揚州市高郵市第一中學2021-2022學年高二上學期期末數(shù)學試題（解析版）

高郵市第一中學2021-2022學年高二（上）期末試卷（數(shù)學）一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題給出的選項中只有一個選項符合要求.1.在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，，，則數(shù)列的公差為（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件列方程組求解即可【詳解】設等差數(shù)列公差為，因為，，所以，解得，故選：A2.橢圓：的左焦點為，橢圓上的點與關于坐標原點對稱，則的值是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】令橢圓C的右焦點，由已知條件可得四邊形為平行四邊形，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓C的右焦點，依題意，線段與互相平分，于是得四邊形為平行四邊形，因此，而橢圓：的長半軸長，所以.故選：D3.等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8 C.1或 D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則求導函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.5.已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.6.若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極值點的意義,可知函數(shù)的導函數(shù)在上有且僅有一個零點.結合零點存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)則因為函數(shù)在上有且僅有一個極值點即在上有且僅有一個零點根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)極值點的意義,函數(shù)零點存在定理的應用,屬于中檔題.7.德國數(shù)學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數(shù)的幾何意義．設是函數(shù)的導函數(shù)，若，且對，，且總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點睛】本題考查以數(shù)學文化為背景，導數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.8.已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】由直徑所對圓周角是直角，結合雙曲線的幾何性質和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即所以故選：B二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在每小題給出的選項中有多個選項符合要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.C.是中最小項 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質和前n項求和公式可得、，結合通項公式和前n項求和公式計算，依次判斷選項即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，因為，所以.A：由，得等差數(shù)列為遞增數(shù)列，故A錯誤；B：，故B正確；C：，因為，由二次函數(shù)的性質可知當或時，取到最小值，即為中最小項，故C正確；D：，，由，得，故D錯誤.故選：BC10.已知，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為 B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的極大值為 D.方程有兩個不同的解【答案】BC【解析】【分析】對于A，利用導數(shù)的幾何意義求解，對于B，求導后，由導數(shù)小于零求解，對于C，求導后求極值，對于D，函數(shù)與的交點個數(shù)判斷【詳解】對于A，由（），得，，則，所以在處的切線方程為，所以A錯誤，對于B，由，得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以B正確，對于C，由，得，當時，，當時，，所以當時，取得極大值，所以C正確，對于D，由C選項可知的最大值為，且當時，，當時，，所以函數(shù)與的交點個數(shù)為1，所以有1個解，所以D錯誤，故選：BC11.設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件構造函數(shù)，利用其導數(shù)得到的單調(diào)性，然后結合奇函數(shù)，將不等式轉化為求解.【詳解】解：設，則，當時總有成立，即當時，

0恒成立，當時，函數(shù)為減函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，又，所以不等式等價于，即或，即或，所以

成立的x

的取值范圍是．故選：AB．12.已知拋物線，點，，過點的直線交拋物線與兩點，設，，下列說法正確的有（）A.B.的最小值為C.D.【答案】ABD【解析】【分析】首先設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去，得，分別寫出，式子，然后逐項驗證，對于A直接得出，對于B利用弦長公式再結合二次函數(shù)求最值即可，對于C，直接利用兩點間的距離公式計算即可，對于D，利用即可驗證.【詳解】設直線的方程為，則由，消去整理，得，因為直線交拋物線與兩點，設，，則所以，，故A正確.，m=0時等號成立，故B正確.，同理，可得，則，故C不正確..,即，故D正確.故選：ABD.【點睛】解決本題的關鍵就是設出直線的方程為，這樣很大程度減小了運算量，聯(lián)立直線方程與拋物線，進而利用韋達定理寫出交點縱坐標之間的關系，在逐項驗證即可.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得在點處的切線方程.【詳解】由，求導，知，又，則函數(shù)在點處的切線方程為.故答案為：14.已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出正項等比數(shù)列的公比即可計算作答.【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，則的面積為_________．【答案】3【解析】【分析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線左支上點滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：316.阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的數(shù)學三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動點P到兩定點A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點的軌跡為圓．已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，則P點的軌跡為圓，該圓方程為_________；過點的直線交圓于兩點，且，則_________．【答案】①.②.【解析】【分析】設，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設，則，整理得到，即.因為，故為的中點，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點，則，故，解得，故答案為：，.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構成等比數(shù)列的前三項．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設數(shù)列___________，求數(shù)列的前項和．請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答．【答案】（1），（2）答案見解析【解析】【分析】（1）設的公差為，根據(jù)等比中項的性質得到，即可求，從而求出的通項公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項公式；（2）若選①：則，利用裂項相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.18.已知函數(shù)的圖象在點P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）答案見解析．【解析】【分析】（1）求出曲線的斜率，切點坐標，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)值域斜率的關系，即可求出，．（2）求出導函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的極值．【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象在點P(0，f(0))處的切線方程是，所以切線斜率是，且，求得，即點又函數(shù)，則所以依題意得解得（2）由（1）知所以令，解得或當，或；當，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是所以當變化時，和變化情況如下表：0極大值極小值所以，19.已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項和為，求．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可求.（2）利用錯位相減法可求.【小問1詳解】因，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，.【小問2詳解】，，，.20.已知橢圓經(jīng)過點，．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點，且的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將點M、N的坐標代入橢圓方程計算，求出a、b的值即可；(2)設l的方程為：，，根據(jù)直線與圓的位置關系可得，直線方程聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達定理表示出，根據(jù)弦長公式求出，進而列出關于k的方程，解之即可.【小問1詳解】橢圓經(jīng)過點，．則，解得，【小問2詳解】設l方程為：與圓相切設點，∴（則Δ>0，，，，，，，，，故，21.已知曲線在處的切線方程為，且.（1）求的解析式；（2）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義得，結合對數(shù)的運算性質求出m，利用直線的點斜式方程即可得出切線方程；(2)由(1)將不等式變形為，利用導數(shù)研究函數(shù)在、、時的單調(diào)性，即可得出結果.【小問1詳解】，∴，，，，，切線方程為，即，∴.【小問2詳解】令，，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即符合題意；當時，設，①當，，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故符合題意；②當時，，，所以在上遞增，在上遞減，且，所以當時，，則在上單調(diào)遞減，且，故，，舍去.綜上：22.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且點的縱坐標為4，．（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于兩點，試問拋物線上是否存在定點使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點