4.4數(shù)學(xué)歸納法 （原卷版）

：數(shù)學(xué)歸納法【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫(xiě)如下：條件：(1)

P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．結(jié)論：P(n)為真．3.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗(yàn)證(或證明)了當(dāng)n＝n0時(shí)結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．【題型歸納】題型一：數(shù)學(xué)歸納法的定義1．（2023下·陜西西安·高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第二步應(yīng)假設(shè)（

）A．當(dāng)時(shí)，成立B．當(dāng)時(shí)，成立C．當(dāng)時(shí)，成立D．當(dāng)時(shí)，成立2．（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到時(shí)，不等式左邊需要增加的項(xiàng)為（

）A． B．C． D．3．（2023下·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意的，都有，第一步應(yīng)該驗(yàn)證的等式是（

）A． B．C． D．題型二：數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式4．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中，第二步假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到的式子為.5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，當(dāng)時(shí)，應(yīng)證明的等式為．6．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式：(1)；(2).題型三：數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題7．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知，存在自然數(shù)，使得對(duì)任意，都能使整除，則最大的的值為．8．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：是64的倍數(shù)．9．（2022·四川眉山·統(tǒng)考三模）將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號(hào)），并完成該題.已知是數(shù)列前n項(xiàng)和，___________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)一切，能被3整除.題型四：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題10．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列：，，，…，，…，設(shè)為該數(shù)列的前，，，的值；根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，猜想（為正整數(shù)）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.11．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且．記．如果對(duì)于所有的正整數(shù)均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明．12．（2023下·北京房山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)計(jì)算，，，的值；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并進(jìn)行證明．題型五：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式13．（2019·上海寶山·統(tǒng)考二模）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．414．（2022下·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，比多了項(xiàng)．15．（2022下·廣西玉林·高二校聯(lián)考期中）（1）請(qǐng)用分析法證明：；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：．題型六：數(shù)學(xué)歸納法解決探究性問(wèn)題16．（2023上·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)依次求，，的值；(2)對(duì)任意正整數(shù)n，記，即.猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.17．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)觀察下列三個(gè)式子：①；②；③．歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．18．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（1）分別計(jì)算：，，的值；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算，猜想的表達(dá)式；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023下·上?！じ叨谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成（）A．假設(shè)正確，再推正確B．假設(shè)正確，再推正確C．假設(shè)正確，再推正確D．假設(shè)正確，再推正確20．（2023下·上海·高二期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A． B． C． D．21．（2023下·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)任意的，”，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)當(dāng)增加的項(xiàng)為（

）A． B．C． D．22．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由的假設(shè)證明時(shí)，不等式左端的變化是（

）A．增加項(xiàng) B．增加和兩項(xiàng)C．增加和兩項(xiàng)，減少項(xiàng) D．以上結(jié)論均不正確23．（2023下·北京·高二北京八中?？计谥校┰谟脭?shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（

）A． B．C． D．24．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．25．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)；(2)．26．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）設(shè)，．(1)當(dāng)時(shí)，計(jì)算的值；(2)你對(duì)的值有何猜想？用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【高分突破】一：選擇題27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（，，是正整數(shù)），在驗(yàn)證時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為（

）A．1 B． C． D．28．（2022下·上海徐匯·高二上海市西南位育中學(xué)校考期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，設(shè)，從到時(shí)（

）A． B．C． D．29．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時(shí)不等式成立 B．時(shí)不等式成立C．時(shí)不等式成立 D．時(shí)不等式成立30．（2022上·上?！じ叨谥校┮阎顷P(guān)于正整數(shù)n的命題，現(xiàn)在小杰為了證明該命題，已經(jīng)證明了命題、、均成立，并對(duì)任意的且，在假設(shè)成立的前提下，證明了成立，其中m為某個(gè)固定的整數(shù)，若要用上述證明說(shuō)明對(duì)一切且均成立，則m的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．不存在31．（2022上·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考期中）我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識(shí)，知道數(shù)學(xué)歸納法可以用來(lái)證明與正整數(shù)n相關(guān)的命題.下列三個(gè)證明方法中，可以證明某個(gè)命題對(duì)一切正整數(shù)n都成立的是（

）①成立，且對(duì)任意正整數(shù)k，“當(dāng)時(shí)，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且對(duì)任意正整數(shù)k，“成立”可以推出“成立”③成立，且對(duì)任意正整數(shù)，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③二、多選題32．（2023下·廣東珠?！じ叨楹Ｊ卸烽T(mén)區(qū)第一中學(xué)校考期中）以下四個(gè)命題，其中滿足“假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)命題也成立”，但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時(shí)命題成立”的是（

）A．B．C．凸n邊形的內(nèi)角和為D．凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)33．（2022上·山東淄博·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）小明和小童兩位同學(xué)玩構(gòu)造數(shù)列小游戲,規(guī)則是:首先給出兩個(gè)數(shù)字1,10,然后小明把兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到第一個(gè)新數(shù)列1,10,10,再然后小童把每相鄰兩項(xiàng)的積插入此兩項(xiàng)之間,得到第二個(gè)新數(shù)列1,10,10,100,10,如此下去,不斷得到新數(shù)列．假設(shè)第n個(gè)新數(shù)列是:記:,則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．34．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是（

）A．B．C．D．35．（2021下·江蘇無(wú)錫·高二?？计谥校?duì)于不等式，某學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立②假設(shè)，時(shí)，不等式成立，即，則時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)；不等式成立．關(guān)于上述證明過(guò)程的說(shuō)法正確的是（）A．證明過(guò)程全都正確B．當(dāng)時(shí)的驗(yàn)證正確C．歸納假設(shè)正確D．從到的推理不正確36．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于不等式，某同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立.上述證法（

）A．過(guò)程全部正確 B．時(shí)證明正確C．過(guò)程全部不正確 D．從到的推理不正確三、填空題37．（2023上·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)校考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明（，）的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在時(shí)的左端上加上38．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則．39．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若，，（是正整數(shù)），寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)后猜測(cè)．40．（2022上·上海徐匯·高二位育中學(xué)校考期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第（ii）步從n=k到n=k+1時(shí)等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是41．（2022下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）觀察下列數(shù)表：13

57

9

11

1315

17

19

21

23

25

27

29…

…

…設(shè)1025是該表第m行的第n個(gè)數(shù)，則.四、解答題42．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足嘗試通過(guò)計(jì)算數(shù)列的前四項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．43．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）依次計(jì)算下列各式的值：，，，．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算結(jié)果，猜想（為正整數(shù)）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明相應(yīng)的結(jié)論．44．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)指出下列各題用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中的錯(cuò)誤．(1)設(shè)為正整數(shù)，求證：．證明：假設(shè)當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)等式