【高頻考點(diǎn)題型】28.2 解直角三角形及其應(yīng)用（拔高篇）（解析版）

【沖刺高分】人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期學(xué)神考霸養(yǎng)成優(yōu)選練測(cè)卷【高頻考點(diǎn)題型】28.2解直角三角形及其應(yīng)用（拔高篇）（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿(mǎn)分：120分）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________本卷試題共三大題，共22小題，單選8題，填空8題，解答6題，限時(shí)90分鐘，滿(mǎn)分120分，本卷題型精選核心?？贾仉y易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，則BC的長(zhǎng)為（）A．3sin35° B．2cos35° C．3cos35° D．3tan35°【答案】C【解析】根據(jù)題意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，則BC的長(zhǎng)為3cos35°，因此，應(yīng)選C.2．（2021·福建南安·九年級(jí)階段練習(xí)）球沿坡角的斜坡向上滾動(dòng)了5米，此時(shí)鋼球距地面的高度是（）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】過(guò)鉛球C作CB⊥底面AB于B，在Rt△ABC中，AC=5米，根據(jù)銳角三角函數(shù)sin31°=，即可求解．【詳解】解：過(guò)鉛球C作CB⊥底面AB于B，如圖在Rt△ABC中，AC=5米，則sin31°=，∴BC=sin31°×AC=5sin31°．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．3．（2021·北京大興·九年級(jí)期中）某樓梯的側(cè)面如圖所示，已測(cè)得BC的長(zhǎng)約為3.5米，∠BCA約為29°，則該樓梯的高度AB可表示為（）A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．【答案】A【分析】解直角三角形求出AB即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，∴AB＝BC?sin∠ACB＝3.5?sin29°.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，已知直角三角形的銳角及斜邊，用正弦即可求得這個(gè)角的對(duì)邊.4．（2022·北京平谷·九年級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作∠CAD=30°，CD⊥AD于D，若△ADC的面積為1，則△ABC的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)30度的銳角三角形函數(shù)，△ADC的面積為1，分別用表示出，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解即可【詳解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∠CAD=30°，CD⊥AD于D，在中，,,△ADC的面積為1，即,故選C【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，將都用表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）為測(cè)量垂直于水平面的某建筑物AB的高度，小明利用山坡CD進(jìn)行估算，已知山坡底端C處到AB的水平距離CB為200米，山坡頂端D處到AB的水平距離DE為40米（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．且在D處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°，已知山坡的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，則建筑物AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．．92.3 B．．97.5 C．106.7 D．．114.3【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)坡比可得DF的長(zhǎng)，利用50°角的正切可得AE，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由圖可得，四邊形DEBF是矩形，∴DF=EB，BF=DE=40（m），∴CF=200-40=160（m），∵山坡的坡度（或坡比）為i=1：2.4，∴DF=160÷2.4=（m），即BE=（m），∵∠ADE=50°，∴tan50°==1.19，∴AE=47.6（m），∴AB=AE+BE=47.6+≈114.3（m）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022·山西大同·九年級(jí)期末）如圖，已知太原南站某自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為31°，自動(dòng)扶梯AB的長(zhǎng)為15m，則大廳兩層之間的高度BC為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin31°=，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得：sin31°==，則BC=15sin31°（m）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，為正六邊形邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿六邊形的邊以1cm/s的速度按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形的面積是，則下列圖像能大致反映與的函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)在上時(shí)，過(guò)作于而求解此時(shí)的函數(shù)解析式，當(dāng)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)過(guò)作于并求解此時(shí)的函數(shù)解析式，當(dāng)在上時(shí)，連接并求解此時(shí)的函數(shù)解析式，由正六邊形的對(duì)稱(chēng)性可得：在上的圖象與在上的圖象是對(duì)稱(chēng)的，在上的圖象與在上的圖象是對(duì)稱(chēng)的，從而可得答案.【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)在上時(shí)，過(guò)作于而當(dāng)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)過(guò)作于同理：則為等邊三角形，當(dāng)在上時(shí)，連接由正六邊形的性質(zhì)可得：由正六邊形的對(duì)稱(chēng)性可得：而由正六邊形的對(duì)稱(chēng)性可得：在上的圖象與在上的圖象是對(duì)稱(chēng)的，在上的圖象與在上的圖象是對(duì)稱(chēng)的，所以符合題意的是A，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正多邊形的性質(zhì)，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵.8．