第4章 位錯的彈性性質課件

第4章位錯的彈性性質第4章位錯的彈性性質4.1

彈性力學基礎知識所謂彈性連續(xù)介質，是對晶體作了簡化假設之后提出的模型：(1)

晶體是完全彈性體，因此服從胡克定律；(2)

晶體是各向同性的，因此其彈性常數(shù)（彈性模量、泊松比等）不隨方向而變化；(3)晶體內部由連續(xù)介質組成，因此晶體中的應力、應變、位移可用連續(xù)函數(shù)表示。1）彈性連續(xù)介質第4章位錯的彈性性質

A

A在m-m截面上P點處定義：m-m截面上P點的正應力m-m截面上P點的切應力（剪應力）m-m截面上P點的全應力

物體在受力狀態(tài)下，其內部不同部分之間互相產生作用力，這種作用力稱為內力。作用在某點處的內力，在該點的微面積上的集度p，叫該點處的應力。2）應力第4章位錯的彈性性質變形體內某點處取出的邊長無限小的體積微元在直角坐標系下，單元體為無限小正六面體xyzxyz單元體的三對表面：正面：外法向與坐標軸同向負面：外法向與坐標軸反向單元體是變形體的最基本模型1單元體的概念第4章位錯的彈性性質為了表達彈性體內部任意一點M的應力狀態(tài)，利用三個與坐標軸方向一致的微分面，通過M點截取一個平行六面體單元,如圖所示xyzxyz該分量的指向所在面的法向兩腳標相同——正應力兩腳標不同——切應力2應力分量第4章位錯的彈性性質xOzydzdxdyXYZOsyysyyszzszztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxxsxxtzxtxztzxtxz正面正方向為正，負面負方向為正正面負方向為負，負面正方向為負應力的正負號第4章位錯的彈性性質圓柱坐標：用z軸、ρ方向及θ角來描述為表示任一點應力狀態(tài)也是取一個體積元，其上的應力分量也有9個，3個正應力,6個切應力第4章位錯的彈性性質棱邊長度的改變量與原棱長之比

。以線段伸長為正，線段縮短為負。正應變切應變原來成直角的兩棱之間角度的改變量。以角度減小為正，以角度增大為負。3）應變第4章位錯的彈性性質4）泊松比一般情況下，任意一點存在36個常數(shù)cij值。晶體的對稱性越強，獨立的彈性常數(shù)數(shù)目越少。在彈性連續(xù)介質中，只有2個獨立的cij值，工程上分別用E、G標記:六個應力分量與六個應變分量之間，均遵循胡克定律:σij=cijε。式中cij為彈性模量，是量度材料抵抗彈性變形能力的物理量。G為切應變彈性模量，也叫切變模量：

E為正應變彈性模量，也叫楊氏模量：

E和G之間存在如下關系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示縱橫變形茉系的參量，稱為泊松比第4章位錯的彈性性質xxzzAA’E’uxdxuzdzECFC’F’5）應變與位移的關系該式表明了一點處的位移分量和應變分量所應滿足的關系，稱為幾何方程，也稱為柯西（Augustin-LouisCauchy）幾何關系。第4章位錯的彈性性質4.2

位錯的應力場位錯中心部分畸變程度最為嚴重，超出了彈性應變范圍，不討論。僅討論中心區(qū)以外的彈性畸變區(qū)，借助彈性連續(xù)介質模型。假設：晶體是各向同性的均勻連續(xù)彈性介質，位錯處在無限大的連續(xù)介質中。

優(yōu)點缺點模型簡單中心區(qū)不適用，忽略晶體結構的影響第4章位錯的彈性性質

1）刃位錯的應力場①應力場模型在圓柱體中心挖出一個半徑為rO的小洞沿xoz平面從外部切通至中心在切開的兩面上加外力，使其沿x軸作相對位移b;再把切開的面膠合起來撤去外力這樣的圓柱體與包含一個刃型位錯的晶體相似。第4章位錯的彈性性質②應力場的特點同時存在著正應力與切應力;刃型位錯的應力場，對稱于多余半原子面;滑移面上無正應力，只有切應力，且其切應力最大。正刃型位錯的滑移面上側，在x方向的正應力為壓應力;滑移面下側，在x方向上的正應力為拉應力半原子面上或與滑移面成45°的晶面上，無切應力。正應力：切應力：其中：第4章位錯的彈性性質2）螺型位錯的應力場①應力場模型與函數(shù)沿xz平面剖開使之沿z軸產生相對位移b，然后再粘合。當然也要挖去位錯線附近的嚴重畸變區(qū)域。第4章位錯的彈性性質②應力場的特點只有切應力分量（σθz、σzθ），而無正應力。螺型位錯的應力場，是對稱于位錯線的。所產生的切應力大小只與r的大小有關，即只與離位錯線的距離成反比，而與θ無關。柱坐標表達式第4章位錯的彈性性質4.3

