2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知函數(shù)f（x）可導(dǎo)，且滿足limΔx→0f(3-Δx)-f(3)Δx=2，則函數(shù)y＝f（A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝4，a3+a5＝4（a4﹣1），則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5為（）A．15 B．16 C．20 D．303．（5分）已知雙曲線y2A．y=±52x B．y=±32x4．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n?2），則a2022＝（）A．﹣2 B．1 C．4043 D．40445．（5分）有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為3，且該塔形的表面積（不含最底層正方體的底面面積）超過(guò)78，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），過(guò)F的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，當(dāng)MA⊥NA時(shí)，直線MN的方程為（）A．x﹣y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．x﹣2y﹣1＝0 D．x﹣1＝07．（5分）已知兩相交平面所成的銳二面角為70°，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線l，使得直線l與兩平面所成的角均為30°，那么這樣的直線有（）條．A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）數(shù)列{an}滿足a1=32，an+1＝an2﹣an+1，n∈N*，則A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）方程x2A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線（多選）10．（5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且?n∈N*，都有Snn＜A．a(chǎn)16＜0 B．a(chǎn)17＜0 C．Sn的最小值是S16 D．Sn的最大值是S17（多選）11．（5分）拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，P是其上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M（1，1），直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A．|PM|+|PF|的最小值是2 B．|PM|﹣|PF|的最大值是2 C．存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣5＝0對(duì)稱 D．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且B點(diǎn)在線段AD上，不存在直線l，使得|AF|+|BF|＝2|DF|（多選）12．（5分）如圖所示：給定正整數(shù)n（n≥5），按照如下規(guī)律構(gòu)成三角形數(shù)表：第一行從左到右依次為1，2，3，……，n”，從第二行開始，每項(xiàng)都是它正上方和右上方兩數(shù)之和，依次類推，直到第n行只有一項(xiàng)，記第i行第j項(xiàng)為aij，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)n＝100時(shí)，a5，4＝96 B．當(dāng)n＝100時(shí)，最后一行的數(shù)為101×298 C．當(dāng)n＝2022時(shí)，ai，4＞2022，則i的最小值為8 D．當(dāng)n＝2022時(shí)，ai，5＝（i+9）2i﹣2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京隆重舉行，中國(guó)代表團(tuán)獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成績(jī)，彰顯了我國(guó)體育強(qiáng)國(guó)的底蘊(yùn)和綜合國(guó)力．設(shè)某高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程l（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為l(t)=2t2+32t，則當(dāng)t＝3s時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的滑雪瞬時(shí)速度為14．（5分）等比數(shù)列{an}中，a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12．則{an}的前9項(xiàng)之和為．15．（5分）三棱錐P﹣ABC中，二面角P﹣AB﹣C為120°，△PAB和△ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P﹣ABC外接球的半徑為．16．（5分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，斜率為12的直線與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn)，P、Q在y軸左側(cè)，且P點(diǎn)在x軸上方，點(diǎn)四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）（1）求長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，離心率為23，焦點(diǎn)在x（2）已知雙曲線的漸近線方程為y=±12x18．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝﹣2n2+7n，bn＝|an|（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和Tn．19．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，四邊形ABB1A1是菱形，∠A1AB＝120°，點(diǎn)D在棱CC1上，且CD→（1）若AD⊥B1C，證明：平面AB1C⊥平面ABD．（2）若AB＝B1C=2AC，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面AB1C與平面ABD所成得銳二面角的余弦值是17？若存在，求出20．（12分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為P，點(diǎn)Q（0，（1）求雙曲線C的方程；（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，且與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB的面積為62，求直線l21．