（2022·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期末）為出行方便，近日來(lái)越來(lái)越多的長(zhǎng)春市民使用起了共享單車(chē)，圖1為單車(chē)實(shí)物圖，圖2為單車(chē)示意圖，AB與地面平行，點(diǎn)A、B、D共線(xiàn)，點(diǎn)D、F、G共線(xiàn)，坐墊C可沿射線(xiàn)BE方向調(diào)節(jié)．已知，∠ABE=70°，車(chē)輪半徑為30cm，當(dāng)BC=60cm時(shí)，小明體驗(yàn)后覺(jué)得騎著比較舒適，此時(shí)坐墊C離地面高度約為()(結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)，求出CM，再用CM減去MN即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由題意可知MN=30cm，∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，∴sin∠ABE=sin70°==0.94∴CM≈56cm∴CN=CM+MN=30+56=86（cm）故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，將所給角放到直角三角形中，是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。9．（2021·北京大興·九年級(jí)期中）青島位于北緯36°4′，在冬至日的正午時(shí)分，太陽(yáng)的入射角為30°30′，因此在規(guī)劃建設(shè)樓高為20米的小區(qū)時(shí)，兩樓間的最小間距為_(kāi)_____________米，才能保證不擋光．【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)已知直角三角形的一個(gè)銳角和一邊求另一邊的問(wèn)題．【詳解】解：如圖，,∴即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握銳角三角比是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）如圖，一段鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，路基的上底寬AD為3米，路基高為1米，斜坡AB的坡度，那么路基的下底寬BC是_________米．【答案】6【分析】過(guò)A作AE⊥BC，過(guò)D作DF⊥BC，根據(jù)DF的長(zhǎng)和坡度即可求得BE、CF的值，根據(jù)AB=BE+EF+CF即可計(jì)算BC，即可解題．【詳解】解：如圖，過(guò)A作AE⊥BC，過(guò)D作DF⊥BC，AE=DF=1米，AD=EF=3米，∵坡度===，∴BE=CF=1.5米，∴BC=BE+EF+CF=1.5+3+1.5=6米．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的定義，考查了坡度在直角三角形中的運(yùn)用，本題中求BE、CF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）某水庫(kù)堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡度是1∶3，堤壩高BC＝50m，則AB＝____m．【答案】100【解析】略12．（2021·上海徐匯·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面積是6，那么BC的長(zhǎng)是_____．【答案】##【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．解直角三角形求出BH，CH即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB?cos60°＝6，AH＝AB?sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴·CD·EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tanC＝＝，∴＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，根據(jù)題意構(gòu)造合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022·福建泉州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，且于F，連結(jié)，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有___________（填寫(xiě)序號(hào)即可）．【答案】①④##④①【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，等角的余角相等可得,，即可證明進(jìn)而判斷①，根據(jù)可得，根據(jù)，結(jié)合相似比可得，進(jìn)而判斷②，過(guò)點(diǎn)作，反證法證明可得，進(jìn)而判斷③，連接設(shè)則，勾股定理求得各邊，根據(jù)建立關(guān)系式，進(jìn)而可得，進(jìn)而求得，即可判斷④【詳解】解：四邊形是矩形,,，故①正確；即故②不正確過(guò)點(diǎn)作，如圖，若，則即與矛盾，故故③不正確設(shè)則中，連接，如圖，在中，在中，即①又②①+②得故④正確，故答案為：①④【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，解直角三角形，勾股定理，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·黑龍江·哈爾濱市松雷中學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，△ABC中，BA=CB=AD，∠ACD＝30°，tan∠BAC＝，CD＝6+8，則線(xiàn)段BC長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】【分析】作AF⊥DC于點(diǎn)F，作BE⊥AC于點(diǎn)E，首先根據(jù)tan∠BAC＝表示出，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和30°角直角三角形的性質(zhì)表示出AC和AF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理表示出FC和FD的長(zhǎng)度，最后根據(jù)CD的長(zhǎng)度列方程求解即可．【詳解】解:如圖所示，作AF⊥DC與點(diǎn)F，作BE⊥AC與點(diǎn)E，∵tan∠BAC＝，BE⊥AC∴設(shè)，∴∴∵，BE⊥AC∴∴∵AF⊥DC，∠ACD＝30°∵∴在中，∴在中，∵∴，解得：∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確作出輔助線(xiàn)，以及熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)和性質(zhì)定理．