六種類型解決與圓有關的題目-解析版

與圓有關的知識TOC\o"1-1"\h\z\u類型一直線與圓相交的弦長最值 4類型二將軍飲馬的線段最值 7類型三點的軌跡 10類型四切線的夾角，面積，切線弦方程（較難） 12類型五幾何意義（難） 21類型六阿氏圓的兩種表述與應用（難） 25圓的方程【知識清單】1、圓的定義及方程定義平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程x-a圓心a,b；半徑r一般方程x充要條件：.圓心：半徑：.（1）圓x-a2+y-b2（2）以Ax1,y1，2、點與圓的位置關系定點Mx0,y（1）d>r?點M在圓外；即：x-a2+y-b（2）d=r?點M在圓上；即：x-a2+y-b（3）d<r?點M在圓內(nèi)；即：x-a2+y-b2<直線與圓圓與圓的位置關系1、直線與圓的位置關系幾何法代數(shù)法相交相切相離（1）直線l與半徑為r的圓相交于AB，圓心到直線l的距離為d，則弦長AB=（2）設點Px0若定點P在圓C上，則過點P的圓C的切線方程為：.特別地，若a=0，b=0，則過點P的圓C的切線方程為：若定點P在圓C外，則過點P可以做圓C的兩條切線，則兩切點所在直線的方程為：.（3）圓系：經(jīng)過圓C1:x2+y2、圓與圓的位置關系若兩圓的半徑分別為r1,r位置關系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1ddrd=0≤d<代數(shù)特征類型一直線與圓相交的弦長最值【典型例題】1．（2021下·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知直線l:y=kx+1，圓C:x-12+y+12=12．則直線l恒過定點，直線【答案】0,14【詳解】解：直線l:y=kx+1，當x=0時，y=1，故直線l恒過定點(0,1)；圓C:(x-1)2+(y+1)2=12，因為所以直線l被圓C截得的最大弦長為直徑43故答案為：(0,1)；432．（2019上·廣東佛山·高二佛山一中校考期中）已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|=2【答案】-33【詳解】圓x2+y設圓x2+y2=12圓心(0,0)則有d=12-整理得-23此時直線l斜率為33，傾斜角為30°過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，∴|CD|=2故答案為:-33．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎本€l：kx-y-2k+2=0被圓C：x2+(y+1)2=16【答案】9【詳解】將直線l的方程整理可得kx-2-y+2=0，易知直線恒過定點圓心C0,-1，半徑R=4所以當直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑2R=8；易知，當圓心C0,-1與2,2的連線與直線l

此時弦長為2R2-由對稱性可知，當弦長為4,5,6,7時，各對應兩條，共8條，當弦長為8時，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故答案為：94．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）已知圓C:x2+y2=4，直線l經(jīng)過點P32,0與圓C相交于A，B兩點，且滿足關系OM=22A．1 B．±1 C．22 D．【答案】D【詳解】設直線l的方程為y=kx-3整理得1+k2x2-3由韋達定理得x1+x2=由OM=22OA+22所以OA+OB=2所以OA?OB=0所以1+k29故選：D.5．(多選)（2021·江蘇南通·一模）已知直線l:y=kx+1，圓C:x-12+y+12=12，則直線A．5 B．6 C．35【答案】BC【詳解】由題意可得直線l:y=kx+1過定點P0,1，因為0-1所以點P在圓C內(nèi)，當CP⊥l時，最短弦長為2r當l過點C時，最長弦長為圓C的直徑43所以弦長的取值范圍為27故選：BC.6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C：x-12+y2=4，過點A0,1的兩條直線l1，l2互相垂直，圓心C到直線l1，lA．22 B．1 C．2【答案】B【詳解】過圓心C分別作直線l1，l2的垂線，垂足分別為E，∵l1，l2互相垂直，所以四邊形由圓C：x-12+y2=4∴d所以d1d2≤1，當且僅當d1故選：B.

