現(xiàn)代控制理論第一章

線性系統(tǒng)理論

吳小娟電子科技大學(xué)自動化工程學(xué)院主樓C2-519教材《現(xiàn)代控制理論》〔第二版〕，劉豹主編，機械工業(yè)出版社主要參考書《線性系統(tǒng)理論》〔第一局部〕，鄭大鐘主編，清華大學(xué)出版社

研究對象:線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、多變量系統(tǒng)、連續(xù)與離散系統(tǒng)工具：狀態(tài)空間法，系統(tǒng)輸入/輸出特性和內(nèi)部性能改善系統(tǒng)的方法：緒論狀態(tài)反響、輸出反響狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)方程的線性變換狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)

第一章狀態(tài)空間表達(dá)式1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)變量

能夠完全描述系統(tǒng)運行狀態(tài)的的一組最小變量。一、狀態(tài)及狀態(tài)空間〔1〕完全描述t=t0時變量的值〔初始狀態(tài)〕，那么t≥t0時，在輸入作用下能完全確定系統(tǒng)行為?！?〕最小變量該組變量是線性無關(guān)。u(t)RC2C1C3i1i2i3例：RC網(wǎng)絡(luò)如以下圖所示，試選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量。1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式y(tǒng)(t)

∵uc1+uc2+uc3=0，即線性相關(guān)∴最小變量組的個數(shù)是2

1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式在t=t0時，假設(shè)uc1(t0)，uc2(t0)和uc3(t0)，那么當(dāng)t≥t0時，由u(t)可求得輸出y(t)。因此，可選uc1(t)，uc2(t)，uc3(t)作為狀態(tài)變量注：

狀態(tài)變量是具有非唯一性的。如上例中，最小變量組是2個獨立變量，可在uc1,uc2,uc3中任選2個，選法不唯一。1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)構(gòu)成的狀態(tài)矢量

狀態(tài)矢量1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式

由系統(tǒng)的n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸構(gòu)成的n維空間，稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間狀態(tài)軌跡

1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式

系統(tǒng)狀態(tài)矢量在狀態(tài)空間中所移動的路徑，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)軌線。例如：三階系統(tǒng)應(yīng)是三維狀態(tài)空間，初始狀態(tài)是x10,x20,

x30。在u(t)作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)開始變化，運動規(guī)律如下：由狀態(tài)變量x和輸入變量u構(gòu)成的一階微分方程組：狀態(tài)變量x和輸出變量y的函數(shù)關(guān)系：狀態(tài)方程輸出方程1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程和輸出方程組合起來，構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式對于n階線性定常系統(tǒng)〔n個狀態(tài)，r個輸入，m個輸出〕多輸入多輸出系統(tǒng)對象輸出元件u1

u2

urx1

x2

xny1

y2

ym

1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式二、狀態(tài)空間表達(dá)式一般形式式中：A—系統(tǒng)矩陣，n×n階常數(shù)矩陣B—控制矩陣〔輸入矩陣〕，n×r階常數(shù)矩陣C—輸出矩陣，m×n階常數(shù)矩陣D—直接傳遞矩陣，m×r階常數(shù)矩陣1.1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式1.2模擬結(jié)構(gòu)圖模擬結(jié)構(gòu)圖：反映系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系。具體方法如下：〔1〕確定積分器的個數(shù)〔=狀態(tài)變量數(shù)=微分方程階數(shù)〕，將其畫在適當(dāng)位置，每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量；〔2〕由狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器；〔3〕用箭頭連接各元件。例：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：1.2模擬結(jié)構(gòu)圖a11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt+++++x1x2y1.2模擬結(jié)構(gòu)圖u練習(xí):畫出以下系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖1.2模擬結(jié)構(gòu)圖1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的方法：

機理模型結(jié)構(gòu)方框圖傳遞函數(shù)一、由系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達(dá)式1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立例：考慮人口分布問題。設(shè)某國1988年人口分布：城市人口為107，農(nóng)村人口為9×107。人口的流動情況為：每年有4%的上一年城市人口遷去農(nóng)村，同時有2%的上一年農(nóng)村人口遷到城市。整個國家的人口自然增長率為1%，建立人口按年分布方程。解：確定狀態(tài)變量，城市人口x1和農(nóng)村人口x2

取1988年為k=0，k+1年時城市人口和農(nóng)村人口的分布為：1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立例：機械運動系統(tǒng)，M為物體質(zhì)量，K為彈簧系數(shù)，B為阻尼器，f為外加的力，y為受力后彈簧的位移，試寫出該機械系統(tǒng)的狀態(tài)方程。MKByf1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立根本步驟：將結(jié)構(gòu)圖中每個方框的傳遞函數(shù)分解為單環(huán)節(jié)的組合〔一般為慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)〕，求出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。b.把每個積分器的輸出選擇為一個狀態(tài)變量，列寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立二、由結(jié)構(gòu)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式根本環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖分解〔1〕一階環(huán)節(jié)1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立U(s)Y(s)1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立〔2〕二階環(huán)節(jié)U(s)Y(s)1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立U(s)Y(s)例：某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方框圖如下：

