ch6期望效用函數(shù)

ch6期望成效實(shí)際一、個(gè)體行為決策準(zhǔn)那么〔一〕偏好關(guān)系成效是一種純客觀的心思感受，因人因地因時(shí)而異。偏好是建立在消費(fèi)者可以察看的選擇行為之上的。偏好關(guān)系〔preferencerelation)是指消費(fèi)者對(duì)不同商品或商品組合偏好的順序。它可以用一種兩維〔或二元〕關(guān)系〔binaryrelation〕表述出來(lái)。1.偏好關(guān)系的表述令C為商品〔或者消費(fèi)〕集合，C中有M種可供選擇的商品。它是M維實(shí)數(shù)空間中的一個(gè)非負(fù)子集，它總是被假定為閉集和凸集。x、y、z……是它的子集，或者稱之為商品束〔commoditybundle〕或者消費(fèi)束〔consumeboundle〕。我們可以在消費(fèi)束的集合上建立下面的偏好關(guān)系〔preferencerelation〕或者偏好順序〔preferenceordering〕：〔1〕弱偏好于x，x至少與y一樣好?！?〕強(qiáng)偏好于x；但，不成立?！?〕無(wú)差別于x、y；即：和2.偏好應(yīng)滿足的根本公理〔Axiom〕條件：〔1〕完備性〔completeness〕:

中有一種關(guān)系成立。完備性假定保證了消者具備選別判別的才干。〔2〕自返性〔reflexivity〕：，那么有

自返性保證了消費(fèi)者對(duì)同一商品的選好具有明顯的一貫性?！?〕傳送性：

傳送性保證了消費(fèi)者在不同商品之間選好的首尾一向性。同理：

〔4〕延續(xù)性〔continunity〕對(duì)于恣意的X、y，集合和是閉集，那么和是開(kāi)集。即假設(shè)x是一組至少與y一樣好的消費(fèi)束，而且它趨近于另一消費(fèi)束z，那么z與y至少同樣好。這樣就可以得到一條延續(xù)的無(wú)差別曲線。

〔4〕單調(diào)性〔monotonicity〕，單調(diào)性闡明添加一點(diǎn)商品至少與原來(lái)的情況同樣好。只需商品是有益的，單調(diào)性就必然成立。強(qiáng)單調(diào)性闡明同樣的物品，假設(shè)其中有些種類的數(shù)量嚴(yán)厲多于原來(lái)的物品，消費(fèi)者那么必定嚴(yán)厲偏好于他們。且那么〔5〕部分非飽和性〔localnon-satiation〕和〉0，總存在使得在技術(shù)上，部分非飽和性和單調(diào)性保證了無(wú)差別曲線具有一個(gè)負(fù)的斜率。部分非飽和性假設(shè)的含義是，即使僅允許對(duì)消費(fèi)束做微小的調(diào)整，消費(fèi)者也可以更好。部分非飽和性假設(shè)意味著不存在無(wú)差別區(qū)域。由于假設(shè)有無(wú)差別區(qū)域，就可以在區(qū)域內(nèi)以x0畫出一個(gè)鄰域，其內(nèi)一切消費(fèi)束與x0無(wú)差別。這顯然違背了部分非飽和性假設(shè)。顯然，強(qiáng)單調(diào)性成立意味著部分非飽和性成立。〔6〕凸性〔convexity〕嚴(yán)厲凸性〔strictlyconvexity〕：

凸性可了解為邊沿替代率遞減。平均消費(fèi)束比端點(diǎn)消費(fèi)束更受偏好。凸性(Convexity)x2y2x1y1xyz=(tx1+(1-t)y1,tx2+(1-t)y2)，〔0≤t≤1〕Z偏好于x,y?！捕炒_定性環(huán)境下的成效函數(shù)1.基數(shù)成效與序數(shù)成效基數(shù)成效：19世紀(jì)的一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家如英國(guó)的杰文斯、奧地利的門格爾等以為，人的福利或稱心可以用他從享用或消費(fèi)過(guò)程中所所獲得的成效來(lái)度量。對(duì)稱心程度的這種度量叫做基數(shù)成效.序數(shù)成效：20世紀(jì)意大利的經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托等發(fā)現(xiàn)，成效的基數(shù)性是多余的，消費(fèi)實(shí)際完全可以建立在序數(shù)成效的根底上。所謂序數(shù)成效是以成效值的大小次序來(lái)建立稱心程度的高低，而成效值的大小本身并沒(méi)有任何意義.2.成效函數(shù)定義假設(shè)對(duì)于有和成立，那么函數(shù)關(guān)系是一個(gè)代表了偏好關(guān)系的成效函數(shù)。