（12分）已知拋物線C：y2＝2px，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（﹣2，0），N（2，2），過(guò)點(diǎn)M作拋物線的切線MP，切點(diǎn)為P，|PF|＝3，又過(guò)M作直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)A，B，直線AN交拋物線于另一點(diǎn)D．（1）求拋物線方程；（2）求證BD過(guò)定點(diǎn)．22．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，Sn﹣1＝an﹣2（n≥2），數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝n．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Tn＝a1bn+a2bn﹣1+…+anb1；（3）設(shè)cn=5n2+19n+16an+2

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知函數(shù)f（x）可導(dǎo)，且滿足limΔx→0f(3-Δx)-f(3)Δx=2，則函數(shù)y＝f（A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：函數(shù)y＝f（x）在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為Δx→0lim故選：D．2．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝4，a3+a5＝4（a4﹣1），則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5為（）A．15 B．16 C．20 D．30【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a3+a5＝2a4＝4（a4﹣1），∴a1+d=42(a1+3d)=4(則數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為5+4+3+2+1＝15．故選：A．3．（5分）已知雙曲線y2A．y=±52x B．y=±32x【解答】解：由題知雙曲線y2a2-x所以a＝2，b＝3，雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的漸近線方程為y=±a故選：C．4．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＝an﹣1+an+1（n∈N*，n?2），則a2022＝（）A．﹣2 B．1 C．4043 D．4044【解答】解：由題意可得an＝an﹣1+an+1，an+1＝an+an+2，兩式相加可得an+2＝﹣an﹣1，即an+3＝﹣an，據(jù)此可得an+6＝﹣an+3＝an，則數(shù)列是周期為6的數(shù)列，a2022＝a336×6+6＝a6＝﹣a3＝﹣（a2﹣a1）＝﹣2．故選：A．5．（5分）有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為3，且該塔形的表面積（不含最底層正方體的底面面積）超過(guò)78，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：設(shè)從最底層開始的第n層的正方體棱長(zhǎng)為an，則{an}為以3為首項(xiàng)，以22∴{an2}是以49為首項(xiàng)，以12∴塔形的表面積Sn＝5a12+4a22+4a32+…+4an2＝4a12+4a22+4a32+…+4an2+a12＝4×9(1-12令81-722n∴塔形正方體最少為5個(gè)．故選：B．6．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），過(guò)F的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，當(dāng)MA⊥NA時(shí)，直線MN的方程為（）A．x﹣y﹣1＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．x﹣2y﹣1＝0 D．x﹣1＝0【解答】解：由已知可得F（1，0），則p2=1，即p＝2，故拋物線C：y2＝4又因?yàn)锳（﹣1，0）且直線斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立x=my+1y2=4x，整理得y2﹣4my﹣4＝0，則y1+y2＝4m，y1∴16x1x2＝（y1y2）2，則x1x2＝1，x1+x2＝m（y1+y2）+2＝4m2+2，∵M(jìn)A⊥NA，∴MA→?NA→=0，即（﹣1﹣x1，﹣y1）?（﹣1﹣x2，﹣y2）＝0，即1+x1x2+（x1+x2）+∴1+1+4m2+2﹣4＝0，解得m＝0，故直線MN的方程為x＝1，故選：D．7．（5分）已知兩相交平面所成的銳二面角為70°，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線l，使得直線l與兩平面所成的角均為30°，那么這樣的直線有（）條．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作二面角的平面角AOB，則∠AOB＝70°，設(shè)OP1為∠OAB的平分線，則∠P1OA＝∠P1OB＝35°，當(dāng)OP1以O(shè)為中心，二面角角的平分面上旋轉(zhuǎn)時(shí)，OP1與兩平面的夾角變小，會(huì)對(duì)稱出現(xiàn)兩條符合要求的直線，設(shè)OP2為∠AOB的補(bǔ)角砰角線，則∠P2OA＝∠P2OB＝55°，當(dāng)OP2以O(shè)為中心，在二面角的鄰補(bǔ)二面角的平分面上旋轉(zhuǎn)時(shí)，OP2與兩平面的夾角變小，會(huì)對(duì)稱出現(xiàn)兩條符合要求的直線．綜上所述：過(guò)點(diǎn)P作與OP1，OP2平行的直線符合要求．綜上，滿足條件的直線共有4條．故選：D．8．（5分）數(shù)列{an}滿足a1=32，an+1＝an2﹣an+1，n∈N*，則A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由題設(shè)知，an+1﹣1＝an（an﹣1），∴1a∴1a通過(guò)累加，得m=1a1由an+1﹣an＝（an﹣1）2≥0，即an+1≥an，由a1=32，a2∴a2023≥a2022≥a2021≥…≥a3＞2，∴a2023﹣1＞1，∴0＜1∴1＜m＜2，所以m的整數(shù)部分為1．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）方程x2A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線【解答】解：方程x24-m+y當(dāng)m∈（3，4）時(shí)，曲線是雙曲線；m∈[4，+∞）∪{3}，不表示曲線．故選：AB．（多選）10．