類型二線段最值【典型例題】1．（2019上·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知圓x2+(y-2)2=1上一動點A，定點B(6,1)，x軸上一點W【答案】3【詳解】根據(jù)題意畫出圓x2+y-2作B關于x軸的對稱點B'，連接圓心與B'，則與圓的交點A，AB即為AW+BW的最小值，即AB=故答案為：352．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）已知點P在直線y=x-2上運動，點E是圓x2+y2=1上的動點，點F是圓(x-6)【答案】8【詳解】如圖所示，圓(x-6)2+(y+2)圓x2+y可知PA-3≤所以PF-若求PF-PE的最大值，轉(zhuǎn)化為求設O0,0關于直線y=x-2的對稱點為B，設B坐標為m,n則nm=-1n2=m因為PO=PB，可得當P，B，A三點共線，即P點為P1所以PF-PE的最大值為故答案為：8.3．（2023·全國·模擬預測）已知A,B分別為圓C1:(x+3)2+y2=4與圓C2【答案】3【詳解】由圓C1:x+32+又由C2:x2+設C2(0,-3)關于直線x+y-3=0對稱的點為可得n+3m×(-1)=-1m2+n-32連接CC1，當P為CC1與直線l的交點時，連接則PA所以PA+故答案為：310類型三點的軌跡【典型例題】1．（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知直線l與圓O:x2+y2=9交于A，B兩點，點P4,0A．32+2 B．2+2【答案】C【詳解】設A(x1,y1),B(x2,又x12+則x1所以2x又PA⊥PB，則PA?PB=0，而PA所以x1x2綜上，2x整理得(x-2)2+y所以M在圓心為(2,0)，半徑為22又(0-2)2+02=4>則OMmin所以AB故選：C.2．（2023·浙江·模擬預測）已知圓O:x2+y2=4和點A4,4，由圓外一點P向圓O引切線，切點分別為MA．724 B．722【答案】C【詳解】設Px,y，連接OM，則OM⊥PM，可得OM所以OP2即4+x-42+所以OP=當x=94時，故選：C.

3．（2022·全國·清華附中朝陽學校?？寄M預測）在平面直角坐標系內(nèi)，A1,0，B2,0，動點C在直線y=x上，若圓M過A，B，C三點，則圓M面積的最小值為（A．π2 B．π4 C．π【答案】A【詳解】由圓的幾何性質(zhì)知，圓心在A,B中垂線上，故可設圓心M坐標32當圓M與直線y=x相切即圓心到y(tǒng)=x的距離等于到A點距離時，圓M的面積最小，可得：32-a12+當a=12時，M32,12，圓M當a=-72時，M32,-72，圓M所以圓M面積的最小值為π2

故選：A類型四切線的夾角，面積，切線弦方程【典型例題】1．（2021上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知圓C1：x2+y2=1，圓C2：x2+y2A．PQ的取值范圍是1,3 B．直線x1x+y1y=1C．直線x1x+y1y=4與圓C2【答案】ABD【詳解】圓C1：x2+y2=1的圓心為C1觀察圖象可得2-1≤PQ≤2+1，所以PQ的取值范圍是∵x1x1+y又C1(0,0)到直線x1x+y∴直線x1x+y1y=1∵點Px1,y1在圓C∴

C2(0,0)到直線x1x+y∴直線x1x+y圓x2+y2=點(0,0)到直線x2x+y∴直線x2x+y故選：ABD.2．（2021·安徽六安·校聯(lián)考一模）已知⊙O:x2+y2=1，直線l:x+y-2=0，P為l上的動點，過點Р作⊙O的切線PA，PB，切點為A．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【解析】首先畫出圖形，利用圓的切線性質(zhì)得到AB⊥OP，從而得到SPAOB=12OP?AB，即可得到OP【詳解】如圖所示：圓心為O0,0，半徑r=1因為OA=OB，PA=所以SPAOB又S所以OP?AB=2PA．要使由勾股定理得PA=即要使OP?AB取到最小值即當直線OP與直線x+y-2=0垂直時，OP取到最小值.所以OPmin=0+0-2所以OP?故選：C．3．（2022上·重慶·高二校聯(lián)考期末）設圓O：x2+y2=1與y軸的正半軸交于點A，過點A作圓О的切線為l，對于切線l上的點B和圓ОA．若∠ABO=30°，則點B的坐標為3B．若OB=2，則C．若∠OBC=30°，則OBD．若∠ABC=60°，則OB【答案】BD【詳解】解：對A：若∠ABO=30°，在直角三角形OAB中，由OA=1可得AB=3，所以點B的坐標為3對B：當BC與圓О相切時，∠OBC最大，此時在直角三角形OCB中，因為OB=2,OC=1，所以易得∠OBC=30°；當B、O、C三點共線時，∠OBC對C、D：當BC與圓О相切時，∠OBC最大，即∠ABC最大，此時∠ABC=2∠OBC，當OB=2時，∠ABC=60°，∠OBC=30°.當點B在點-3,1和3,1之間變動時，∠ABC≥60故選項：BD.4．（2021上·陜西西安·高二長安一中?？茧A段練習）已知點P在圓x-52+y-52=16上，點A①點P到直線AB的距離小于10

