湖北省十堰市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

十堰市2022~2023學(xué)年度上學(xué)期期末調(diào)研考試題高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22題，均為必考題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考號(hào)填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將考號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).答在試題卷?草稿紙上無效.3.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷?草稿紙上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得出集合，根據(jù)并集的概念求解即可.詳解】由解得，則，所以．故選：B．2.關(guān)于命題“”，下列判斷正確是（）A.該命題是全稱量詞命題，且為假命題B.該命題是存在量詞命題，且為真命題C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式判斷命題的真假，結(jié)合存在量詞命題的概念及存在量詞命題的否定為全稱量詞命題得出答案.【詳解】命題為存在量詞命題，由，得，所以為假命題.命題的否定.故選：C.3.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合．若角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)定義計(jì)算得到答案．【詳解】，即，則．故選：D．4.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出該冪函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域，奇偶性及單調(diào)性判斷即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)樵搩绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，解得，即該冪函數(shù)的解析式為，其定義域?yàn)?，為偶函?shù)，且在上為減函數(shù).故選：C．5.若定義在上的函數(shù)滿足則“為無理數(shù)”是“2023”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合已知條件分析判斷即可.【詳解】當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，則.當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，則.所以當(dāng)時(shí)，，故“為無理數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A6.已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，則的最小值為（）A.25 B.5 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由題意知，用基本不等式中“1”的代換求的最小值.【詳解】由題意知，且，故，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B7.黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小?密度大?吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”.任意取一個(gè)數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)?奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新的數(shù)字串.重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字串，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個(gè)數(shù)字串設(shè)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取一個(gè)數(shù)字串,確定“數(shù)字黑洞”，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式計(jì)算，可得答案.【詳解】根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后為314，經(jīng)過第二步之后為123，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以“數(shù)字黑洞”為123，即，則,故選:A.8.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理，即可求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?，所以，，所以，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，?因，所以.故選：ABD.10.已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（）A.的對稱中心為B.的對稱軸為直線C.D.不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】由題意可得圖象的對稱軸為直線，即可判斷A，B；結(jié)合對稱性可得在上單調(diào)遞減，從而，即可判斷C；由不等式結(jié)合的對稱性及單調(diào)性，可得，解不等式即可判斷D．【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以圖象的對稱軸為直線，故A錯(cuò)誤，B正確；又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤；由不等式結(jié)合的對稱性及單調(diào)性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集為，故D正確，故選：BD．11.某城市有一個(gè)面積為1的矩形廣場，該廣場為黃金矩形（它的寬與長的比為），在中央設(shè)計(jì)一個(gè)矩形草坪，四周是等寬的步行道，能否設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)牟叫械缹挾仁咕匦尾萜簽辄S金矩形？下列選項(xiàng)不正確的是（）A.步行道的寬度為m B.步行道的寬度為mC.步行道的寬度為5m D.草坪不可能為黃金矩形【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)廣場的寬為m，則長為m，步行道的寬度為m，根據(jù)黃金矩形的比例關(guān)系列出方程，求出，從而得到D正確，ABC錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)該廣場的寬為m，則長為m，所以，設(shè)步行道的寬度為m，使得草坪為黃金矩形，由于，則，解得：，故草坪不可能為黃金矩形，D正確，ABC錯(cuò)誤.故選：ABC12.高斯是德國的天才數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函數(shù)，其中不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作．如，，，記函數(shù)，則（）A. B.的值域?yàn)镃.在上有5個(gè)零點(diǎn) D.，方程有兩個(gè)實(shí)根【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值、值域、零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，……以此類推，可得的圖象如下圖所示，由圖可知，的值域?yàn)?，選項(xiàng)B正確；由圖可知，在上有6個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示，即方程有兩個(gè)根，選項(xiàng)D正確．故選：BD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.寫出一個(gè)與終邊相同的角：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的集合寫出即可.【詳解】與終邊相同的角的集合為，取，則，（取值時(shí)，即可）.故答案為：（答案不唯一）.14.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】由題意知是方程兩根，且，根據(jù)韋達(dá)定理可得出a，b，c的關(guān)系，代入解不等式即可．