位錯的應變能位錯在周圍晶體中引起畸變，使晶體產生畸變能，這部分能量稱為位錯的應變能。與位錯的畸變相對應，位錯的能量也可分為兩部分：一是位錯中心畸變能；二是位錯中心以外的能量即彈性應變能

。根據(jù)點陣模型對位錯中心能量的估算得：彈性應變能占總能量的90%，所以位錯中心畸變能可忽略不計，即通常用彈性畸變能表示位錯的應變能。第4章位錯的彈性性質1）刃型位錯的應變能ABCD①形成圖示的位錯的功，可以理解為XZ剖面ABCD兩邊晶體在切應力σθr作用下產生相對位移u=b所做的功。刃型位錯在XZ剖面的應力:②在XZ剖面上θ=0，cosθ=1③當剖面從r到(r+dr)處，產生位移db(r)所做功：④當剖面從r0處擴展到R處，db從0變到b所功:單位長度的刃錯線總能量（應變能）：R

σθrR第4章位錯的彈性性質2）螺型位錯的應變能σθz在XZ剖面的應力為:

單位長度的螺錯線能量：

第4章位錯的彈性性質單位長度的混合位錯能量：上述公式可簡化為：R—位錯應力場最大作用范圍的半徑r0—位錯中心區(qū)域的半徑θ—混合位錯的柏氏矢量與位錯線的夾角α—由位錯的類型、密度(R值)決定，其值0.5~1.03）混合位錯的應變能第4章位錯的彈性性質討論。1）位錯的能量包括兩部分：Ec和Ee。位錯中心區(qū)的能量Ec一般小于總能量1/10,?？珊雎裕欢诲e的彈性應變能ln(R/r0),它隨r緩慢地增加,所以位錯具有長程應力場。2）位錯的應變能與b2

成正比。從能量的觀點來看，晶體中具有最小b的位錯應該是最穩(wěn)定的，因此位錯趨向于取b最小的組態(tài)。3）W螺/W刃=1-ν，常用金屬材料的ν約為1/3，故螺型位錯的彈性應變能約為刃型位錯的2/3。4）位錯的能量是以單位長度的能量來定義的，故位錯能量還與位錯線的形狀有關。由于兩點間以直線為最短，所以直線位錯的應變能小于彎曲位錯的，即更穩(wěn)定，因此位錯線有盡量變直和縮短其長度的趨勢。5）位錯的存在均會使體系的內能升高。因此，位錯的存在使晶體處于高能的不穩(wěn)定狀態(tài)，可見位錯是熱力學上不穩(wěn)定的晶體缺陷。第4章位錯的彈性性質1）位錯的線張力位錯的總能量與位錯線的長度成正比，因此為降低能量，位錯線有縮短變直的傾向，好像沿位錯線有個張力，這個張力叫位錯的線張力。當位錯線的長度增加一無限小量，其能量增加與長度增量的比值等于線張力T，即：T=ΔW/ΔL，所以位錯的線張力在數(shù)值上等于單位長度位錯線的能量，并且與位錯線的具體形狀有關。4.4位錯的受力第4章位錯的彈性性質①直線位錯的線張力單位長度位錯的能量為:當ro→b0(10-8cm)，R(相當于亞晶粒長度)≈10-4cm時，直線位錯的線張力為:第4章位錯的彈性性質②彎曲位錯的線張力r>λ區(qū)域：r<λ區(qū)域：未彎曲前:線張力T:若設（一般情況下）λ=100r0，第4章位錯的彈性性質物理意義①曲線線張力與波長有關②由于遠程應力場可互相抵消，所以彎曲位錯的線張力小于直線位錯的線張力。③

位錯的線張力不僅驅使位錯線變直，而且也是晶體中位錯呈三維網(wǎng)狀分布的原因。因為位錯網(wǎng)絡相交于同一結點的各位錯，其線張力處于平衡狀態(tài)，從而保證了位錯在晶體中的相對穩(wěn)定性。第4章位錯的彈性性質③彎曲位錯的向心恢復力由于位錯有線張力，所以彎曲位錯會由線張力產生一個指向曲率中心的向心恢復力F，f為每單位長度位錯的向心恢復力由式可見，曲率半徑r越小，則恢復力越大；要使位錯彎曲，外力必須在位錯上作用一個能與向心恢復力平衡的力。第4章位錯的彈性性質(1)分析該位錯環(huán)各段位錯的結構類型。(2)求各段位錯線所受的力的大小及方向。(3)在τ的作用下，該位錯環(huán)將如何運動？(4)在τ的作用下，若使此位錯環(huán)在晶體中穩(wěn)定不動，其半徑應為多大？