試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

將每一個根本環(huán)節(jié)的輸出設(shè)為狀態(tài)變量，列寫狀態(tài)空間表達(dá)式：

1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立習(xí)題：某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式?！?〕傳遞函數(shù)中沒有零點系統(tǒng)微分方程為：三、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立每個積分器的輸出取為狀態(tài)變量：

1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立狀態(tài)空間表達(dá)式為：1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立A為友矩陣〔主對角線上方的元素均為1，最后一行元素可任意取，其余元素均為0〕例：系統(tǒng)輸出的微分方程為：1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立求其狀態(tài)空間表達(dá)式。1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立解：〔2〕傳遞函數(shù)中有零點時微分方程為：1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立模擬結(jié)構(gòu)圖1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立其中，a)當(dāng)m=n時，

對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立例:系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：試寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。解：1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立b)當(dāng)時，，，1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立試寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。解：將傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式

例：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1.3狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

一、線性變換的概念

對于給定系統(tǒng)，可以選取多種狀態(tài)變量來描述,所選取的狀態(tài)矢量之間的關(guān)系實際是一種矢量的線性變換。

1.4狀態(tài)方程的線性變換二、根本關(guān)系式設(shè)一個n階系統(tǒng)，狀態(tài)矢量為x,其狀態(tài)空間表達(dá)式為:

取線性變換為,其中:Ｐ是階非奇異陣。1.4狀態(tài)方程的線性變換 比較可得：可見，滿足上述條件的變換矩陣P有無窮多。故狀態(tài)變量不是唯一的。

1.4狀態(tài)方程的線性變換例:試建立下面RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間表達(dá)式：解：根據(jù)電路原理，得：1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換4.驗證兩狀態(tài)空間表達(dá)式的變換關(guān)系1.4狀態(tài)方程的線性變換

經(jīng)變換后的狀態(tài)為：對應(yīng)的變換矩陣為：1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換三、狀態(tài)變換的根本性質(zhì)1.系統(tǒng)的特征值系統(tǒng)

系統(tǒng)矩陣A的特征值，即特征方程的根。當(dāng)A為實數(shù)方陣，其特征值為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)；當(dāng)A為實數(shù)對稱方陣，那么其特征值都為實數(shù)。1.4狀態(tài)方程的線性變換2.狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的特征值 證明：假設(shè)能證明

那么可以證出矩陣A和的特征值必然相等 1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換3.特征矢量一個n維矢量pi經(jīng)過以A作為變換陣的變換，得新矢量如果，那么稱pi為A對應(yīng)于的特征矢量，此時四、化A陣為對角形或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 設(shè)系統(tǒng)的特征值為1. 假設(shè)互不相同 定理：線性定常系統(tǒng)，假設(shè)其特征值互不相同，那么必存在一非奇異矩陣P，通過線性變換，使A陣化為對角形。 1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換即：1.4狀態(tài)方程的線性變換

1.4狀態(tài)方程的線性變換注：A陣轉(zhuǎn)化為對角形以后。狀態(tài)方程中，各狀變量間的耦合關(guān)系即隨之消除，稱之為狀態(tài)解耦。

1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換

3.由各特征矢量構(gòu)成P陣：例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

試求將A陣變換為對角陣后的狀態(tài)方程。解:1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換例：試將以下狀態(tài)空間表達(dá)式化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型1.4狀態(tài)方程的線性變換解：〔1〕求取A的特征值〔2〕求各特征根對應(yīng)的特征矢量1.4狀態(tài)方程的線性變換1.4狀態(tài)方程的線性變換〔3〕求取變換矩陣〔4〕求取變換后矩陣1.4狀態(tài)方程的線性變換注：

當(dāng)A為標(biāo)準(zhǔn)型，即1.4狀態(tài)方程的線性變換〔a〕A的特征值無重根時，其變換矩陣為：1.4狀態(tài)方程的線性變換〔b〕A的特征值有重根時，設(shè)，其變換矩陣為：1.4狀態(tài)方程的線性變換〔c〕A的特征值有共軛復(fù)根時，設(shè)

一、傳遞函數(shù)〔1〕設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)

輸出方程取拉氏變換：

1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)零初始條件下，取拉氏變換：即：

1.U-X

間的傳遞函數(shù)為：

1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)2.U-Y間的傳遞函數(shù)為：

〔2〕設(shè)多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)

其中，

同理，可得：1.U-X

間的傳遞函數(shù)為：

1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)2.U-Y間的傳遞函數(shù)為：

例：

試求傳遞函數(shù)。1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)解：1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù) 故： 反變換得微分方程：

1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)二、子系統(tǒng)在各種聯(lián)結(jié)時的傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)1為設(shè)系統(tǒng)2為1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)1.并聯(lián)并聯(lián)聯(lián)結(jié)系統(tǒng)方框圖1.5狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)