（5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且?n∈N*，都有Snn＜A．a(chǎn)16＜0 B．a(chǎn)17＜0 C．Sn的最小值是S16 D．Sn的最大值是S17【解答】解：等差數(shù)列{an}中，都有Snn＜Sn+1n+1，可得n(a1+a再由a17a16＜-1，則a16所以Sn中S16最小，Sn無(wú)最大值，故選：AC．（多選）11．（5分）拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，P是其上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M（1，1），直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A．|PM|+|PF|的最小值是2 B．|PM|﹣|PF|的最大值是2 C．存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣5＝0對(duì)稱 D．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且B點(diǎn)在線段AD上，不存在直線l，使得|AF|+|BF|＝2|DF|【解答】解：拋物線C：y2＝4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線x＝﹣1，過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，交拋物線于點(diǎn)P0，連接MQ，F(xiàn)P0，如圖：|PM|+|PF|＝|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|MN|＝|P0M|+|P0N|＝|P0M|+|P0F|，當(dāng)且僅當(dāng)P與P0重合時(shí)取等號(hào)，因此（|PM|+|PF|）min＝|MN|＝2，故A正確；因?yàn)閨|PM|﹣|PF||≤|MF|＝1，即|PM|﹣|PF|的最大值是1，B不正確；假設(shè)存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣5＝0對(duì)稱，則設(shè)直線AB：x﹣y+m＝0，由x-y+m=0y2=4x，消去x得：y2﹣4y+4m＝0，則Δ＝16﹣16m設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有y1+y2＝4，x1+x2＝y(tǒng)1+y2﹣2m＝4﹣2m，則有弦AB的中點(diǎn)（2﹣m，2）在直線x+y﹣5＝0上，即2﹣m+2﹣5＝0，解得m＝﹣1＜1，符合題意，即存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y﹣5＝0對(duì)稱，C正確；點(diǎn)D（﹣1，0），顯然直線l的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝k（x+1），由y=k(x+1)y2=4x，消去y得：k2x2+（2k2﹣4）x+Δ1＝4（k2﹣2）2﹣4k4＞0，解得﹣1＜k＜1且k≠0，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為xA，xB，則xA+xB=4k2-2，|AF|+|BF|＝xA+1+xB+1所以不存在直線l，使得|AF|+|BF|＝2|DF|，D正確．故選：ACD．（多選）12．（5分）如圖所示：給定正整數(shù)n（n≥5），按照如下規(guī)律構(gòu)成三角形數(shù)表：第一行從左到右依次為1，2，3，……，n”，從第二行開始，每項(xiàng)都是它正上方和右上方兩數(shù)之和，依次類推，直到第n行只有一項(xiàng)，記第i行第j項(xiàng)為aij，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)n＝100時(shí)，a5，4＝96 B．當(dāng)n＝100時(shí)，最后一行的數(shù)為101×298 C．當(dāng)n＝2022時(shí)，ai，4＞2022，則i的最小值為8 D．當(dāng)n＝2022時(shí)，ai，5＝（i+9）2i﹣2【解答】解：由題可得三角形數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且公差分別為1，2，4，8，???，2i﹣1，???，∴aij＝a（i﹣1）（j+1）=2＝2[a（i﹣2）j+a（i﹣2）（j+1）]+2i﹣2＝2[2a(i-2)j+2i-3]+2???=2i-1aij+(i-1)?2i-2=2i∴ai4=2i-1×4+(i-1)?2i-2=∴i的最小值為9，故C錯(cuò)誤；∵ai4=2i-1×4+（i﹣1）?2i﹣2＝（a5，4＝（5+7）?23＝96，故A正確；∵aij＝2i﹣1j+（i﹣1）?2i﹣2，令j＝5，則ai，5＝（i+9）2i﹣2，故D正確；∵aij=2i-1j+(i-1)2i-2，令j＝1，i故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京隆重舉行，中國(guó)代表團(tuán)獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成績(jī)，彰顯了我國(guó)體育強(qiáng)國(guó)的底蘊(yùn)和綜合國(guó)力．設(shè)某高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程l（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為l(t)=2t2+32t，則當(dāng)t＝3s時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的滑雪瞬時(shí)速度為【解答】解：∵l(t)=2t2+32t，∴l(xiāng)則當(dāng)t＝3s時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的滑雪瞬時(shí)速度為4×3+3故答案為：13.5．14．（5分）等比數(shù)列{an}中，a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12．則{an}的前9項(xiàng)之和為9或17．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，由a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12，得q2=a當(dāng)q＝﹣2時(shí)，a2+a5+a8＝﹣6，S9＝a1+a2+…+a9＝3﹣6+12＝9；當(dāng)q＝2時(shí)，a2+a5+a8＝6，S9＝a1+a2+…+a9＝3+2+12＝17．故答案為：9或17．15．