如圖某晶體的滑移面上有一柏氏矢量為b的位錯環(huán)，并受到一均勻切應力τ。例題第4章位錯的彈性性質(1)令逆時針方向為位錯環(huán)的方向，則a點為正刃型位錯，b點為負刃型位錯，c點為左螺旋位錯，d點為右螺旋位錯。環(huán)上其它各點為混合型位錯。(2)各點均受力均為F=τb，方向垂直于位錯線并指向滑移面的未滑移區(qū)。(3)在應力作用下位錯環(huán)在晶體中擴展，直至達到應力與位錯線的線張力的平衡，位錯環(huán)最后在晶體中穩(wěn)定不動。(4)使位錯環(huán)不動時，作用在位錯線的向心恢復力與外加應力作用在單位位錯線上的力平衡，所以：

答案第4章位錯的彈性性質2）外加應力場作用在位錯線上的力它是虛設的、驅使位錯滑移的力，它必然與位錯線運動方向一致，即處處與位錯線垂直，指向未滑移區(qū)。虛功原理：外力使晶體變形所做的功=位錯運動所作的功。外力作用在晶體上后，使位錯線向著與之垂直的方向移動，好象有個力，垂直作用在位錯線上，稱之為外加應力場作用在位錯線上的力。①位錯在外切應力場中的受力第4章位錯的彈性性質虛功原理應力：單位面積上的內力

假設作用在滑移面上的切應力為τ,當使長度為l的位錯線移動距離D之后，晶體正好位移了位錯的一個柏氏矢量b，設此面上晶體位移b所做的功為W1實功：力在自身引起的位移上所做的功W1虛功：力在其他原因產生的位移上所做的功W2第4章位錯的彈性性質作用在單位位錯線上的力F與外加切應力τ及柏氏矢量b成正比，由于同一位錯線各點柏氏矢量b相同，所以當外加切應力均勻作用在晶體上時，位錯線各點所受力的大小是相同的。作用于位錯線上的力F與外加切應力τ的方向不一定是一致的(純刃型位錯與τ同向，純螺型位錯與τ垂直)。特點第4章位錯的彈性性質柏氏矢量分解為：應力在面積上的作用力為：

若晶體中有一段位錯線元dl,它的柏氏矢量為b,在外加應力場σ作用下，位移ds,把應力場寫成②位錯在一般應力場中的受力第4章位錯的彈性性質作用在位錯線上的力所作的功為又：W1=W2所以，即：時所作的功為由混合積性質得：此作用力位移第4章位錯的彈性性質例1：晶體中有一位錯環(huán)ABCD，柏氏矢量為b，求在切應力作用下各段位錯線上受力。解：首先設位錯環(huán)的正方向如圖上箭頭所示，然后按力的一般表達式求出各段位錯受力。外加應力場為：柏氏矢量為：第4章位錯的彈性性質同理可得：∴刃型、螺型位錯均受力，在τ作用下，環(huán)在滑移面上滑移，結果使環(huán)擴大，滑出表面。第4章位錯的彈性性質解：首先設位錯環(huán)的正方向如圖上箭頭所示，然后按力的一般表達式求出各段位錯受力。外加應力場為：柏氏矢量為：例2：晶體中有一位錯環(huán)ABCDA，柏氏矢量為,求在正應力作用下各段位錯線上的受力。第4章位錯的彈性性質同理可得：∴在正應力作用下，刃型位錯作攀移運動，螺位錯不受力，不動。第4章位錯的彈性性質3）位錯間的相互作用力兩個位錯靠近到一定程度，即達到它們彼此的應力場范圍以內時，就相互吸引或相互排斥，好象它們之間存在著作用力，這就是位錯間的相互作用力。從能量角度看，位錯有應變能，兩個位錯無論相斥或相吸，其趨勢是力求降低總的彈性應變能。第4章位錯的彈性性質S1的應力場:則位錯S1對位錯S2的作用力：①兩根平行螺型位錯間的作用力設兩平行螺型位錯平行于z軸，S1原點，S2在（x,y）兩個螺型位錯間的相互作用力矢量(xi+yj)正好是大小為r而方向由位錯b1指向位錯b2的矢量。無論第二個位錯處于什么方向(即任何θ角)，受到永遠沿著它們之間的連線的排斥力，其大小則為ub1b2/2πr第4章位錯的彈性性質(1)如果第二個位錯是左螺型位錯，則它受到的是第一個即右螺型位錯的吸引力。即兩個平行異號螺型位錯是相吸的，同號則是相斥的。(2)第二個螺型位錯對第一個螺型位錯施加同樣大小但方向相反的力。(3)作用力隨兩者的距離呈反比變化。(4)因設位錯線很長，各處均受到同樣作用力。第4章位錯的彈性性質②兩垂直螺型位錯間的作用力位錯A、B相互作用力：兩相互垂直螺位錯A、B的柏氏矢量分別為bA和bB，A//z軸，B∥x軸，bB=(bB00)，位錯B為單位位錯線長i第4章位錯的彈性性質討論當bA與bB同向時，F(xiàn)AB<0，即兩同號相互垂直的螺型位錯相互吸引當bA與bB反向時，F(xiàn)AB>0，即兩異號相互垂直的螺型位錯相互排斥。第4章位錯的彈性性質①兩平行刃型位錯間的作用力

