦有關(guān)的面積問題．解題關(guān)鍵是把拋物線的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，這樣三角形的面積可以與焦點弦長聯(lián)系，從而利用韋達(dá)定理求解．16.對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的恒成立，則實數(shù)p的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得，從而時，，相減求得，進(jìn)而求得的表達(dá)式，利用對任意的恒成立，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可得，∴時，，兩式相減可得：，化為，時，，滿足上式，故故，∵對任意的恒成立，∴，即，解得，即，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)列新定義可得，從而時，，相減求得，從而可求得的表達(dá)式，因此解答的關(guān)鍵就在于將對任意的恒成立轉(zhuǎn)化為解的問題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知雙曲線C的焦點在x軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線C交于A，B兩點，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）焦點在軸上，設(shè)方程為根據(jù)題意求出即可（2）設(shè)點，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，由韋達(dá)定理，然后利用弦長公式計算即可【小問1詳解】因為焦點在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，所以，①又雙曲線的一條漸近線為，所以，②又，③聯(lián)立上述式子解得，，故所求方程為；【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，整理得，由，所以，，即18.在①且，②，③，且成等差數(shù)列這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.問題：設(shè)數(shù)列的前n項和為，_________.若，求數(shù)列的前n項和為.【答案】選擇見解析；.【解析】【分析】若選①，由得數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而得，，再根據(jù)裂項相消求和法求和即可；若選②，由得，進(jìn)而根據(jù)之間的關(guān)系得，再根據(jù)裂項相消求和法求和即可；若選③，由成等差數(shù)列，得.由于，故數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故，再根據(jù)裂項相消求和法求和即可.【詳解】解：若選①，因為，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列因為，所以.解得，故.因為，所以.則若選②，因為，所以，所以，解得，則.因為滿足上式，所以.因為，所以.則若選③，因為成等差數(shù)列，所以，所以，即.因為，所以，則數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故.因為，所以.則.【點睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)遞推關(guān)系（等差中項，之間的關(guān)系等）證明數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而得.考查運算求解能力，是中檔題.19.如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；（2）以點坐標(biāo)原點，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：因為是長方體，所以側(cè)面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）[方法一]【三垂線定理】由（1）知，，又E為的中點，所以，為等腰直角三角形，所以．如圖2，聯(lián)結(jié)，與相交于點O，因為平面，所以．又，所以平面．作，垂足為H，聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，則為二面角平面角的補(bǔ)角．設(shè)，則，由，得．在中，，所以，即二面角的正弦值為．[方法二]【利用平面的法向量】設(shè)底面邊長為1，高為，所以．因為平面，所以，即，所以，解得．因為平面，所以，又，所以平面，故為平面的一個法向量．因為平面與平面為同一平面，故為平面的一個法向量，在中，因為，故與成角，所以二面角，的正弦值為．[方法三]【利用體積公式結(jié)合二面角的定義】設(shè)底面邊長為1，高為，所以．因為平面，所以，即，所以，解得．因為，所以是直角三角形，．因為平面，所以到平面的距離相等設(shè)為．同理，A，E到平面的距離相等，都為1，所以，即，解得．設(shè)點B到直線的距離為，在中，由面積相等解得．設(shè)為二面角的平面角，，所以二面角的正弦值為．[方法四]【等價轉(zhuǎn)化后利用射影面積計算】由（1）的結(jié)論知，又，易證，所以，所以，即二面角的正弦值與二面角的正弦值相等．設(shè)的中點分別為F，G，H，顯然為正方體，所求問題轉(zhuǎn)化為如圖3所示，在正方體中求二面角的正弦值．設(shè)相交于點O，易證平面，所以是在平面上的射影．令正方體的棱長，則，，，．設(shè)二面角為，由，則，所以．即二面角的正弦值為．[方法五]【結(jié)合（1）的結(jié)論找到二面角的平面角進(jìn)行計算】如圖4，分別取中點F，G，H，聯(lián)結(jié)．過G作，垂足為P，聯(lián)結(jié)．易得E，F(xiàn)，G，H共面且平行于面．由（1）可得面．因為面，所以．又因為E為中點，所以，且均為等腰三角形．設(shè)，則，四棱柱為正方體．在及中有．所以與均為直角三角形且全等．又因為，所以為二面角（即）的一個平面角．在中，．所以，所以．故二面角的正弦值為．[方法六]【最優(yōu)解：空間向量法】以點坐標(biāo)原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因為，所以，所以，，設(shè)是平面的法向量，所以，設(shè)是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的絕對值為，所以二面角的正弦值為.【整體點評】(2)方法一：三垂線定理是立體幾何中尋找垂直關(guān)系的核心定理；方法二：利用平面的法向量進(jìn)行計算體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是垂直關(guān)系的進(jìn)一步應(yīng)用；方法三：體積公式可以計算點面距離，結(jié)合點面距離可進(jìn)一步計算二面角的三角函數(shù)值；方法四：射影面積法體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是將角度問題轉(zhuǎn)化為面積問題的一種方法；方法五：利用第一問的結(jié)論找到二面角，然后計算其三角函數(shù)值是一種常規(guī)的思想；方法六：空間向量是處理立體幾何的常規(guī)方法，在二面角不好尋找的時候利用空間向量是一種更好的方法.20.已知拋物線，直線與交于兩點且（為坐標(biāo)原點）．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用韋達(dá)定理法即求；（2）由題可求，，再結(jié)合條件即得.【小問1詳解】設(shè)，，由，得，故，由，可得，即，∴，故拋物線的方程為：；【小問2詳解】設(shè)的傾斜角為，則的傾斜角為，∴,由，得，∴，∴，同理，由，得，∴，即，故.21.已知等比數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中.（1）分別求數(shù)列和通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用，和等比數(shù)列的定義即可得出；利用已知條件和累