②點P到直線AB的距離大于2③當∠PBA最小時，PB=3④當∠PBA最大時，PB【答案】①③④【詳解】解：∵A(4,0)，B(0,2)，∴過A、B的直線方程為x4+y圓(x-5)2+(y-5)圓心到直線x+2y-4=0的距離d=|1×5+2×5-4|∴點P到直線AB的距離的范圍為[1155∵1155<5，∴11∴點P到直線AB的距離小于10，但不一定大于2，故①正確，②錯誤；如圖，當過B的直線與圓相切時，滿足∠PBA最小或最大(P點位于P1時∠PBA最小，位于P2時此時|BC|=(5-0)∴|PB|=|BC故選：①③④．5．（2021上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知圓O的方程為x2+y2=1，過第一象限內(nèi)的點Pa,b作圓O的兩條切線PA、PB，切點分別為A．直線AB的方程為ax+by-1=0B．四點O、A、P、B共圓C．若P在直線3x+4y-10=0上，則四邊形OAPB的面積有最小值2D．若PO?PA=8，則【答案】ABD【詳解】設A(x1,y1)，x1x1y1≠0時，kOA=y又x12+y12=1同理設B(x2,y2而P在兩切線上，所以ax1+by1-1=0，由∠PAO=∠PBO=π2，因此可得∠PAO+∠PBO=π，所以四點O、A、P、由四邊形OAPB的性質(zhì)知其面積等于rPA，要使得切線長PA最小，則OP最小，即為O到直線的距離d=0+0-1033+由PO?PA=8，用PA⊥OA得PO所以a2+b2=9，由基本不等式知(a+b)2≤2(a2+b故選：ABD．6．（2018上·江蘇揚州·高二統(tǒng)考階段練習）已知圓O：x2+y2=1，圓M：x-a2+y-a+42=1.若圓M上存在點【答案】2-【詳解】解：如圖，圓O的半徑為1，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A,B，使得∠APB=60°，則∠APO=30°，在RtΔPAO中，PO=又圓M的半徑等于1，圓心坐標Ma,a-4∴POmin=∵MO∴由a2解得：2-2故答案為：2-27．（2022上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）若過點(2,1)的圓C與兩坐標軸都相切，且與過點A(0,6)和點B(8,0)的直線相離，設P為圓C上的動點，則下列說法正確的是（