定理1：一個(gè)成效函數(shù)可以經(jīng)過(guò)正單調(diào)變換而獲得另一個(gè)成效函數(shù)與原來(lái)的成效函數(shù)具有同樣的偏好關(guān)系：且是單調(diào)遞增函數(shù)，那么有：

定理2：假設(shè)消費(fèi)者在消費(fèi)集C上的偏好關(guān)系具有完備性、自返性，傳送性和延續(xù)性，那么存在一個(gè)可以代表偏好順序的延續(xù)成效函數(shù)u:C→R。〔三〕消費(fèi)者成效最大化問(wèn)題

令那么最大化問(wèn)題為：

上述約束式為瓦爾拉斯〔walrasianbudgetset〕預(yù)算集。最優(yōu)解：

〔三〕不確定性環(huán)境下的行為選擇1.關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)與不確定性奈特〔Knight.F〕<風(fēng)險(xiǎn)、不確定性和利潤(rùn)〉中關(guān)于確定型、風(fēng)險(xiǎn)和不確定性的解釋：確定性：是指自然形狀如何出現(xiàn)知，并交換行動(dòng)所產(chǎn)生的結(jié)果知。它排除了任何隨機(jī)事件發(fā)生的能夠性。

風(fēng)險(xiǎn)：是指那些涉及知概率或能夠性方式出現(xiàn)的隨機(jī)問(wèn)題，但排除了未數(shù)量化的不確定性問(wèn)題。即對(duì)于未來(lái)可能發(fā)生的一切事件，以及每一事件發(fā)生的概率有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。但對(duì)于哪一種事件會(huì)發(fā)生卻事先一無(wú)所知。不確定性：是指發(fā)生結(jié)果尚未不知的一切情形，也即那些決策的結(jié)果明顯地依賴于不能由決策者控制的事件，并且僅在做出決策后，決策者才知道其決策結(jié)果的一類問(wèn)題。即知道未來(lái)世界的能夠形狀〔結(jié)果〕，但對(duì)于每一種形狀發(fā)生的概率不清楚。由于對(duì)有些事件的客觀概率難以得到，人們?cè)趯?shí)踐中常常根據(jù)客觀概率或者設(shè)定一個(gè)概率分布來(lái)推測(cè)未來(lái)的結(jié)果發(fā)生的能夠性，因此學(xué)術(shù)界經(jīng)常把具有客觀概率或設(shè)定概率分布的不同結(jié)果的事件和具有客觀概率的不同結(jié)果的事件同時(shí)視為風(fēng)險(xiǎn)。即風(fēng)險(xiǎn)與不確定性有區(qū)別，但在操作上，我們引入客觀概率或設(shè)定概率分布的概念，其二者的界限就模糊了，幾乎成為一個(gè)等同概念。2.不確定性下的偏好選擇〔1〕不確定性下選擇的表述方法自然形狀：特定的會(huì)影響個(gè)體行為的一切外部環(huán)境因素。通常我們用S表示自然形狀的集合：S={1，…，S}。自然形狀的特征：自然形狀集合是完全的、相互排斥的〔即有且只需一種形狀發(fā)生〕自然形狀的信心〔belief〕：個(gè)領(lǐng)會(huì)對(duì)每一種形狀的出現(xiàn)賦予一個(gè)客觀的判別，即某一特定形狀s出現(xiàn)的概率P〔s〕滿足：0≤p〔s〕≤1，這里的概率p〔s〕就是一個(gè)客觀概率，也成為個(gè)體對(duì)自然的信心。不同個(gè)體能夠會(huì)對(duì)自然形狀持有不同的信心，但我們通常假定一切的個(gè)體的信心一樣，這樣特定形狀出現(xiàn)的概率就是獨(dú)一的。①形狀依存結(jié)果的優(yōu)序選擇〔形狀偏好〕用彼此排斥和詳盡無(wú)遺的自然形狀組成的集合，而不是用概率來(lái)反映個(gè)人所面臨的隨機(jī)性。假定：X:不確定環(huán)境下可選擇行為的集合;S:能夠的形狀集合C:可選擇行為的結(jié)果的集合行為xX和sS結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)果cC函數(shù)把行為、形狀和結(jié)果對(duì)應(yīng)起來(lái)：當(dāng)經(jīng)濟(jì)主體在可行的行為之間進(jìn)展選擇時(shí)，他們以被選行為產(chǎn)生的結(jié)果為根底進(jìn)展選擇。但是行為對(duì)于決議特別的結(jié)果來(lái)說(shuō)，經(jīng)常是不充足的。其他要素會(huì)與選擇的行為相互作用產(chǎn)生一個(gè)特別的結(jié)果。這些其他要素，超越了經(jīng)濟(jì)行為人的控制，被稱為自然形狀。大量的自然實(shí)形狀的存在使得目前所采取的任何行為的未來(lái)結(jié)果是不確定的。在決議行為的過(guò)程中，主體對(duì)自然形狀是不確定的，這些形狀將共同確定被選行為的結(jié)果。選擇行為a就為每一自然形狀決議了一個(gè)結(jié)果c=，對(duì)X中行為的選取從而被視為對(duì)依賴形狀〔或偶爾形狀〕結(jié)果的選取。經(jīng)過(guò)察看函數(shù)f可以容易區(qū)分確定條件下和不確定條件下的決策。假設(shè)c關(guān)于自然形狀是不變的，即自然形狀不會(huì)影響產(chǎn)生的結(jié)果，那么可以以為是確定條件下的決策。假設(shè)不同的形狀導(dǎo)致不同的結(jié)果，那么可以以為是不確定條件下的決策②行為結(jié)果的概率分布選擇既然在行為、現(xiàn)實(shí)的形狀和結(jié)果之間的關(guān)系經(jīng)過(guò)函數(shù)來(lái)描畫，在S上定一個(gè)概率測(cè)度：對(duì)恣意xX，存在一個(gè)C上的概率分布：