15．（2021·上海寶山·九年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，點(diǎn)E、F分別是邊CA、CB的中點(diǎn)，已知點(diǎn)P在線(xiàn)段EF上，聯(lián)結(jié)AP，將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段DP，如果點(diǎn)P、D、C在同一直線(xiàn)上，那么tan∠CAP＝_______．【答案】【分析】①如圖1所示，由題意知，EF為△ABC的中位線(xiàn)，∠EFC＝∠ABC＝45°，∠PAO＝45°，∠PAO＝∠OFH，∠POA＝∠FOH，∠H＝∠APO，在Rt△APC中，EA＝EC，有PE＝EA＝EC，∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∠H＝∠BAH，BH＝BA，∠ADP＝∠BDC＝45°，∠ADB＝90°，知BD⊥AH，∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∠ADB＝∠ACB＝90°，有A，D，C，B四點(diǎn)共圓，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∠DAC＝∠DCA＝22.5°，知DA＝DC，設(shè)AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，tan∠CAP＝＝計(jì)算求解即可；②如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上時(shí)，同理可證：DA＝DC，設(shè)AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝，PC＝a﹣a，tan∠CAP＝，計(jì)算求解即可，而情形2滿(mǎn)足要求．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四點(diǎn)共圓，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，設(shè)AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，∴tan∠CAP＝＝＝+1；②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上時(shí)，同理可證：DA＝DC，設(shè)AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝∴PC＝a﹣a，∴tan∠CAP＝＝＝，∵點(diǎn)P在線(xiàn)段EF上，∴情形1不滿(mǎn)足條件，情形2滿(mǎn)足條件；故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線(xiàn)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)，直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)，正切函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵在于表示出正切中線(xiàn)段的長(zhǎng)度．16．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，輪船在A處觀測(cè)燈塔C位于北偏西70°方向上，輪船從A處以每小時(shí)20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，2小時(shí)后到達(dá)碼頭B處，此時(shí)，觀測(cè)燈塔C位于北偏西25°方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是________海里．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】作BD⊥AC于點(diǎn)D，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長(zhǎng)，然后在直角△BCD中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC于點(diǎn)D．由題可知海里，，．∴，∵在中，，即，∴海里．

∵在中，，即，∴海里．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確作出輔助線(xiàn)是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共6個(gè)小題，17-20每題10分，21-22每題12分，共64分。17．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到AP的位置，分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)、．(1)求證：；(2)聯(lián)結(jié)，如果，求的正切值；(3)聯(lián)結(jié)，如果，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)30【分析】（1）作CG⊥CE，交FD延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)，可根據(jù)題意得出四邊形FECG為矩形，再結(jié)合矩形和正方形的性質(zhì)推出△BCE≌△DCG，從而得到CE=CG，即四邊形FECG為正方形，即可證得結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)之上，連接CF，首先通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角定理推出△CEF和△DFP均為等腰直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)推出PF和EF之間的關(guān)系，從而表示出BE的長(zhǎng)度，即可求出∠BCE的正切值，再根據(jù)余角的關(guān)系證明∠ABP=∠BCE，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及前面兩個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程推斷出A、C、D、F四點(diǎn)共圓，即可得到在變化過(guò)程中，∠AFC始終為90°，從而在Rt△ACF中運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求解角度即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)：如圖所示，作CG⊥CE，交FD延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四邊形FECG為矩形，∠G=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四邊形FECG為正方形，∴CE=EF；(2)解：如圖所示，連接CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，則△CEF為等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，∵AP=AB，∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