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以是方程的兩根，且，則，解得，所以關(guān)于的不等式，即，化簡得，解得，則關(guān)于的不等式的解集為．故答案為：．15.《樂府詩集》輯有晉詩一組，屬清商曲辭吳聲歌曲，標(biāo)題為《子夜四時(shí)歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來.輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái).詩里的疊扇，就是折扇.一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成.如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”.若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑10，則此時(shí)的扇形面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式結(jié)合題意列方程求出，從而可求出.【詳解】因?yàn)榕c所在扇形的圓心角分別為，所以.由，得，所以.故答案為：16.若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且在區(qū)間上的取值范圍為，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】先畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后分和兩種情況結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于的方程組，再將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根和在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則所以關(guān)于的方程，即在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.令，則，令，則對稱軸為，，，結(jié)合圖象可知.當(dāng)時(shí)，在上遞減，則化簡得，所以，即.由得即關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，即在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，即.綜上，的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解，屬于較難題.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.計(jì)算：（1）；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)直接求解即可；（2）對已知的式子兩邊平方化簡可求得結(jié)果.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】將等式兩邊同時(shí)平方得，則.18.設(shè)全集為，集合或.（1）求圖中陰影部分表示的集合；（2）已知集合，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）圖中陰影部分表示，根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；（2）依題意分與兩種情況討論，列出不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，或，則，所以圖中陰影部分表示.【小問2詳解】，，且，當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則或解得.綜上，的取值范圍為.19.已知角滿足.（1）若，求的值；（2）若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，求的值.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解；（2）求出，由弦化切將變形為求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?由，得，又因?yàn)?，所以，?【小問2詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，所以，由，得，則，所以.20.已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求的最大值；（2）若，求的最大值.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）由題意求得，變形，然后利用基本不等式求解即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，即關(guān)于的不等式在上恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值1，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為4.【小問2詳解】方法一：，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最大值為.方法二：由（1）知：且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.21.某地在曲線C的右上角區(qū)域規(guī)劃一個(gè)科技新城，該地外圍有兩條相互垂直的直線形國道，為交通便利，計(jì)劃修建一條連接兩條國道和曲線C的直線形公路．記兩條相互垂直的國道分別為，，計(jì)劃修建的公路為．如圖所示，為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測得點(diǎn)A到，的距離分別為5千米和20千米，點(diǎn)B到，的距離分別為25千米和4千米．以，所在的直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．假設(shè)曲線C符合函數(shù)（其中m，n為常數(shù)）模型．（1）求m，n的值．（2）設(shè)公路與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．①請寫出公路長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域．②當(dāng)為何值時(shí)，公路的長度最短？求出最短長度．【答案】（1）；（2）①，；當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米.②【解析】【分析】(1)由題意得函數(shù)過點(diǎn)，點(diǎn)，列方程組就可解出m，n的值；(2)①求公路長度的函數(shù)解析式，就是求出直線與軸交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出直線方程，再根據(jù)為的兩個(gè)端點(diǎn)的限制條件得定義域?yàn)?；②對函?shù)解析式解析式根式內(nèi)部分利用基本不等式求最小值，即可得的最小值及此時(shí)t的值.【小問1詳解】解：由題意知，點(diǎn)，點(diǎn)，將其分別代入，得，解得.【小問2詳解】解：①由（1）知，，則點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)處的切線交軸分別于點(diǎn)，因?yàn)椋嗟姆匠虨?，由此?故，；②因?yàn)?，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米.22.已知是定義在上的奇函數(shù)，其中，且.（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求非負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）在上單調(diào)遞減，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合，求得到的值，檢驗(yàn)即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；（3）記在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)椋趨^(qū)間內(nèi)的值域?yàn)?，將問題轉(zhuǎn)化為時(shí)求非負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍，利用單調(diào)性求出的值域，分，，和四種情況討論，結(jié)合單調(diào)性求出的值域，即可得到答案．【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x