這個(gè)概率表述闡明，在一個(gè)行為既定的情況下，特定結(jié)果出現(xiàn)的概率等于導(dǎo)致這個(gè)特定結(jié)果出現(xiàn)的能夠性情況的概率。由于某個(gè)特定行為結(jié)果發(fā)生的概率取決于經(jīng)濟(jì)主體選擇的行為，因此，我們可以等價(jià)地以為，對(duì)于行為結(jié)果的選擇等同于對(duì)某個(gè)特定結(jié)果的概率分布的選擇。因此，不確定性條件下的行為選擇可以了解為行為主體在不同的概率分布中進(jìn)展選擇。這意味著，行為主體表現(xiàn)本人偏好關(guān)系的可行行為集合X必需具備如下性質(zhì)：

在這種情況下，我們可以用定義在C上的一個(gè)函數(shù)P〔.〕來(lái)表示行為x，其中，p〔c〕是使選擇x的結(jié)果等于c的概率。因此，對(duì)于一切的c∈C，p〔c〕≥0且〔2〕不確定性下的理性決策原那么A.數(shù)學(xué)期望最大化原那么數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)那么是指運(yùn)用不確定性下各種能夠行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動(dòng)方案優(yōu)劣。這一準(zhǔn)那么有其合理性，它可以對(duì)各種行為方案進(jìn)展準(zhǔn)確的優(yōu)劣比較，同時(shí)這一準(zhǔn)那么還是收益最大準(zhǔn)那么在不確定情形下的推行。問(wèn)題：能否數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)那么是一最優(yōu)的不確定性下的行為決策準(zhǔn)那么？典型案例：圣彼德堡悖論〔SaintPetersburyParadox〕思索一個(gè)投幣游戲，假設(shè)第一次出現(xiàn)正面的結(jié)果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前兩次反面，第三次正面得4元，……假設(shè)前n-1次都是反面，第n次出現(xiàn)正面得元。問(wèn)：游戲的參與應(yīng)先付多少錢，才干使這場(chǎng)賭博是“公平〞的？該游戲的數(shù)學(xué)期望值：但實(shí)驗(yàn)的結(jié)果闡明普通理性的投資者參與該游戲情愿支付的本錢〔門票〕僅為2-3元。圣彼德堡悖論：面對(duì)無(wú)窮的數(shù)學(xué)期望收益的賭博，為何人們只情愿支付有限的價(jià)錢？B.期望成效原那么DanielBernoulli〔1700-1782〕是出生于瑞士名門著名數(shù)學(xué)家，1725-1733年期間不斷在圣彼德堡科學(xué)院研討投幣游戲。其在1738年發(fā)表<對(duì)機(jī)遇性賭博的分析>提出處理“圣彼德堡悖論〞的“風(fēng)險(xiǎn)度量新理論〞。指出人們?cè)谕顿Y決策時(shí)不是用“錢的數(shù)學(xué)期望〞來(lái)作為決策準(zhǔn)那么，而是用“品德期望〞來(lái)行動(dòng)的。而品德期望并不與得利多少成正比，而與初始財(cái)富有關(guān)。窮人與富人對(duì)于財(cái)富添加的邊沿成效是不一樣的。即人們關(guān)懷的是最終財(cái)富的成效，而不是財(cái)富的價(jià)值量，而且，財(cái)富添加所帶來(lái)的邊沿成效〔貨幣的邊沿成效〕是遞減的。伯努利選擇的品德期望函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，即對(duì)投幣游戲的期望值的計(jì)算應(yīng)為對(duì)其對(duì)數(shù)函數(shù)期望值的計(jì)算：