）A．圓心C的坐標為(1,1)或(5,5)B．△ABP面積的最大值為22C．當∠PAB最小時，|PA|=5D．不存在點P使∠APB=【答案】BCD【詳解】由題意知圓心必在第一象限，設圓心的坐標為a,a，則圓的半徑為a，圓的標準方程為x-a2+y-a2=a2當a=1時，圓心1,1到直線lAB：6x+8y-48=0的距離為d=當a=5時，圓心5,5到直線lAB：6x+8y-48=0的距離為d=又圓C與lAB：6x+8y-48=0相離，所以圓心的坐標為1,1因為點P到直線6x+8y-48=0的距離的最大值為d=6+8-48所以S△ABP當∠PAB最小時，PA與圓C相切，由對稱性或勾股定理可得PA=假設存在點P使∠APB=34π，則△ABP的外接圓圓M設圓M方程為x-a20-a2+6-b2又因為P為圓C上的動點，當圓心M(1,-1)時，|CM|=2<52當圓心M7,7時，CM=62>1+52，所以圓M故選：BCD8．（2013上·陜西西安·高三階段練習）過點3,1作圓x-12+y2=1的兩條切線，切點分別為A，BA．2x+y-3=0 B．2x-y-3=0 C．4x-y-3=0 D．4x+y-3=0【答案】A【詳解】圓(x-1)2+y以(3,1)、C(1,0)為直徑的圓的方程為(x-2)2因為過點3,1圓x-12+y2=1所以，AB是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程2x+y-3=0，故選：A．9．（2021·廣西玉林·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l:y=kx+8上存在點P，過點P作圓O:x2+y2=4的切線，切點分別為Ax【答案】-∞【詳解】取AB的中點Q,如圖所示：根據(jù)圓的切線性質(zhì)：OA⊥PA,OP⊥AB，所以可得Rt△OPA∽Rt△OAQ，所以OAOP由Qx所以OQ=由x所以OQ=1，則OP=4點O到直線l的距離為d=則d=8k所以k∈故答案為：-∞,-10．（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系xOy中，過點P(-3,a)作圓x2+y2-2x=0的兩條切線，切點分別為M(x1,?【答案】4．【詳解】由x2+y2-2x=0得x-1取MN中點Q，由題意得kMN因為(所以(y2因此kBQ=kPA，從而P,A,B三點關系，即故答案為：4.11．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考二模）已知直線l：x-y+8=0與x軸相交于點A，過直線l上的動點P作圓x2+y2=16的兩條切線，切點分別為C，D兩點，則直線CD恒過定點坐標為；記M是CD【答案】-2,24【詳解】由題意設點Pt,t+8，Cx1因為PD，PC是圓的切線，所以OD⊥PD，OC⊥PC，所以C,D在以OP為直徑的圓上，其圓的方程為:(x-t2)2+將兩個圓的方程作差得直線CD的方程為：tx+t+8即tx+y+8y-2=0，所以直線又因為OM⊥CD，M，Q，C，D四點共線，所以OM⊥MQ，即M在以OQ為直徑的圓(x+1)2其圓心為G-1,1，半徑為r=所以AMmin所以AM的最小值為42故答案為：-2,2,412．（2021·安徽池州·統(tǒng)考一模）已知直線l:y=x+3與x軸的交點為A-3,0，P是直線l上任一點，過點P作圓E:x-12+y2=4的兩條切線，設切點分別為C?D，MA．22 B．32 C．7【答案】B【詳解】設點M坐標為x,y，P點坐標為x0,y0，因為P，M，E因為y0=xCD的直線方程為x0將①代入②得x-122+y-12以22為半徑的圓，所以AM的最大值為故選：B類型五幾何意義【典型例題】1．（2022·全國·高二專題練習）已知實數(shù)x，y滿足方程x2（1）yx的最大值和最小值分別為和（2）y－x的最大值和最小值分別為和；（3）x2+y2的最大值和最小值分別為【答案】3-3-2+6/6-2-2-6/-6-27+4【詳解】原方程可化為x-22+y（1）yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設yx＝k，即y＝當直線y＝kx與圓相切時（如圖），斜率k取最大值或最小值，此時|2k-0|k2+1=3所以yx的最大值為3，最小值為－3（2）y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距．如圖所示，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時|2-0+b|2=3，解得b所以y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6.（3）x2又圓心到原點的距離為2，所以x2+y2的最大值是2+3故答案為：（1）3；-3（2）-2+6；-2-6（3）7+42．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學?？既＃┮阎狹x1,y1，Nx2,y2是圓【答案】10,18【詳解】由題知，圓C的圓心坐標C3,4，半徑為2，因為MN=22設P為MN的中點，所以CP=2，所以點P的軌跡方程為點P的軌跡是以C3,4為圓心半徑為2設點M，N，P到直線x+y=0的距離分別為d1，d2，所以d1=x1+所以x1因為點C到直線x+y=0的距離為3+42=7即522≤d≤所以x1+y故答案為：10,183．（2023·全國·模擬預測）已知實數(shù)x，y滿足x-12+y-22=2【答案】5【詳解】x-12+y+22=2注意到1-2≤x≤1+2，故2-則y+2x+1=y--2x--1表示圓令y+2x+1=k，則y+2=kx+1則直線kx-y+k-2=0與圓則d=k-2+k-2k解得1≤k≤7，即1≤y+2注意到x+1≠0,3+2×y+2故3x+2y+74x+2y+8所以3x+2y+74x+2y+8的最小值，轉(zhuǎn)化為y+2∵y+2x+1的最小值為1，所以3x+2y+74x+2y+8的最小值為故答案為：564.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2=4,求式子35-2解析:35-2x+13-6y=3(x-1)2+y2+x2+(y-3)2,轉(zhuǎn)化為Px,y5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預測）已知實數(shù)x1,x2,y1,y2，滿足【答案】18-26/【詳解】依題意，方程x12+y1令B(x1,y1),A(x

