湖南省郴州市2022-2023學年高二上學期期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

郴州市2022年下學期教學質(zhì)量監(jiān)測試卷高二數(shù)學（試題卷）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.直線與直線垂直，則等于（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一般式直線與直線垂直的結論列式求解即可得的值.【詳解】解：由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A.2.與兩圓和都相切的直線有（）條A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的標準方程確定兩圓的圓心坐標和半徑，由圓與圓的位置即可求解.【詳解】由題意知，，所以圓心距,所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.3.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與通項公式運算求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，∵，即，則，∴，則，解得.故選：C.4.已知四棱柱的底面是平行四邊形，點E在線段上滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用空間基底向量表示向量結合空間向量線性運算求解.【詳解】∵，則，∴.故選：A.5.已知曲線在處的切線方程為，則函數(shù)圖象的對稱軸方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出的值，然后可得答案.【詳解】因為，曲線在處的切線方程為，所以，結合可得所以，解得所以圖象的對稱軸方程為故選：A【點睛】本題考查的是導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.6.已知雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上一點，若，則（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線方程求出的值，求出的取值范圍，結合雙曲線的定義可求得的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，則，因為，則，所以，，設點，其中或，則，若點在雙曲線的右支上，則，則，當點在雙曲線的左支上，則，則.由雙曲線的定義可知，解得（舍）或.故選：D.7.已知、是橢圓的左、右焦點，、是橢圓短軸的上、下頂點，P是該橢圓上任意一點，若的最大值與最小值之積為3，且四邊形的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)的最值得到，根據(jù)且四邊形的內(nèi)切圓半徑為得到，即可得到答案.【詳解】因為的最大值與最小值之積為3，所以，四邊形的內(nèi)切圓半徑為，所以到直線的距離為，即，即.所以，解得，，橢圓.故選：A8.在直三棱柱中，，，，，M為該三棱柱側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且滿足，則三棱錐體積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在側(cè)面中建立平面直角坐標系，確定點的軌跡，由此確定點到平面的距離的范圍，結合錐體體積公式求三棱錐體積的取值范圍.【詳解】如圖在棱錐的側(cè)面中，以的中點為原點，為的正方向，建立平面直角坐標系，則，因為，所以點的軌跡為以為焦點的橢圓的一部分，且橢圓的長軸長為，故點的軌跡方程為，其中，所以，即點到直線的距離的范圍為，因為側(cè)面平面，所以點到平面的距離的范圍為，即三棱錐的高的取值范圍為，設三棱錐的高為，則三棱錐的體積，因為，，，所以，所以，故選：B.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列選項正確的是（）A.，則 B.，則C.，則 D.，則【答案】ABD【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)導數(shù)公式逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，若，則，A對；對于B選項，若，則，故，B對；對于C選項，若，則，C錯；對于D選項，若，則，D對.故選：ABD.10.已知圓，直線，則下列說法正確是（）A.圓C的圓心坐標為 B.圓C與y軸相切C.直線l過定點 D.直線l與圓C相交【答案】BD【解析】【分析】由圓的一般方程確定圓心坐標和半徑，將直線方程化為點斜式方程求出恒過的定點，將定點代入圓方程可判斷直線與圓的位置關系.【詳解】由，得，所以，故圓C與y軸相切；由，得，直線l恒過定點，將點代入圓C方程，得，即點在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C相交.故選：BD.11.設是等差數(shù)列，是其前n項的和，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.只在處時才取最小值【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)求出，由得到，，判斷出AB正確；再根據(jù)作差法結合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷出C選項，由，，，得到取得最小值的不止一個.【詳解】，解得：，B正確；因為，所以，故，解得：，A正確；因為，，所以，，故，C錯誤；因為，，，故當或7處時均取最小值，D錯誤.故選：AB12.如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點，是棱上的動點，則（）A.B.存在點，使平面C.存在點，使直線與所成的角為D.點到平面與平面的距離和為定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設，，設，，所以，所以，A選項正確.點到平面與平面的距離和為為定值，D選項正確.，，設平面的法向量為，則，故可設，要使平面，平面，則，解得，所以存在點，使平面，B選項正確.