（5分）三棱錐P﹣ABC中，二面角P﹣AB﹣C為120°，△PAB和△ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P﹣ABC外接球的半徑為213【解答】解：如圖，設(shè)H為AB的中點(diǎn)，O1，O2分別為△ABC和△PAB的外心，過(guò)點(diǎn)O1，O2分別作平面ABC和平面PAB的垂線，交點(diǎn)為O，連接OH，OA，OC，根據(jù)題意可知，球心既過(guò)△PAB的外心垂直平面PAB的垂線上，又在過(guò)△ABC的外心垂直平面ABC的垂線上，所以O(shè)即為三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球半徑為R，易知PH⊥AB，CH⊥AB，所以∠PHC即為二面角P﹣AB﹣C的平面角，因?yàn)槎娼荘﹣AB﹣C為120°，則∠O1HO2＝120°，因?yàn)椤鱌AB和△ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以HO2=13PH=3所以Rt△OO2H≌Rt△OO1H，則∠OHO在Rt△OHO1中，HO1=3又O1所以在Rt△OCO1中，OC2=OO1故答案為：21316．（5分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，斜率為12的直線與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn)，P、Q在y軸左側(cè)，且P點(diǎn)在x軸上方，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)【解答】解：作QA∥x軸交PB于A，如圖所示，設(shè)直線為x＝2y+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），R（﹣x1，﹣y1），則x1＜0，x2＜0，y1＞0，聯(lián)立得x=2y+mx2a2+y2b2=1，得（a2+4b2）y2+4mb2y則y1+y2=-4mb2a2+4b2，x1+x2＝2（ykQP＝tan∠PQA=12，kQR=-由tan∠PQR=tan∠PQA+tan∠RQA1-tan∠PQAtan∠RQA=12-kQR1+∴a2＝6b2，∴該橢圓的離心率e=c故答案為：306四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）（1）求長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，離心率為23，焦點(diǎn)在x（2）已知雙曲線的漸近線方程為y=±12x【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為：x2a2+y∵2a＝12，a＝6，ca∴c＝4，∴b2＝a2﹣c2＝36﹣16＝20，故橢圓方程為：x2（2）x210+設(shè)雙曲線方程為x2根據(jù)題意得到：ba=12，則b故b2＝c2﹣a2＝5﹣4＝1，故雙曲線的方程為：x218．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝﹣2n2+7n，bn＝|an|（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和Tn．【解答】解：（1）∵Sn＝﹣2n2+7n①，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝﹣2+7＝5，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1＝﹣2（n﹣1）2+7（n﹣1）②，∴由①﹣②得an＝﹣4n+9，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝5，符合題意，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝﹣4n+9；（2）由（1）得an＝﹣4n+9，令an＜0，則﹣4n+9＜0，解得n＞9∴當(dāng)n≤2時(shí)，Tn＝5n+n(n-1)2×（﹣4）＝﹣2n2當(dāng)n≥3時(shí)，Tn＝a1+a2﹣（a3+a4+?+an）＝5+1+（3+7+...+4n﹣9）＝6+(n-2)(3+4n-9)2=2n2綜上所述，Tn=-219．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，四邊形ABB1A1是菱形，∠A1AB＝120°，點(diǎn)D在棱CC1上，且CD→（1）若AD⊥B1C，證明：平面AB1C⊥平面ABD．（2）若AB＝B1C=2AC，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面AB1C與平面ABD所成得銳二面角的余弦值是17？若存在，求出【解答】解：（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OB1，OC．∵四邊形ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝120°，∴∠ABB1＝60°，∴AB1＝BB1，∵O為AB的中點(diǎn)，∴AB⊥OB1，∵AC＝BC，且O為AB的中點(diǎn)，∴AB⊥OC，又OB1，OC?平面OB1C，且OB1∩OC＝O，∴AB⊥平面OB1C，又B1C?平面OB1C，∴AB⊥B1C，又AD⊥B1C，AB，AD?平面ABD，且AB∩AD＝A，∴B1C⊥平面ABD，又B1C?平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面ABD；（2）∵AB=2AC=2BC，∴AB2＝AC2+BC2，∴∵O是AB的中點(diǎn)，∴OC=1∵四邊形ABB1A1是菱形，且∠ABB1＝60°，∴△ABB1是等邊三角形，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OB∵OB12+OA2=AB2=OB12+O故以O(shè)B，OC，OB所在直線，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1(-2，0，3∴AC→=(1，1，0)，AB→BC→=(-1，1，0)，∵CD→∴D(-λ，1，3λ)設(shè)平面AB1C的法向量為n→則n→?AC設(shè)平面ABD的法向量為m→則m→?AB設(shè)平面AB1C與平面ABD所成的角為θ，則cosθ=|cos?解得λ=12或故存在λ=12或20．（12分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為P，點(diǎn)Q（0，（1）求雙曲線C的方程；（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，且與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB的面積為62，求直線l【解答】解：（1）由題意可得：|PF2|＝c﹣a＝1，ba=tan∠F1PQ＝tan60°=3，c2＝a2+解得c＝2，a＝1，b=3∴雙曲線C的方程為x2-y（2）F2（2，0），設(shè)直線l的方程為my＝x﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立my=x-2x2-y23=1，化為：（3mΔ＝（12m）2﹣36（3m2﹣1）＞0，化為m2+1＞0．y1+y2=-12m3m2-1，y∴|y1﹣y2|=(∴△F1AB的面積=122c?|y1﹣y2|=10，即2×化為9m4﹣8m2﹣1＝0，解得m2＝1，m＝±1，∴直線l的方程為x±y﹣2＝0．21．（1