設兩平行位錯為同號位錯。將坐標原點定在位錯線Ⅰ上，以此位錯線為z軸。位錯Ⅱ位于(x,y)處.因為位錯在滑移面上容易滑移。由位錯I的應力σyx引起的作用于位錯II上的力Fx使位錯Ⅱ沿x軸方向滑移，叫滑移力。由σxx引起的作用力Fy使位錯Ⅱ沿y軸方向攀移，叫攀移力。兩個刃型位錯間的相互作用力第4章位錯的彈性性質討論Fx同號位錯(1)當x=0即位錯2在Y軸上，或x=±y即位錯2在x-y坐標的45°線上時，F(xiàn)x=0，沒有使位錯2滑移的力。前者穩(wěn)定，后者亞穩(wěn)(2)∣x∣>∣y∣，即位錯2處于Ⅰ,Ⅱ兩個區(qū)間時，F(xiàn)x>0，應力場斥力使它向距Y軸更遠方向滑移，使兩位錯分開(3)∣x∣<∣y∣，即位錯2處于Ⅲ,Ⅳ兩個區(qū)間時，F(xiàn)x<0，位錯2受到位錯1的吸引力，使它更靠近Y軸(形成位錯墻）異號位錯第4章位錯的彈性性質表示Fx與x關系，x表示兩位錯水平距離,y表示兩位錯的垂直距離.Fx的單位以Gb1b2/[2π(1-v)y]來表示，X坐標以y的距離表示。實線表示兩個同號位錯的作用力，虛線表示兩個異號位錯的作用力第4章位錯的彈性性質討論Fy攀移力Fy與y同號，當位錯e2在位錯e1的滑移面上邊時，y>0，F(xiàn)y>0，即指向上；當位錯e2在位錯e1的滑移面下邊時，y<0，F(xiàn)y<0，即指向下。同號位錯沿y軸方向互相排斥；異號位錯沿y軸方向互相吸引(進而相接而消失)第4章位錯的彈性性質②兩垂直刃型位錯間的作用力兩垂直的刃型位錯，其垂直情況可有幾種、但不管取哪一種，其相互作用力都表現(xiàn)為攀移力。第4章位錯的彈性性質兩刃、螺型位錯間的相互作用力相互平行螺型位錯的應力場沒有使刃型位錯受力的應力分量，刃型位錯的應力場也沒有使螺型位錯受力的應力分量，所以兩個位錯間沒有相互作用。相互垂直刃型位錯線與螺型位錯線垂直時，因其垂直情況不同，其相互作用情況也不同，比較復雜；第4章位錯的彈性性質結論：眾多位錯之間即有吸引又有排斥，交互作用的結果使體系處于較低的能量狀態(tài)，或者說位錯將處于低能的排列狀態(tài)。上面只是討論了簡單的位錯交互作用情況，實際晶體中位錯往往是混合型的，它們的排列也不可能完全平行或垂直的，所以位錯間的交互作用十分復雜。第4章位錯的彈性性質螺位錯：這個力相當于在自由表面外側與位錯成鏡面對稱的位置放入一個反號螺位錯（稱映像位錯）對真實位錯的作用力，故這力稱映像力。對于刃位錯，也近似用此方法計算映像力。在兩個彈性模量不同的介質的界面（如相界面），對它附近的位錯也會產生映像力。在薄膜晶體中映像力將起重要作用。當位錯處于自由表面附近時，便有自動移向表面，以降低位錯應變能的趨勢。這個現(xiàn)象說明自由表面對位錯具有吸引力4）晶體表面作用于位錯上的力第4章位錯的彈性性質5）半點陣模型與派—納力①半點陣模型及其基本方程yx