也為等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，設(shè)PF=DF=x，則FE=CE=3x，由（1）知四邊形CEFG為正方形，∴FG=FE=3x，∴DG=FG-DF=2x，∵△BCE≌△DCG，∴BE=DG=2x，∴在Rt△BEC中，，∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ABP=∠BCE，∴；(3)解：∵，∴如圖所示，連接AF和對(duì)角線(xiàn)AC，由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，∴∠CFD=45°，∵AC為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∴∠CAD=45°，AC=AB，∴∠CAD=∠CFD，∴點(diǎn)A、C、D、F四點(diǎn)共圓，∴∠AFC=∠ADC=90°，∵AF=AB，∴AF=AC，則在Rt△AFC中，，∵∠ACF為銳角，∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，∴∠FAD=60°-45°=15°，∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，∴△AFP≌△AFD，∴∠FAD=∠FAP=15°，∴∠PAD=30°，∴n=30．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形等，掌握?qǐng)D形的基本性質(zhì)和判定方法，具有較強(qiáng)的綜合分析能力是解題關(guān)鍵．18．（2022·廣西岑溪·九年級(jí)期末）如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離AD為30m．求這棟高樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】這棟高樓的高度為米【分析】根據(jù)三角函數(shù)求出BD、CD，相加即可求出樓高．【詳解】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴BD＝ADtan30°＝30×=（米），在Rt△ADC中，∵tan∠CAD＝，∴CD＝ADtan60°＝30×＝（米），∴BC＝BD＋CD＝＋＝（米）．答：這棟高樓的高度為米．．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確掌握各三角函數(shù)值的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．19．（2022·上海黃浦·九年級(jí)期末）如圖，在東西方向的海岸線(xiàn)1上有一長(zhǎng)為1千米的碼頭MN，在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一觀測(cè)站O，現(xiàn)測(cè)得位于觀測(cè)站O的北偏西37°方向，且與觀測(cè)站O相距60千米的小島A處有艘輪船開(kāi)始航行駛向港口MN．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后又測(cè)得該輪船位于觀測(cè)站O的正北方向，且與觀測(cè)站O相距30千米的B處．(1)求AB兩地的距離：（結(jié)果保留根號(hào)）(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）【答案】(1)(2)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．（2）延長(zhǎng)AB交l于D，比較OD與OM、ON的大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C．由題意，得MN=1,OM=58,，OA=60,OB=30∴AC=，∴∴(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸延長(zhǎng)AB交l于D，∵AC∥OD∴∴∴，解得∵M(jìn)N=1,OM=58∴ON=59∴∴如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船不能行至碼頭MN靠岸【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計(jì)算出相關(guān)特殊角和作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2022·上海徐匯·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線(xiàn)DE交邊AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作射線(xiàn)DE的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時(shí)，求的值；(2)求證：；(3)當(dāng)時(shí)，求．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)5：3【分析】（1）過(guò)D作DH⊥AB于H，設(shè)，，由勾股定理得，由中點(diǎn)定義和三角形的等面積法求得DH，再根據(jù)勾股定理求得AH、BH，由求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（3）設(shè)，，則DF=4k，根據(jù)余切定義和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AB即可求解．【詳解】解：(1)解：過(guò)D作DH⊥AB于H，在中，，，設(shè)，，∴，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=AC=，∴，∴，在Rt△AHD中，，∴BH=AB－AH=－=，在Rt△BHD中，；(2)證明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；(3)解：由可設(shè)，，則DF=4k，∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴，∴，又∠F=90°，∴，，∵△DEB∽△ADB，∴即，∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．21．（2022·安徽省六安皋城中學(xué)九年級(jí)期末）已知平行四邊形的頂點(diǎn)、分別在其的邊、上，頂點(diǎn)、在其的對(duì)角線(xiàn)上．圖1圖2(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，，求的值；(3)如圖1，當(dāng)，，求時(shí)，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)四邊形，四邊形都是平行四邊形，得到和，然后證明，即可證明出；（2）作于M點(diǎn)，設(shè)，首先根據(jù)，證明出四邊形和四邊形都是矩形，然后根據(jù)同角的余角相等得到，然后根據(jù)同角的三角函數(shù)值相等得到，即可表示出BF和FH的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出的值；（3）過(guò)點(diǎn)E作于M點(diǎn)，首先根據(jù)題意