若直線與直線所成角為，則，，無解，所以C選項錯誤.故選：ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位)．這個問題中,乙所得為_______錢.【答案】【解析】【詳解】由題意,設這五人所得錢分別為，則，且，所以，所以乙所得為錢.14.在空間中，已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0,a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝________.【答案】【解析】【分析】分別求出兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【詳解】不妨設取平面xOy的法向量，設平面α的法向量為，則即3x＝4y＝az，取z＝1，則.又∵a>0，∴故答案為：15.已知雙曲線的右焦點為，點A坐標為，點P為雙曲線左支上的動點，且的周長不小于14，則雙曲線C的離心率的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】的周長不小于14，可得的最小值不小于9，設為雙曲線的左焦點，則的最小值不小于9，分析可得三點共線時，取最小值，從而可求的范圍，根據(jù)離心率公式即可求解.【詳解】由右焦點為，點A坐標為，可得.因為的周長不小于14，所以的最小值不小于9.設為雙曲線的左焦點，可得，故，當三點共線時，取最小值,即，所以,即.因為,所以.又,所以.故答案為:.16.設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，根據(jù)導數(shù)切線的幾何意義得到，即可得到答案.【詳解】因為，，，所以.所以，解得或.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知空間向量，，，，．（1）求x，y，z；（2）求與所成角的余弦值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量平行及垂直的坐標關系可得x，y，z的值；（2）利用空間向量坐標運算求得，，即可得，，再根據(jù)夾角余弦公式求得與所成角的余弦值即可．【小問1詳解】解：由得，解得，，經(jīng)檢驗符合；由得，解得，，．【小問2詳解】解：由（1）可得，，，，．18.已知圓C過點，圓心C在直線上，且圓C與x軸相切．（1）求圓C的標準方程；（2）過點的直線l與圓C相交于A、B兩點，若為直角三角形，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】(1)待定系數(shù)法求圓方程即可；(2)設，根據(jù)題意得到弦長，再結合垂徑定理和點線距離公式可求的值，從而得到直線l的方程．【小問1詳解】由題意，設圓心，由于圓C與x軸相切．半徑，所以設圓C方程為又圓C過點，解得圓C方程為．【小問2詳解】由圓C方程易知直線l的斜率存在，故設，即，設C到l的距離為d，則，為直角三角形，，，或，故直線l得方程為或．19.如圖2，在中，，，．將沿翻折，使點D到達點P位置（如圖3），且平面平面．（1）求證：平面平面；（2）設Q是線段上一點，滿足，試問：是否存在一個實數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的長，由勾股定理得，過點作，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理及判定定理證明即可，（2）建立空間直角坐標系，利用法向量建立關系式分析即可.【小問1詳解】在中，由余弦定理得，，，過點作交于點，如圖所示，又平面平面，且平面平面由平面，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】由題知，即，由（1）知，且平面，所以以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設為平面的法向量，由，令得，且，又易得平面的法向量為，由，故存在實數(shù)使得平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列前n項和為，且滿足，是3與的等差中項．（1）設，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）是否存在實數(shù)，使得不等式，對任意正整數(shù)n都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，的最小值為．【解析】【分析】(1)根據(jù)等差中項的應用可得，利用與的關系即可證明；(2)由(1)，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得，即，進而數(shù)列為等差數(shù)列，利用公式法求出與，有，結合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】由題設得①，有②，在①中令得，，由②-①，得，又，所以，數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）得，即變形得到，數(shù)列是等差數(shù)列，由此得，，由恒成立，令，則．，當時，；當時，，的最大值為，，即的最小值為．21.已知函數(shù)和，其中a，b為常數(shù)且．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若存在斜率為1的直線與曲線和都相切，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意對函數(shù)求導，求出切點和切線的斜率，根據(jù)點斜式求切線方程即可，（2）設曲線在點處的切線斜率為1，求導計算可得；設曲線在點處的切線斜率為1，求導計算可得，再由直線的斜率為1，可得的關系，由于，則，從而即可求出的取值范圍．小問1詳解】當時，，當時，切點為，，切線斜率為，切線方程為，即．【小問2詳解】的定義域為的定義域為，且，設曲線在點處的切線斜率為1，則，所以，則，設曲線在點處的切線斜率為1，則，所以，則，直線的斜率，所以，由于，則，所以的取值范圍為．22.已知拋物線的焦點關于直線的對稱點恰在拋物線的準線上．（1）求拋物線的方程；（2）是拋物線上橫坐標為的點，過點作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點，證明直線恒經(jīng)過某一定點，