ＡＢ-u(x)u(x)

(x)刃型位錯芯部構造示意圖aPeiels和Nabarro提出了半點陣模型，導出了P-N力公式。具有簡單立方點陣的晶體，沿滑移面將晶體切為二部分，相對位移b/2，然后適當壓縮上部晶體，拉伸下部晶體，使A、B兩個原子面上的原子，靠原子間的互相作用合并到一起，形成刃位錯。第4章位錯的彈性性質由圖可知：P-N模型的假設：1)仍將A面以上和B面以下晶體看成是連續(xù)介質。2)將A、B面之間的切應力認為是其面上對應原子之間的相對位移(x)的正弦函數(shù)，周期為b。首先求B面對A面的切應力

xy當

(x)很小時第4章位錯的彈性性質二式相等：當

(x)很小時，滿足胡克定律：Eshelby提出一個近似方法，將柏氏矢量為b的位錯分解成位錯強度為無限小的無窮多個彈性位錯，沿滑移面連續(xù)分布。再求A面以上的彈性體對A面的作用力

xy第4章位錯的彈性性質在滑移面上，某彈性位錯在x處產生的切應力d

xy整個位錯在x處產生的切應力是[-,]內諸位錯積分：又因為：，代入上式單位長度的x軸上的強度分布為，在范圍內的強度就應該是

，在整個x軸上的強度之和等于b，則第4章位錯的彈性性質在平衡狀態(tài)下：此即P－N模型的基本公式，它的方程解：u(x)即位錯中心上下面原子的位移。第4章位錯的彈性性質得位錯寬度②位錯中心寬度一定晶體中，密排面間距越大，面間原子對齊能力越弱，所以位錯寬度越大。原子結合鍵力方向性越強的晶體，位錯寬度越小。當V=1/3時，位錯寬度僅為1.5a,即約1.5個面間距。定義：原子發(fā)生位移小于極限值一半時的寬度。第4章位錯的彈性性質－A、B面的對應原子鋪開φ(x)產生的錯排能。每對原子列的錯排能：錯排能的計算采用離散方法計算位錯中心的錯排能。A面或B面原子的錯排能：③P-N力第4章位錯的彈性性質A、B面上原子列位置可表示為：(0<<1)用αb表示位錯滑移后中心到最近平衡位置的距離根據(jù)Cottrell－Nabarro的求和公式:第4章位錯的彈性性質位錯移動所遇到的阻力：克服最大阻力所需要的臨界切應力：第4章位錯的彈性性質4.5

位錯與點缺陷的交互作用位錯在晶體中產生應力場，而溶質原子可能由于其大小不同于基體原子，在基體中引起畸變，這種畸變對位錯的應力場做功，從而產生溶質原子和位錯的交互作用能。交互作用能隨溶質原子與位錯的相對位置而異，因此溶質原子就趨向于能量較低的位置，這就表現(xiàn)出位錯對溶質原子的作用力。以上這種由尺寸引起的交互作用稱為尺寸交互作用。第4章位錯的彈性性質設想一連續(xù)彈性介質的晶體中含有一刃位錯和一個溶質原子或空位，體系的能量為：U0+Ue+UIDU0-點缺陷的應變能；Ue-位錯的應變能；UID-當溶質原子移近位錯時，體系能量的改變值，即彈性交互作用能?？赡転檎?，也可能為負。yxθr1r0γ1）位錯與溶質原子間交互作用能第4章位錯的彈性性質r1r0假想在連續(xù)彈性介質中挖一球形孔洞，半徑為r0（置換或空位：溶劑原子半徑，間隙：間隙半徑），然后填入一個半徑為r1（溶質原子半徑）的小球。如果體系無位錯，該過程只反抗周圍介質做功，能量為U0。第4章位錯的彈性性質r1r0στ當有位錯存在時，除U0外，該過程還需反抗位錯應力場σij做功，相當于彈性交互作用能UID由于點缺陷在晶體中產生的是球形對稱的畸變，所以位移始終垂直于球面，故應力場中σij在球面上產生的切應力做功為0。（∵沒有切應變），而正應力σ為平均值。第4章位錯的彈性性質位錯與點缺陷的交互作用能用UID表示，則：在位移Δr＝r1－r0過程中，孔洞周圍體積改變?yōu)棣，反抗位錯應力場所做之功為：

ΔW＝－σΔV將刃位錯應力場代入得：r1r0στ第4章位錯的彈性性質大原子