湖南省郴州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

郴州市2022年下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)（試題卷）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.直線與直線垂直，則等于（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一般式直線與直線垂直的結(jié)論列式求解即可得的值.【詳解】解：由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A.2.與兩圓和都相切的直線有（）條A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，由圓與圓的位置即可求解.【詳解】由題意知，，所以圓心距,所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.3.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，即，則，∴，則，解得.故選：C.4.已知四棱柱的底面是平行四邊形，點(diǎn)E在線段上滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用空間基底向量表示向量結(jié)合空間向量線性運(yùn)算求解.【詳解】∵，則，∴.故選：A.5.已知曲線在處的切線方程為，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的值，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?，曲線在處的切線方程為，所以，結(jié)合可得所以，解得所以圖象的對(duì)稱軸方程為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.6.已知雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，若，則（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線方程求出的值，求出的取值范圍，結(jié)合雙曲線的定義可求得的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，則，因?yàn)?，則，所以，，設(shè)點(diǎn)，其中或，則，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，則，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的左支上，則，則.由雙曲線的定義可知，解得（舍）或.故選：D.7.已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，、是橢圓短軸的上、下頂點(diǎn)，P是該橢圓上任意一點(diǎn)，若的最大值與最小值之積為3，且四邊形的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)的最值得到，根據(jù)且四邊形的內(nèi)切圓半徑為得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)榈淖畲笾蹬c最小值之積為3，所以，四邊形的內(nèi)切圓半徑為，所以到直線的距離為，即，即.所以，解得，，橢圓.故選：A8.在直三棱柱中，，，，，M為該三棱柱側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在側(cè)面中建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡，由此確定點(diǎn)到平面的距離的范圍，結(jié)合錐體體積公式求三棱錐體積的取值范圍.【詳解】如圖在棱錐的側(cè)面中，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故點(diǎn)的軌跡方程為，其中，所以，即點(diǎn)到直線的距離的范圍為，因?yàn)閭?cè)面平面，所以點(diǎn)到平面的距離的范圍為，即三棱錐的高的取值范圍為，設(shè)三棱錐的高為，則三棱錐的體積，因?yàn)?，，，所以，所以，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.，則 B.，則C.，則 D.，則【答案】ABD【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，D對(duì).故選：ABD.10.已知圓，直線，則下列說(shuō)法正確是（）A.圓C的圓心坐標(biāo)為 B.圓C與y軸相切C.直線l過(guò)定點(diǎn) D.直線l與圓C相交【答案】BD【解析】【分析】由圓的一般方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，將直線方程化為點(diǎn)斜式方程求出恒過(guò)的定點(diǎn)，將定點(diǎn)代入圓方程可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由，得，所以，故圓C與y軸相切；由，得，直線l恒過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓C方程，得，即點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以直線l與圓C相交.故選：BD.11.設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.只在處時(shí)才取最小值【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)求出，由得到，，判斷出AB正確；再根據(jù)作差法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷出C選項(xiàng)，由，，，得到取得最小值的不止一個(gè).【詳解】，解得：，B正確；因?yàn)?，所以，故，解得：，A正確；因?yàn)椋?，所以，，故，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，故?dāng)或7處時(shí)均取最小值，D錯(cuò)誤.故選：AB12.如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.存在點(diǎn)，使平面C.存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D.點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，所以，所以，A選項(xiàng)正確.點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，要使平面，平面，則，解得，所以存在點(diǎn)，使平面，B選項(xiàng)正確.若直線與直線所成角為，則，，無(wú)解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等．問(wèn)各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問(wèn)五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位)．這個(gè)問(wèn)題中,乙所得為_(kāi)______錢.【答案】【解析】【詳解】由題意,設(shè)這五人所得錢分別為，則，且，所以，所以乙所得為錢.14.在空間中，已知平面α過(guò)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝________.【答案】【解析】【分析】分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【詳解】不妨設(shè)取平面xOy的法向量，設(shè)平面α的法向量為，則即3x＝4y＝az，取z＝1，則.又∵a>0，∴故答案為：15.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)P為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)不小于14，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】的周長(zhǎng)不小于14，可得的最小值不小于9，設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則的最小值不小于9，分析可得三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，從而可求的范圍，根據(jù)離心率公式即可求解.【詳解】由右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，可得.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)不小于14，所以的最小值不小于9.設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值,即，所以,即.因?yàn)?所以.又,所以.故答案為:.16.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)切線的幾何意義得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所?所以，解得或.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.已知空間向量，，，，．（1）求x，y，z；（2）求與所成角的余弦值．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量平行及垂直的坐標(biāo)關(guān)系可得x，y，z的值；（2）利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，即可得，，再根據(jù)夾角余弦公式求得與所成角的余弦值即可．【小問(wèn)1詳解】解：由得，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合；由得，解得，，．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，，，，．18.已知圓C過(guò)點(diǎn)，圓心C在直線上，且圓C與x軸相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若為直角三角形，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】(1)待定系數(shù)法求圓方程即可；(2)設(shè)，根據(jù)題意得到弦長(zhǎng)，再結(jié)合垂徑定理和點(diǎn)線距離公式可求的值，從而得到直線l的方程．【小問(wèn)1詳解】由題意，設(shè)圓心，由于圓C與x軸相切．半徑，所以設(shè)圓C方程為又圓C過(guò)點(diǎn)，解得圓C方程為．【小問(wèn)2詳解】由圓C方程易知直線l的斜率存在，故設(shè)，即，設(shè)C到l的距離為d，則，為直角三角形，，，或，故直線l得方程為或．19.如圖2，在中，，，．將沿翻折，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置（如圖3），且平面平面．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)Q是線段上一點(diǎn)，滿足，試問(wèn)：是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的長(zhǎng)，由勾股定理得，過(guò)點(diǎn)作，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理及判定定理證明即可，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量建立關(guān)系式分析即可.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理得，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖所示，又平面平面，且平面平面由平面，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問(wèn)2詳解】由題知，即，由（1）知，且平面，所以以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)為平面的法向量，由，令得，且，又易得平面的法向量為，由，故存在實(shí)數(shù)使得平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足，是3與的等差中項(xiàng)．（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式，對(duì)任意正整數(shù)n都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，的最小值為．【解析】【分析】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用可得，利用與的關(guān)系即可證明；(2)由(1)，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即，進(jìn)而數(shù)列為等差數(shù)列，利用公式法求出與，有，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)得①，有②，在①中令得，，由②-①，得，又，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，即變形得到，數(shù)列是等差數(shù)列，由此得，，由恒成立，令，則．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的最大值為，，即的最小值為．21.已知函數(shù)和，其中a，b為常數(shù)且．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若存在斜率為1的直線與曲線和都相切，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出切點(diǎn)和切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程即可，（2）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求導(dǎo)計(jì)算可得；設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求導(dǎo)計(jì)算可得，再由直線的斜率為1，可得的關(guān)系，由于，則，從而即可求出的取值范圍．小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，，切線斜率為，切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，則，所以，則，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，則，所以，則，直線的斜率，所以，由于，則，所以的取值范圍為．22.已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰在拋物線的準(zhǔn)線上．（1）求拋物線的方程；（2）是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，證明直線恒經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，