其中，為一個(gè)確定值。另外，Crammer〔1728〕采用冪函數(shù)的方式的成效函數(shù)對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)展了分析。假定：那么

因此，期望收益最大化準(zhǔn)那么在不確定情形下能夠?qū)е虏豢山邮艿慕Y(jié)果。而貝努力提出的用期望成效取代期望收益的方案，能夠?yàn)槲覀兊牟淮_定情形下的投資選擇問(wèn)題提供最終的處理方案。根據(jù)期望成效，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一樣好；20%的損失也不一定與2倍的10%損失一樣糟。C.后期望成效實(shí)際：由阿萊斯悖論等各種實(shí)驗(yàn)引發(fā)的新的期望成效實(shí)際，如前景實(shí)際、遺憾實(shí)際、加權(quán)的期望成效實(shí)際、非線性的期望成效實(shí)際等等行為金融學(xué)和非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)期望成效的新的解釋。二、VNM期望成效函數(shù)期望成效實(shí)際是不確定性選擇實(shí)際中最為重要的價(jià)值判別規(guī)范。期望成效函數(shù)作為對(duì)不確定性條件下經(jīng)濟(jì)主體決策者偏好構(gòu)造的描寫，具有廣泛的用途?！惨弧吵尚Ш瘮?shù)的表述和定義不確定性下的選擇問(wèn)題是其成效最大化的決議不僅對(duì)本人行動(dòng)的選擇，也取決于自然形狀本身的選擇或隨機(jī)變化。因此不確定下的選擇對(duì)象被人們稱為彩票〔Lottery〕或未定商品〔contingentcommodity〕想象消費(fèi)者參與一次抽獎(jiǎng)〔lottery〕，一切能夠產(chǎn)生的結(jié)果為C，假定C的結(jié)果是有限的，我們用N=1，…，N來(lái)標(biāo)示這些結(jié)果，每一結(jié)果發(fā)生的概率為，這樣，我們可將該簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)〔simplelottery〕記為：比簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)更為復(fù)雜的是復(fù)合抽獎(jiǎng)〔compoundlottery〕，其抽獎(jiǎng)結(jié)果是眾多的簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)。復(fù)合抽獎(jiǎng)記為：其中，是一個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)。對(duì)于每一個(gè)復(fù)合抽獎(jiǎng)，我們可以計(jì)算出一個(gè)引至抽獎(jiǎng)〔reducedlottery〕。它將復(fù)合抽獎(jiǎng)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)。任何復(fù)合抽獎(jiǎng)的引至抽獎(jiǎng)，可以通過(guò)下面的向量加法獲得：期望成效表述〔expectedutilityrepresenting〕：對(duì)一件抽獎(jiǎng)商品的期望成效表示為對(duì)抽獎(jiǎng)結(jié)果的成效函數(shù)的數(shù)學(xué)期望:其中，是VNM成效函數(shù)。更普通地，我們可以表述為：其中，是一個(gè)隨機(jī)變量。其含義為：一種未定商品的成效等于該未定商品所涉及確實(shí)定商品的成效的均值?！捕称谕尚Ш瘮?shù)的公理化陳說(shuō)1.不確定性下的偏好關(guān)系表述個(gè)體一切可選擇抽獎(jiǎng)的集合稱為抽獎(jiǎng)空間，記為：同樣地，假設(shè)個(gè)體在抽獎(jiǎng)空間上存在一個(gè)偏好關(guān)系，即可以根據(jù)本人的規(guī)范為一切抽獎(jiǎng)排出一個(gè)優(yōu)劣順序。2.根本公理公理1：第一式闡明，抽獎(jiǎng)的概念同樣適宜于確定性財(cái)富。某一確定的擁有x，相當(dāng)于抽獎(jiǎng)的中簽率為100%，其價(jià)值為x.因此，確定商品空間是未定商品空間的一個(gè)子集。第二式那么闡明，同樣一張抽獎(jiǎng)有兩種表示方式；第三式是復(fù)合抽獎(jiǎng)原理的表達(dá)，它闡明經(jīng)濟(jì)主體只關(guān)懷抽獎(jiǎng)結(jié)果最終的概率分布，而不在乎抽獎(jiǎng)〔彩票〕的構(gòu)成形式。公理2：延續(xù)性〔continuity〕：對(duì)于恣意的下面的集合為閉集：和

延續(xù)性假設(shè)將保證概率的微小變化不會(huì)改動(dòng)原有的兩個(gè)抽獎(jiǎng)商品之間的偏好順序。如：假設(shè)消費(fèi)者對(duì)“高興和平安的開(kāi)車游覽〞的偏好強(qiáng)于“待在家中〞，那么，他對(duì)于一個(gè)“高興與平安的開(kāi)車旅行〞與一個(gè)具有充