顯然OB=(x1,y|AB|=|OA|2+|OB|2=13，取線段因此點P在以原點為圓心，132而x1即x1+y1-9+x過A,B分別作直線l的垂線，垂足分別為M,N，過P作PD垂直于直線l于點D，于是AM//PD//BN，|AM|+|BN|=2|PD|，x1+y1-9+x顯然|PD|≥d-|OP|=92-132，當且僅當點O,P,D所以(x故答案為：18-類型六阿氏圓的兩種表述【典型例題】1．（2023·江蘇·高二專題練習）阿波羅尼斯證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這類圓稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，點A(-1,0),B(1,0)、，動點P到點A,B的距離之比為22，當P,A,B不共線時，△PABA．22 B．2 C．22【答案】A【詳解】以AB所在的直線為x軸，以線段AB垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，由A(-1,0)，B(1,0)，設P(x,y)，則(x+1)2整理得(x+3)2+y2=8當點P到x軸距離最大時，△PAB的面積最大，所以△PAB面積的最大值是S=1故選：A.

2．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知A2,0，點P為直線x-y+5=0上的一點，點Q為圓x2+y2A．52+22 B．52【答案】D【詳解】設Mx,0,Qx則1?x12+y12=1?x=如圖，當P,Q,M三點共線時，且PM垂直于直線x-y+5=0時，PQ+MQ有最小值，為PM，即直線x-y+5=0到點M距離，為故選：D3．（2023上·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學?？茧A段練習）過點P1,3作斜率為k的直線l交圓E:x2+y2=8于A，B兩點，動點Q滿足PAPB=QAQB，若對每一個確定的實數(shù)A．1 B．2 C．3 D．2【答案】D【詳解】由題可知，P1,3在圓令PAPB=QA顯然P是AB的內(nèi)比分點，設P'則PAPB=P'AP'

對每一個確定的實數(shù)k，PQ的最大值為d即Q,P'重合時根據(jù)圓的對稱性，如圖，討論λ>1的情況，而CP當AB為直徑時，λ此時P'A故PQ的最大值為d當AB不為直徑時，1<λ<3+22，4<且λ,AB由P'AP顯然λ接近于1時P'此時PQ的最大值dmax綜上，dmax故選：D4.在平面直角坐標系Oxy中,過原點的直線l交直線x=9于點A,交半徑為3的圓O于點B,若線段OB上存在一點C(a,b)(不含端點),使得對于圓O上任意一點P都滿足PCPA=BCAB,則ab解析:由于PCPA=BCAB,可知PB為設直線AB與圓的另一個交點為D,由于∠BPD=90o,所以PD平分∠APC的外角,所以由外角平分線的性質(zhì),DCDA=PCPA,所以DC設C(a,ka)B(x,kx)D(-x,-kx)A(9,9k)故DCDA=a+x9+x=可得:x2=9ax=3a∴B(3a,3ka)點Bab=ka2=kk2+12=f(k)f'(k)